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蒙特卡罗算法.pptx

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1,Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法),主要内容:一. M-C方法概述.二. 随机数的生成.三. 模拟训练.四. 实验题目.,成信院数学与信息科学系李胜坤,2,蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩。,一.M-C方法概述,3,基本思想很早以前就被人们所发现和利用。17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定π。高速计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量模拟这样的试验成为可能。,,,,4,从Buffon(蒲丰)投针问题谈起,,,5,,,,,,6,7,数值积分问题,,选取(0, 1)中随机数序列x1, x2, x3, …… xn。则,,,误差约 ,它并不能和一些高级的数值积分算法比拟, 但对多维情况,MC方法却很有吸引力。,8,我们可产生一系列随机数 可简单取3个随机数构成一个随机点,即,相应地,,一般地,,9,Monte Carlo数值积分的优点,与一般的数值积分方法比较,Monte Carlo方法 具有以下优点:,10,M-C的基本思路,1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模 型,使所求的量(或解)恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。,2.对模型中的随机变量建立抽样方法,在计算机上进行 模拟测试,抽取足够多的随机数,对有关事件进行统计,3.对模拟试验结果加以分析,给出所求解的估计及其精 度(方差)的估计,4.必要时,还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用,提高模拟计算的效率,11,回顾几种连续型分布,1.均匀分布U(a,b) 其概率密度函数为,有,12,均匀性特点:均匀分布随机变量X落在(a,b)内 任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与 子区间的位置无关.可假设有这种特性的随机变量服从均匀分布.,均匀分布随机变量X的取值具有”均匀性”,13,2. 正态分布 正态分布随机变量X的概率密度函数是,正态分布由两个参数 和 唯一确定.其中 是X 的均值(数学期望): =E(X),它确定了概率曲线的 中心位置,而 是X的标准差: ,它确定了 概率曲线的”宽窄”程度.,,14,在许多实际问题中,有一类随机变量可以表 示成为许多相互独立的随机变量之和,而其中每 个随机变量对总和只起微小的影响,这类随机变 量往往服从或近似服从正态分布.在实际应用中, 如果我们分析到一个随机变量受到较多独立的 微小因素的叠加影响,就可以用正态分布来模拟 这个变量.如:工厂产品的测量尺寸,农作物的收 获量,某地区成年人的身高,体重等可看成服从正 态分布的随机变量.,15,3. 指数分布 指数分布随机变量X的概率密度为,指数分布常用来描述寿命问题.,16,二.随机数的生成,1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudo-random numbers)。 3.在模拟中,我们需要产生各种概率分布的随机数,而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。,17,U(0,1)随机数的生成,,乘同余法:,,称为种子,a 是乘因子,m是模数,18,一个简单的例子,19,一个简单的例子(续),,上面的例子中,第一个随机数生成器的周期长度是 10,而后两个生成器的周期长度只有它的一半。我们自然希望生成器的周期越长越好,这样我们得到的分布就更接近于真实的均匀分布。,,20,线性同余生成器(混合同余法) (Linear Congruential Generator ),c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).,21,常用的线性同余生成器,22,复杂一些的生成器,Multiple recursive generator,23,算法实现,,许多程序语言中都自带生成随机数的方法,如 c 中的 random() 函数,Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样,比如c 中的函数生成的随机数性质就比较差,如果用 c ,最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数,经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数,可以直接利用。,24,从U(0,1)到其它概率分布的随机数,1.离散型随机数的模拟2.连续型随机数的模拟3.正态
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