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    AHP的优化及其在投资决策中的应用.doc

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    AHP的优化及其在投资决策中的应用.doc

    AHP的优化及其在投资决策中的应用 王萍 庄霄勇 青岛理工大学 襄阳市第二十中学 摘 要 本文提出了利用主成分分析法提取主要成分并建立了层次分析法的结构图, 对 层次分析法进行了优化, 减少了各层因素的数量, 提高效率;针对主观随意性导 致判断矩阵不一致的问题, 利用改进的层次分析法、模糊层次分析法、灰色层次 分析法等进行了优化处理, 分析了在投资决策中 AHP的应用问题。 关键词 层次分析法; 主成分分析法; 组合加权; Matlab; 最优化决策; 作者简介王萍 1978.9 , 女, 青岛理工大学硕士研究生;研究方向数学经 济应用 作者简介庄霄勇, 襄阳市第二十中学教师 基金海洋公益科研项目“海上船只目标星-机-岛立体监视监测技术系统” 编 号2015418002 研究成果 一、引言 在各种经济活动中投资始终是备受关注的一个重要问题。 然而在投资过程中, 投 资决策往往带有不理性或者不合理的因素, 从而导致投资失败或者说未能达到 自己的预期, 针对该问题可以运用层次分析法 AHP 解决。层次分析法自产生 以来发展十分迅速, 并逐步提出了模糊层次分析法、灰色层次分析法等。从运用 范围来看, 层次分析法在多个领域比如金融投资、风险管理、城市规划、矿产开 采等运用广泛;从运用地域来看, 层次分析法的使用开始逐渐向全球延伸, 使用 重心从发达国家逐步到发展中国家。 在经济领域尤其是决策分析与最优化中, 层 次分析法得到了广泛的应用[1]张守风等利用层次分析法研究了如何评价商业 银行竞争力[2];丁香乾等利用层次分析法研究了项目风险问题[3];任剑新等利 用层次分析法研究了评价中小企业竞争力的问题[4]。 然而层次分析法仍然存在一些问题, 表现在各层因素的数量过多和主观随意性 导致判断矩阵不一致等等[5]。本文探讨了应用层次分析法来对投资的各种备选 方案进行选择或对各个投资方式给予一定的权重, 以实现投资者的利润最大化, 保证投资者原有的生活质量, 使投资者在一定程度上达到规避投资风险的目标。 运用主成分分析法和组合加权法对层次分析法进行优化, 利用层次分析法对投 资决策问题进行研究, 作出最优化决策。 二、层次分析法的优化 层次分析法经过多年的发展, 衍生出改进层次分析法、模糊层次分析法、灰色层 次分析法等多种子方法[6]。这些方法都是针对判断矩阵难以确定或判断矩阵难 以通过一致性检验而提出的。改进层次分析法[7]的基本思想是引入最优传递矩 阵对于不满足一致性检验要求的判断矩阵进行改造, 从而达到一致性。 模糊层次 分析法[8]则是引入各因素间的关系的模糊度来建立模糊判断矩阵, 并通过模糊 一致性的充要条件对矩阵进行调整;灰色层次分析法[9,10]则是将灰色系统理论 和层次分析法相结合, 利用灰色理论去完成建立模型、构造判断矩阵、计算权重 的工作。灰色法更适用于小样本, 信息极度缺乏的情况。为了使层次分析法的结 构图更加合理高效, 本文提出可以先用主成分分析法精简各层因素的数量, 同 时采用加权的方式综合三种推广方法, 使结果更加合理。最后, 编写了用 matlab求解层次分析法的程序。 层次分析法和主成分分析法都是功效评价的很好方法。 当对评价指标比较熟悉或 者是评价体系结构很清楚时, 可以选择层次分析法。 主成分分析法是描述所选样 本的数据的差异性, 只要样本集合变化, 用主成分分析方法挑选出来的指标内 容就可能不同。 所以将层次分析法与主成分分析法结合起来应用, 形成互补, 可 以将评价问题做得更科学、合理、可行。 结合主成分分析法和层次分析法的特点, 提出了层次分析法的一种改进。 一是考 虑到现在统计资料指标可得到性的实际情况, 并结合系统全面性、目的性、定性 和定量结合、稳定可比性、灵活可操作性等原则建立一套指标体系;二是通过主 成分分析达到降维的目的, 从原始变量中导出少数几个方差贡献率较大的指标, 使它们尽可能多地保留原始变量的信息, 从而简化了三级指标;三是通过层次分 析法对精简后的指标计算权重。 组合预测方法是对同一个问题, 采用两种以上不同预测方法的预测。 它既可是几 种定量方法的组合, 也可是几种定性方法的组合, 但实践中更多则是利用定性 方法与定量方法的组合。 组合的主要目的是综合利用各种方法所提供的信息, 尽 可能地提高预测精度。 组合预测方法中的一个很重要的思想是组合加权, 常见的加权方法有期望值法、 等权法、拟合优度法、正态分布法、组合中心法、交集法等, 类似的思想, 同样 可以用加权的方法对改进层次分析法、模糊层次分析法、灰色层次分析法进行组 合, 但是由于这三种方法各有利弊, 目前没有明确的对比分析, 所以只能暂时 用等权法进行组合, 如果能发现更深层次的关系, 则可以继续改进。 综上所述, 当应用层次分析法时, 可以按下面的步骤进行。 第一步, 选取相关指 标, 建立层次分析法的结构图;第二步, 在指标较多时采用主成分分析法进行精简优化, 可减少各层因素的数量, 提高效率;第三步, 如果判别矩阵通过一致性 检验, 则用普通的层次分析法进行求解, 如果判别矩阵没有通过一致性检验, 则分别使用改进层次分析法、模糊层次分析法、灰色层次分析法计算权重, 并用 等权法计算三种方法的综合权重, 可以解决主观随意性导致判断矩阵不一致的 问题, 便于作出客观评价。 三、层次分析法在投资决策中的应用 一 问题叙述与分析。 层次分析法的作用是将复杂的决策系统分出层次, 并通过逐层计算关联因素的 权重, 从而为最终的决策提供定量的决策依据。 基于能使决策的思维过程数学化 的特点, 层次分析法在现实生活中通常被用于经济领域尤其是金融投资决策中。 常见的投资方式有以下五种股票、基金、债券、国债与存款。 为了减少风险、 提高回报率, 需要对投资决策进行筛选, 得到的投资决策既要使 得投资的效益提高, 还能够在一定程度上规避风险。 层次分析法便能针对当前经 济形势、行业发展现状、投资领域等多个因素作出综合分析, 为某一个相对合理 的投资方案提供理论依据, 从而实现提高收益, 减少因为意外情况带来的损失。 以在资金固定前提下实现利润最大化的决策问题为例, 说明层次分析法的具体 应用过程。 1. 第一步 确定问题结构与各层次因素所关注的问题收益率和投资风险。由主成分分析法 可知收益率和投资风险主要取决于以下五个因素投资方向、政府政策、经济形 势、 公司自身经营情况、 人们对各类投资方式的认知度。 得到结构图如图 1所示。 图1 下载原图 记收益率、投资风险分别为C1, C2;投资方向、政府政策、经济形势、公司自身 经营状况、认知度分别为 S1、S2、S3、S4、S5。 以私募债券为主的投资方式记为 P1, 以证券投资为主的投资方式记为 P2, 以购 买国债为主的投资方式记为 P3, 以存入银行为主的投资方式记为 P4。 2. 第二步 确定各层标度情况。前提在问题叙述时提到, “为主”的比例至少为 60, 因 此在确定标度时忽略其他投资方式对各投资方案标度的影响。 1 对准则层 A作出分析。 在当前经济环境下, 相比于收益的多少, 人们对风险 的规避更为看重。大概可以认为投资风险相对于收益率的标度为 4 a214 。 2 对准则层B作出分析。 通过实际情况, 可以认知的是对于收益率即C1来说, 人们对投资方式的认知度是最不重要的一项, 因此可以赋予最低的标度 a551 ;经济形势基本上决定了一切经济活动, 因此可以赋予最高的标度 a316, a325, a347, a358, ;鉴于我们国家实行的是宏观调控下的市场经 济, 政府的政策对各种经济行为会起到较大的指导作用, 因此赋予在此层中第 二高的标度 a214, a245, a256 ;政府的政策有时会影响到一个行业的发展 前景, 从而影响到投资者们的投资方向, 所以给予投资方向第三的标度 a144, a153 ;公司自身经营因素便赋予第四标度 a453 。类似地, 对 C2-S即投资 风险的分析来说, 标度发生了变化。 大部分人们在投资之前需要对当前经济形势 做一个大概的了解, 并大体明确各类投资方式的风险有多少, 因此赋予经济形 势第一标度 a317, a326, a344, a353 , 赋予认知度第二标度 a515, a524, a543 。基于人们对投资方式的了解, 人们更倾向于选择业绩更好的公 司, 所以把公司自身经营情况放在第三位 a414, a423 。在投资风险这一方 面, 政策会影响投资方向, 因此政策 a213 比投资方向的标度要更高一些 a111 。 3 对措施层进行分析。 假定在无外界因素的影响下, 准则层B的第 1个因素对 人们选择投资方式的影响不大, 也就是说对于每一个投资方式, 其判断矩阵中 的每一个元素都是 1 aij1 。对第2个因素来说, 政策对四种投资方式的影响 力各不相同, 但是不同时期人们对政策理解也是不同的, 因此在不同时期对四 种投资方案赋予的标度也是不同的。 就当前的政策来看, 方案3与方案 4可赋予 相同标度 a31a414 ;国家的政策倡导理性投资, 因此对于债券与股票的发 展有一定抑制作用, 从而赋予方案1与方案 2相对低的标度 a21a111 。同 样, 经济形势对于四种投资方式的影响力也不相同。 从当前的经济形式来看, 股 票的表现相对低迷 a111 , 私募债券的发展形势较好 a215, a23a243 , 存款与国债相对持平 a31a413 。在投资时, 基于利润最大这个目标, 人们 更趋向于选择效益好的投资方式。 不同公司主营不同的投资方式, 因此只需要对 四种投资方式所从属的公司的收益率进行排序即可股票 a213, a235, a246 债券 a133, a144 国债 a343 银行 a447 。第五个判断因 素与前四个判断因素不同, 属于人的主观认识, 前四个判断因素属于客观的存 在。 对于一个理性人来说, 人们对于存入银行和购买国债的认知度更高, 并且两 种投资方式的选择概率大致相同;投资股票会比购买私募债券的可能性更大。因 此赋予的标度大小顺序便是方案 3方案4 a31a415, a32a423 股方案2 a213 方案1 a111 。 3. 第三步 确立判断矩阵与一致性检验。通过以上的分析, 可以得到各层次的判断矩阵。 A-C判断矩阵。 其中ωC11.118, ωC22.236。计算得到最大特征值 λmax2, 然后计算 CI, 得到 CI0, 说明判断矩阵是完全一致的。 C1-S判断矩阵。 其中ω11.529, ω21.745, ω31.933, ω41.356, ω51.144。计算得到最大 特征值λmax5.5, 然后计算CI, 得到CI0.125, 修正之后得到CR0.112≥0.1, 说明判断矩阵的一致性是不可接受的。 C2-S判断矩阵。 其中ω11.140, ω21.366, ω31.838, ω41.537, ω51.679。计算得到最大 特征值λmax5.27, 然后计算CI, 得到CI0.0675, 修正之后得到 CR0.06020.1, 说明判断矩阵的一致性是可以接受的。 若S1-P 判断矩阵中所有因素均为 1, 那么得到四种投资方案的权重也是相同的, 均为0.25, 显然判断矩阵的一致性是可接受的。 S2-P判断矩阵。 其中ω11.257, ω21.257, ω31.778, ω41.778。 计算得到最大特征值λmax4, 然后计算 CI, 得到 CI0, 说明判断矩阵的一致性是完全一致的。 S3-P判断矩阵。 其中ω11.169, ω21.861, ω31.520, ω41.520计算得到最大特征值 λmax4.04, 然后计算 CI, 得到 CI0.013, 修正之后得到CR0.0140.1, 说明 判断矩阵的一致性是可以接受的。 S4-P判断矩阵。 其中ω11.700, ω21.968, ω31.459, ω41.150。计算得到最大特征值 λmax4.147, 然后计算 CI, 得到CI0.049, 修正之后得到CR0.0540.1, 说明 判断矩阵的一致性是可以接受的。 S5-P判断矩阵。 其中ω11.116, ω21.361, ω31.585, ω41.585。计算得到最大特征值 λmax4.04, 然后计算 CI, 得到 CI0.013, 修正之后得到CR0.0140.1, 说明 判断矩阵的一致性是可以接受的。 二 问题求解过程。 接下来需要进行的就是依次计算各个投资方案到目标层的组合权重。 首先计算从目标层经过准则层 A到准则层B 的组合权重, 如表1所示。 表1 下载原表 表2 下载原表 然后计算从目标层经过组合权重到措施层的组合权重, 如表2所示。 通过计算得到的权重, 可以确定最佳投资方案为方案 2, 即以股票为主的投资 方案。 三 最优解的改进。 由上例中可以观察到, 在计算C1-S矩阵时得到判断矩阵的一致性是不可以接受 的, 说明人的主观判断与真实情况具有一定的偏差。 那么需要对判断矩阵作出一 定的修改, 使得在计算一致性指标时得到判断矩阵能够保证一致性。 为了做到这 一点, 决定使用改进层次分析法对判断矩阵进行进一步的改进。 1. 第一步 确立最优传递矩阵。首先可以确定的是判断矩阵 C1-S为互反矩阵, 然后可以通 过Blg A 来构建传递的反对称矩阵 B 然后构建B的最优传递矩阵 C, 满足 得到最优传递矩阵 C 2. 第二步确立判断矩阵, 计算各因素权重。 通过A10, 得到拟优化传递矩阵也就是判断矩阵 如此, 便得到了新的权重。 其中ω11.451, ω21.614, ω32.025, ω41.294, ω51.176。在构建此矩阵 时已经满足一致性条件, 因此认为矩阵的一致性是可以接受的。 3. 第三步计算新的方案权重。 最后将新的权重再次赋予组合计算中, 得到新的权重表 3和表4。 表3 下载原表 通过计算得到的权重, 可以知道最佳方案的选择并没有发生变化, 而最佳方案 的权重提高了, 说明一开始对方案的认识不够透彻。 改进之后的结果原结果相差 较小, 这是由于一致性偏离较少而引起的。 当然, 通过模糊层次分析法和灰色层次分析法也可分别计算得到权重, 然后将 三种结果进行加权组合即可得到综合权重。 表4 下载原表 四、结语 通过以上的问题分析, 发现使用基本的层次分析法的因素较多, 内容具体的问 题进行分析时有较大优势, 因为包含的因素越多, 分析面就越广泛, 最后分析 得到的结果就越精确, 最优方案更加接近实际选择。 当然, 在因素特别多时可以 使用主成分分析法进行精简优化。 在判断矩阵一致性较差的情况下, 可以选用改 进的层次分析法、模糊层次分析法、灰色层次分析法进行优化, 并且可以用进一 步加权的方式计算综合权重。 层次分析法基于其特性, 在多个领域都有广泛的应用。 尤其是经济领域, 层次分 析法能够综合在经济学中的多种复杂因素, 将这些因素通过建立联系的方式构 成解决问题的框架, 然后从问题目标逐层分析, 最后为选择的方案提供科学依 据。 为了优化判断矩阵, 使其进一步满足一致性条件, 可以通过多种方法如重新 收集数据、优化算法等方式来对判断矩阵进行优化, 使得最后的结果更加精确。 参考文献 [1]运筹学教材编写组.运筹学 第4版 [M].北京清华大学出版社, 2012, 9522527 [2]张守风, 乐菲菲, 李丽华.层次分析法在商业银行竞争力评价中的应用[J]. 统计与决策, 2003, 26162 [3]丁香乾, 石硕.层次分析法在项目风险管理中的应用[J].中国海洋大学报, 2004, 34 1 97100 [4]任剑新.层次分析法在我国中小企业竞争力评价中的应用[J].系统工程理论 与实践, 2003, 89192 [5]郭金玉, 张忠彬, 孙庆云.层次分析法的研究与应用[J].中国安全科学学报, 2008, 18 5 148149 [6]池秀文, 田金华.改进层次分析法在采矿方法选择中的应用[J].武汉理工大 学学报, 2003, 25 5 5051 [7]王鸿翔, 吴小刚, 周琪, 俞洪良.基于改进层次分析法的建设项目风险评价 研究[J].建筑经济, 2006, 127071 [8]张吉军.模糊层次分析法[J].模糊系统与数学, 2000, 14 2 8086 [9]樊治平, 姜艳萍, 肖四汉.模糊判断矩阵的一致性及其性质[J].控制与决策, 2001, 16 1 6971 [10]蔡建春, 王勇, 李汉铃.风险投资中投资风险的灰色多层次评价[J].管理工 程学报, 2003, 17 2 9495

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