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    学案2-----数形结合思想.ppt

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    学案2-----数形结合思想.ppt

    学案2 数形结合思想,1.集合及其运算. 2.函数图象解决问题. 3.三角函数图象及其应用. 4.向量运算的有关问题. 5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系. 6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用. 7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.,1.已知0<a<1,则方程a|x||logax|的实数根的 个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个 解析 在同一坐标系下,画出函数ya|x|, y|logax|的图象,则图象有两个交点.,B,2.设数集M{x|m≤x≤m },数集N{x|n- ≤x≤ n},且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把 b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N 的长度的最小值为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意知.集合M的“长度”为 ,集合N 的“长度”为 ,而集合{x|0≤x≤1}的“长度” 为1;设线段AB1, ,a,b可在线段 AB上自由滑动,a,b重叠部分的长度即为M∩N. 如图,显然当a,b各自靠近,AB两端时,重叠部分最短,其值为 . 答案 C 3.若奇函数fx在(0,∞)上是增函数,又f-3 0, 则{x|xfx<0}等于 ( ) A.{x|x>3或-3<x<0} B.{x|0<x<3或x<-3} C.{x|x>3或x>-3} D.{x|0<x<3或-3<x<0} 解析 由fx为奇函数且f-30,得f30. 又fx在(0,∞上是增函数,据上条件做出满足 题意的yfx草图,,如图,如右图中找出fx与x异号 的部分,可以看出xfx<0的解 集为{x|0<x<3或-3<x<0}. 答案 D A. B. C. D. 解析 由题意在坐标系下画出|x||y|≤1,的图象如右图阴影部分, ①若x0时,|y|≤1,此时u0; ②若x≠0时,变量 可看成点A 0,3与可行域内的点B连线斜率k的 倒数,而k∈-∞,-3]∪[3,∞, 答案 B,题型一 代数问题“几何化”以形助数 【例1】 解 由题意令 所以x22y2 160≤x≤4,0≤y≤ ,其图象 如右图所示,原式Axy其几何 意义是直线在坐标轴上的截距,,则 Ax-y 【探究拓展】在解答此类问题时,主要是通过对 “数”的形式进行观察、分析,把“数”转成 图形,再借助其几何意义,通过“换元”使问 题得以顺利解答.,变式训练1 解析 则3x2y23,即 x≥0,y≥0,又Ax-y, 所以A的几何意义是直线在 x轴上的截距,其图形如图, 则A∈[ ,1].,,题型二 几何问题“代数化”以数助形 【例2】设M是抛物线yx2上的一点,若点M到直 线l4x-3y-80的距离d最小,求点M的坐标及 距离d的最小值. 解 方法一 设点M(m,m2), 方法二 设过点M平行于直线l与抛物线相切的,直线方程为4x-3yb0,则 整理得3x2-4x-b0, 由题意可知Δ4212b0, 方法三 如图所示,若想使抛物线上的 点到直线l的距离最小,只需抛物线在 点M处的切线与直线l平行即可,因为直 线l的斜率为 ,抛物线的导数为y′2x,,【探究拓展】在解答此类问题时,利用待定系数法设 出抛物线上动点的坐标,利用二次函数求最值,是 解决距离问题的的重要方法;而利用直线平行求距 离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简 单易行的好方法,这些方法是几种不同数学思想的 应用,注意体会.,变式训练2 设F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存 在点P,使∠F1PF2120,则椭圆的离心率e的取值范 围是 A. B. C. D. 【解析】 选A.采用数形结合法, 如图, 当P与B重合时, 当P与B不重合 时,显然∠F1PF2< ∴ 故选A.,A,题型三 “数”“形”互化,相得益彰 【例3】已知二次函数yf1x的图象以原点为顶 点且过点(1,1),反比例函数yf2x的图象 与直线yx的两个交点间距离为8,f(x)f1(x) f2(x). (1)求函数fx的表达式; (2)证明当a>3时,关于x的方程fxfa有三 个实数解. (1)解 由已知,设f1xax2,由f111,得a1, ∴f1(x)x2.设 k>0,它的图象与直线 yx的交点分别为,由|AB|8,得k8,∴ 2证明 方法一 由fxfa,得 .在同一坐标系 内作出 的大致图象,其 中f2x的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3x的 图象是以0, 为顶点,开口 向下的抛物线.因此f2x与f3x 的图象在第三象限有一个交点, 即fxfa有一个负数解. 又∵f2(2)4,f3(2) ,,当a>3时,f32-f22a2 -80, ∴当a>3时,在第一象限f3x的图象上存在一点 2,f32在f2x图象的上方. ∴f2x与f3x的图象在第一象限有两个交点, 即fxfa有两个正数解. 因此,在a>3时,方程fxfa有三个实数解. 方法二 由fxfa,得 即 得方程的一个解x1a. 方程 化为ax2a2x-80, 由a>3,Δa432a0,得,∵a>3,∴x1≠x2,若x1x3, 则3a2 ,a44a, 得a0或a ,这与a>3矛盾, ∴x1≠x3.故原方程有三个实数解. 【探究拓展】在解答此类问题时,注意将方程 fxgx转化成函数,然后在同一坐标系下 画出函数yfx和ygx的图象,通过研究 函数图象交点的个数,来确定方程解的个数或 函数零点的个数.,变式训练3 定义在R上的奇函数fx满足当x>0时, fx2 009xlog2009x,则在R上fx0的实数根的个 数是___. 解析 因当x>0时,fx0, 即-2 009xlog2 009x,在 同一坐标系中画出函数y -2 009x,ylog2 009x的图象,如图,设图象相交于点 M,即方程fx0有一解;又fx是定义在R上的奇 函数,所以x0是方程fx0的解,当x<0时,方程 fx0有一解,故fx0的实数根有3个.,3,【考题再现】 (2008四川)已知x3是函数fxaln1xx2- 10 x的一个极值点. 1求a; 2求函数fx)的单调区间; 3若直线yb与函数yfx的图象有3个交点, 求b的取值范围.,【解题示范】 1因为 所以f′3 6-100,因此a16. 2分 2由1知fx16ln1xx2-10 x,x∈-1,∞, 3分 当x∈-1,1∪3,∞时,f′ x0; 4分 当x ∈1,3时,f′x0. 5分 所以fx的单调增区间是-1,1,3,∞; fx的单调减区间是1,3. 6分,3由2知,fx在-1,1内单调递增,在1,3 内单调递减,在3,∞内单调递增,且当x1或x3 时,f′x0, 所以fx的极大值为f116ln 2-9, 极小值为f332ln2-21. 9分 所以在fx的三个单调区间 -1,1,1,3,3,∞上, 直线yb与yfx的图象各有一个交点, 当且仅当f3bf1). 11分 因此,b的取值范围是32ln 2-21,16ln 2-9. 12分,数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系, 数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法 的应用可分为两种情况①借助于“数”的精确性来 阐明“形”的属性;②借助于“形”的直观来阐明 “数”之间的关系.数形结合的基本思路根据“数” 的结构特征,构造出与之相适应的几何图形,并利用 图形的特征和规律,解决数的问题;或将图形信息部 分或全部转换成代数信息,削弱或消除“形”的推理 部分,把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨 论.,一、选择题 1.不等式|x| 的解集为 ( ) A.{x|x2或x2} C.{x|-12时, y|x|的图象恒在y 的图 象的上方.,B,2.已知函数fxlog2x1,且abc0,则 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 解析 作出函数fxlog2x1的图象,如图,而 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线 的斜率,由图象可知,B,3.平面上的点P(x,y使关于t的二次方程t2txy0 的根都是绝对值不超过1的实数,那么这样的点P的 集合在平面内的区域形状是 ( ) 解析 因为方程t2txy0的根都是绝对值不超过1的 实数,所以 画出不等式组所表 示的平面区域可知.,D,4.已知函数fx|x22x|,若关于x的方程f2xbfx c0有7个不同的实数根,则b,c的大小关系是 A.bc B.b≥c或b≤c中至少有一个正确 C.bc D.不能确定 解析 令fxt,则 f2xbfxc0 ① 可化为t2btc0 ② 要使①有7个根,即fx|x22x| 与fxt有7个交点.如图,所以方,程②必有两解,而fxt中的一条直线经过f(x) |x22x|折上去的顶点,故②式有一解t11,另一解 t2∈0,1,所以b-t1t2∈-2,-1,ct1t2∈ 0,1. 答案 C,5.已知实数 ,则实数A的取 值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 原式可看成点P1,3 Q 两 点连线的斜率. 0≤y≤1; 所以x2y21 -1≤x≤0.点Q位于单位圆在第二象 限的圆弧上且端点的坐标分别是B-1,0,C0,1. ∴kPB ,kPC2.设过点P与圆弧有公共点的直线方,程为lkx-y-k30,则 ≤1,即k≥ .结合图象,可 得A∈[ ,2]. 答案 C,二、填空题 6.已知函数fxx-ax-b1,且ab,若m、n是方 程fx0的两根,且mn,则实数a,b,m,n的大小关 系是_________. 解析 设函数gxx-ax-b, 则fxgx1,所以函数fx的 图象是把函数gx的图象向上平 移一个单位,则在同一坐标系 中,作出函数gx、fx的图象 如右图,由图象可知实数amnb.,amnb,7.函数yfxsin x2|sin x| x∈[0,2π] 的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,则实数 k的取值范围是_________. 解析 在坐标系中作出函数yfx的图象,如图, 因为直线yk与yfx的图象有且仅有两个不同的 交点,有图象可知1k3.,(1,3 ,8.动点P(a,b在不等式组 表示的平面 区域内部及边界上运动,则 的取值范围 是_________________. 解析 因为 ,而 表示点(1,2)与点 (a,b)连线的斜率,则 ∈-∞,-2]∪[2,∞,所以 ∈-∞,-1]∪[3,∞.,-∞,-1]∪[3,∞,9.已知实数 ,则实数M的取值范围是 _________. 解析 因为实数 , 所以0≤a ≤ 2,又 令xa-1,则 x∈[-1,1], 所以实数M可看成点P2,0 Q(x, )两点 连线的斜率.而点Q位于圆x2y21(x∈[-1,1], y≥0)上,当直线PQ与半圆弧相切时,此时的斜率 最小,因|OQ|1,|OP|2,∠OPQ30,则kPQ , 结合图形综上可知M∈[ ,0],[ ,0],三、解答题 10.若方程lg-x23x-mlg3-x在x∈0,3内有唯 一解,求实数m的取值范围. 解 原方程即为 即 设y1x-22,x∈0,3,y21-m, 其图象如图, 由图象可知 ①当1-m0时,有唯一解,即m1; ②当1≤1-m4时,有唯一解,即-3m≤0. 综上可知m1或-3m≤0.,11.如图,A,B,C为函数 的图象上的三点, 他们的横坐标分别是t,t2,t4 t≥1. 1设△ABC的面积为S,求Sft的解析式; 2判断函数Sft的单调性; 3求函数Sft的最大值. 解 1过点A,B,C分别作AD,BE,CF垂直于x轴, 垂足分别为D,E,F. 则SS梯形ADEBS梯形BEFC-S梯形ADFC.,(2)因为vt24t在[1,∞上是增函数,且v≥5, u1 在[5,∞上是减函数,且1u≤ ; Slog3u在1, ]上是增函数, 所以复合函数Sftlog31 在[1,∞上是减函数. 3由2知t1时,S有最大值, 其最大值为Sf1log3 2-log35.,返回,

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