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1992年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1992年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与 x轴交于 An, Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则| A1B1|+|A2B2|++| A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D) 19911992 19921993 19911993 19931992(A)是等腰三角形 , 但不是直角三角形 ( B)是直角三角形 , 但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 ( D)不是等腰三角形 , 也不是直角三角形5.设复数 z1, z2在复平面上对应的点分别为 A, B,且| z1|=4, 4z122z1z2+z22=0, O为坐标原点,则△ OAB的面积为( )(A)8 (B)4 (C)6 (D)12 [来源:学科网]3 3 3 36.设 f(x)是定义在实数集 R上的函数,且满足下列关系 f(10+x)=f(10x), f(20x)=f(20+x),则 f(x)是(A)偶函数,又是周期函数 ( B)偶函数,但不是周期函数(C)奇函数,又是周期函数 ( D)奇函数,但不是周期函数二、填空题(每小题 5分共 30分)1.设 x, y, z是实数,3 x, 4y, 5z成等比数列,且 ,, 成等差数列,则 + 的值是1x1y 1z xzzx______.[来源:学科网]2.在区间[0 , ]中,三角方程 cos7x=cos5x的解的个数是______.3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k条,使得其中任 意两条线段所在的 直线都是异面直线,则 k的最大值是_____.4.设 z1, z2都是复数,且| z1|=3, |z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( )3的值是______.z2z15.设数列 a1, a2,  , an, 满足 a1=a2=1, a3=2,且对任何自然数 n, 都有anan+1an+21,又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2++ a100的值是____.6.函数 f(x)= - 的最大值是_____.x4- 3x2- 6x+13 x4- x2+1三、(20 分)求证:161)2.用数学归纳法证明:fn(x)={yn- C1n- 1yn- 2+…+(- 1)iCin- i yn- 2i+…+(- 1)n2 , (i=1, 2, …, \f(n,2), n为 偶 数 )yn- C1n- 1yn- 2+…+(- 1)iCin- i+…+(- 1)n- 12 Cn- 12 n+12 y, (i=1, 2, …, \f(n- 1,2), n为 奇 数 ))KPQR l'mlDEFABC2.若 m为奇数,则 m+1为偶数,由归纳假设知,对于 n=m及 n=m-1,有fm(x)=ym-1 - C ym-2 +…+(- 1)i·C ym-2 i+…+(-1) ·C y 1m- 2 im- i m- 12 m- 12 m- 12③ fm-1 (x)=ym-1 - C ym-3 +…+(-1) i-1 C ym+1-2 i+…+(-1) C 1m- 2 i- 1m- i m- 12 m- 12 m- 12④用 y乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为-(-1) C =-(-1) C =(-1) .m- 12m- 12m- 12m- 12m+12m+12m+12于是得到 yfm(x)- fm-1 (x)=ym+1- Cm1ym-1 +…+(-1) ,即仍有对于 n=m+1,命题m+12成立综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立.第二试一、(35 分) 设 A1A2A3A4为⊙ O的内接四边形, H1、 H2、 H3、 H4依次为⊿ A2A3A4、⊿ A3A4A1、⊿ A4A1A2、⊿ A1A2A3的垂心.求证: H1、 H2、 H3、 H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置. 显然,⊿ A2A3A4、⊿ A3A4A1、⊿ A4A1A2、⊿ A1A2A3的外心都是点 O,而它们的重心依次是( (cosβ +cosγ +cos ), (sinβ +sinγ +sin ))、( (cosγ +cos +cosα ),13 13 13(sinα +sin +sinγ ))、13( (cos +cosα +cosβ ), (sin +sinα +sinβ ))、( (cosα +cosβ +cosγ ),13 13 13(sinα +sinβ +sinγ )).
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