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江苏省南京市2017年中考数学试卷(word解析版).doc

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2017 年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)1.计算 12+(﹣18)÷(﹣6)﹣(﹣ 3)×2 的结果是( )A.7 B.8 C.21 D.362.计算 106×A.10 3 B.10 7 C.10 8 D.10 93.不透明袋子中装有一个几何体模型,两位同学摸该模型并描述它的特征,甲同学:它有 4 个面是三角形;乙同学:它有 8 条棱,该模型的形状对应的立体图形可能是( )【出处:21 教育名师】A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱锥 D.四棱锥4.若 <a< ,则下列结论中正确的是( )A.1<a<3 B.1<a<4 C.2<a<3 D.2<a<45.若方程(x﹣5) 2=19 的两根为 a 和 b,且 a>b,则下列结论中正确的是( )A.a 是 19 的算术平方根 B.b 是 19 的平方根C.a﹣5 是 19 的算术平方根 D.b+5 是 19 的平方根6.过三点 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为( )A.(4, ) B.(4,3) C.(5, ) D.(5,3)二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)7.计算:|﹣3|= ; = .8.2016 年南京实现 GDP 约 10500 亿元,成为全国第 11 个经济总量超过万亿的城市,用科学记数法表示 10500 是 .9.分式 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 .10.计算: + × = .11.方程 ﹣ =0 的解是 .12.已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣ 1,则 p= ,q= .13.如图是某市 2013﹣2016 年私人汽车拥有量和年增长率的统计量,该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年,私人汽车拥有量年增长率最大的是 年.14.如图,∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角,若 ∠1=65° ,则∠A+∠B+∠C +∠D= °.15.如图,四边形 ABCD 是菱形,⊙O 经过点 A、C、D ,与 BC 相交于点 E,连接 AC、AE.若∠D=78°,则∠EAC= °.16.函数 y1=x 与 y2= 的 图象如图所示,下列关于函数 y=y1+y2 的结论:①函数的图象关于原点中心对称;②当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小;③当 x>0 时,函数的图象最低点的坐标是(2,4),其中所有正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分)17.计算(a +2+ )÷( a﹣ ).18.解不等式组请结合题意,完成本题的解答.(1)解不等式①,得 ,依据是: .(2)解不等式③,得 .(3)把不等式①,②和③的解集在数轴上表示出来.(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集 .19.如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE=CF,EF,BD相交于点 O,求证:OE=OF.21*cnjy*com20.某公司共 25 名员工,下表是他们月收入的资料.月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200人数 1 1 1 3 6 1 11 1(1)该公司员工月收入的中位数是 元,众数是 元.(2)根据上表,可以算得该公司员工月收入的平均数为 6276 元,你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适?说明理由.21 教育网21.全面两孩政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划,假定生男生女的概率相同,回答下列问题:(1)甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是 ;(2)乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率.22.“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知∠AOB,请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规).2·1·c·n·j·y23.张老师计划到超市购买甲种文具 100 个,他到超市后发现还有乙种文具可供选择,如果调整文具的购买品种,每减少购买 1 个甲种文具,需增加购买 2个乙种文具.设购买 x 个甲种文具时,需购买 y 个乙种文具.(1)①当减少购买 1 个甲种文具时,x= ,y= ;②求 y 与 x 之间的函数表达式.(2)已知甲种文具每个 5 元,乙种文具每个 3 元,张老师购买这两种文具共用去 540 元,甲、乙两种文具各购买了多少个?24.如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,连接 AO 并延长,交 PB 的延长线于点 C,连接 PO,交⊙O 于点 D.(1)求证:PO 平分∠APC ;(2)连接 DB,若∠C=30° ,求证:DB∥AC.25.如图,港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向,灯塔 C 恰好在 AB 的中点处,一艘海轮位于港口 A 的正南方向,港口 B 的正西方向的 D 处,它沿正北方向航行 5km 到达 E 处,测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,这时, E 处距离港口 A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37° ≈0.80, tan37°≈0.75)26.已知函数 y=﹣x2+(m﹣ 1)x+m(m 为常数).(1)该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 .A.0 B.1 C.2 D.1 或 2(2)求证:不论 m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数 y=(x+1) 2 的图象上.(3)当﹣2≤m≤3 时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.27.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片 ABCD(AB>BC )(图①),使 AB 与 DC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平(图②).第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点 C 落在 EF 上的 P 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG,折出 PB,PC,得到△PBC.(1)说明△PBC 是等边三角形.【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC,他发现,在矩形 ABCD 中把△PBC 经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为 3cm,另一边长为 a cm,对于每一个确定的 a 的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a 的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为 cm.2017 年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)1.计算 12+(﹣18)÷(﹣6)﹣(﹣ 3)×2 的结果是( )A.7 B.8 C.21 D.36【考点】1G:有理数的混合运算.【分析】原式先计算乘除运算,再计算加减运算即可得到结果.【解答】解:原式=12+3+6=21 ,故选 C2.计算 106×A.10 3 B.10 7 C.10 8 D.10 9【考点】48:同底数幂的除法;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方.【分析】先算幂的乘方,再根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可求解.【解答】解:10 6×不透明袋子中装有一个几何体模型,两位同学摸该模型并描述它的特征,甲同学:它有 4 个面是三角形;乙同学:它有 8 条棱,该模型的形状对应的立体图形可能是( )A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱锥 D.四棱锥【考点】I1 :认识立体图形.【分析】根据四棱锥的特点,可得答案.【解答】解:四棱锥的底面是四边形,侧面是四个三角形,底面有四条棱,侧面有 4 条棱,故选:D.4.若 <a< ,则下列结论中正确的是( )A.1<a<3 B.1<a<4 C.2<a<3 D.2<a<4【考点】2B :估算无理数的大小.【分析】首先估算 和 的大小,再做选择.【解答】解:∵1 <2,3 <4,又∵ <a< ,∴1<a<4,故选 B.5.若方程(x﹣5) 2=19 的两根为 a 和 b,且 a>b,则下列结论中正确的是( )A.a 是 19 的算术平方根 B.b 是 19 的平方根C.a﹣5 是 19 的算术平方根 D.b+5 是 19 的平方根【考点】22:算术平方根;21:平方根.【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择.【解答】解:∵方程(x﹣5) 2=19 的两根为 a 和 b,∴a﹣5 和 b﹣5 是 19 的两个平方根,且互为相反数,∵a>b,∴a﹣5 是 19 的算术平方根,故选 C.6.过三点 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为( )A.(4, ) B.(4,3) C.(5, ) D.(5,3)【考点】D5:坐标与图形性质.【分析】已知 A(2,2),B(6,2),C(4,5),则过 A、B、C 三点的圆的圆心,就是弦的垂直平分线的交点,故求得 AB 的垂直平分线和 BC 的垂直平分线的交点即可.21 世纪教育网版权所有【解答】解:已知 A(2,2),B(6,2),C(4,5),∴AB 的垂直平分线是 x= =4,设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,把 B( 6,2),C (4,5)代入上式得,解得 ,∴y=﹣ x+11,设 BC 的垂直平分线为 y= x+m,把线段 BC 的中点坐标(5, )代入得 m= ,∴BC 的垂直平分线是 y= x+ ,当 x=4 时,y= ,∴过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为( 4, ).故选 A.二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)7.计算:|﹣3|= 3 ; = 3 .【考点】73:二次根式的性质与化简;15:绝对值.【分析】根据绝对值的性质,二次根式的性质,可得答案.【解答】解:|﹣3|=3, = =3,故答案为:3,3.8.2016 年南京实现 GDP 约 10500 亿元,成为全国第 11 个经济总量超过万亿的城市,用科学记数法表示 10500 是 1.05×10 4 .21cnjy.com【考点】1I :科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a |<10,n 为整数.确定 n 的值是易错点,由于 10500 有 5 位,所以可以确定 n=5﹣1=4.【解答】解:10500=1.05×10 4.故答案为:1.05×10 4.9.分式 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 x≠1 .【考点】62:分式有意义的条件.【分析】根据分式有意义,分母不等于 0 列式计算即可得解.【解答】解:由题意得 x﹣1≠0,解得 x≠1.故答案为:x≠1.10.计算: + × = 6 .【考点】79:二次根式的混合运算.【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式=2 + ,然后化简后合并即可.【解答】解:原式=2 +=2 +4=6 .故答案为 6 .11.方程 ﹣ =0 的解是 x=2 .【考点】B3 :解分式方程.【分析】先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,最后进行检验即可.【解答】解: ﹣ =0,方程两边都乘以 x(x+2)得:2x﹣(x+2)=0,解得:x=2 ,检验:当 x=2 时,x(x+2)≠0,所以 x=2 是原方程的解,故答案为:x=2.12.已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣ 1,则 p= 4 ,q= 3 .【考点】AB:根与系数的关系.【分析】由根与系数的关系可得出关于 p 或 q 的一元一次方程,解之即可得出结论.【解答】解:∵关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣ 1,∴﹣3+(﹣1)=﹣p,(﹣3)×(﹣1)=q,∴p=4, q=3.故答案为:4;3.13.如图是某市 2013﹣2016 年私人汽车拥有量和年增长率的统计量,该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 2016 年,私人汽车拥有量年增长率最大的是 2015 年.www-2-1-cnjy-com【考点】VD:折线统计图;VC:条形统计图.【分析】直接利用条形统计图以及折线统计图分别分析得出答案.【解答】解:由条形统计图可得:该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 2016年,净增 183﹣150=33(万辆),2-1-c-n-j-y由折线统计图可得,私人汽车拥有量年增长率最大的是:2015 年.故答案为:2016,2015.14.如图,∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角,若 ∠1=65° ,则∠A+∠B+∠C +∠D= 425 °.21 教育名师原创作品【考点】L3:多边形内角与外角.【分析】根据补角 的定义得到∠AED=115°,根据五边形的内角和即可得到结论.【解答】解:∵∠1=65°,∴∠AED=115° ,∴∠A+∠B+∠C +∠D=540°﹣∠AED=425°,故答案为:425.15.如图,四边形 ABCD 是菱形,⊙O 经过点 A、C、D ,与 BC 相交于点 E,连接 AC、AE.若∠D=78°,则∠EAC= 27 °.21*cnjy*com【考点】M5:圆周角定理;L8:菱形的性质.【分析】根据菱形的性质得到∠ACB= ∠DCB= =51°,根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°,由三角形的外角的性质即可得到结论.【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,∠D=78° ,∴∠ACB= ∠DCB= =51°,∵四边形 AECD 是圆内接四边形,∴∠AEB= ∠ D=78°,∴∠EAC= ∠ AEB﹣∠ACE=27°,故答案为:27.16.函数 y1=x 与 y2= 的图象如图所 示,下列关于函数 y=y1+y2 的结论:①函数的图象关于原点中心对称;②当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小;③当 x>0 时,函数的图象最低点的坐标是(2,4),其中所有正确结论的序号是 ①③ .【考点】G4:反比例函数的性质;F6:正比例函数的性质;R7:坐标与图形变化﹣旋转.【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可.【解答】解:①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点,故正确;②在每个象限内,不同自变量的取值,函数值的变化是不同的,故错误;③结合图象的 2 个分支可以看出,在第一象限内,最低点的坐标为(2,4),故正确;∴正确的有①③.故答案为:①③.三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分)17.计算(a +2+ )÷( a﹣ ).【考点】6C :分式的混合运算.【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题.【解答】解:(a +2+ ) ÷(a ﹣ )=== .18.解不等式组请结合题意,完成本题的解答.(1)解不等式①,得 x≥﹣3 ,依据是: 不等式的性质 3 .(2)解不等式③,得 x<2 .(3)把不等式①,②和③的解集在数轴上表示出来.(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集 ﹣2<x<2 .【考点】CB :解一元一次不等式组;C4:在数轴上表示不等式的解集.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据各不等式解集在数轴上的表示,确定不等式组的解集.【解答】解:(1)解不等式①,得 x≥﹣3,依据是:不等式的性质 3.(2)解不等式③,得 x<2.(3)把不等式①,②和③的解集在数轴上表示出来.(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为:﹣2<x<2,故答案为:(1)x≥﹣3、不等式的性质 3;(2)x <2;(3)﹣ 2<x<2.19.如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE=CF,EF,BD相交于点 O,求证:OE=OF.【考点】L5:平行四边形的性质;KD:全等三角形的判定与性质.【分析】连接 BE、DF ,由已知证出四边形 BEDF 是平行四边形,即可得出结论.【解答】证明:连接 BE、DF,如图所示:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC ,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形 BEDF 是平行四边形,∴OF=OE.20.某公司共 25 名员工,下表是他们月收入的资料.月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200人数 1 1 1 3 6 1 11 1(1)该公司员工月收入的中位数是 3400 元,众数是 3000 元.(2)根据上表,可以算得该公司员工月收入的平均数为 6276 元,你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适?说明理由.21·cn·jy·com【考点】W5 :众数;W2:加权平均数;W4:中位数.【分析】(1)根据中位数的定义把这组数据从小到大排列起来,找出最中间两个数的平均数即可;根据众数的定义找出现次数最多的数据即可;(2)根据平均数、中位数和众数的意义回答.【解答】解:(1)共有 25 个员工,中位数是第 13 个数,则中位数是 33400 元;3000 出现了 11 次,出现的次数最多,则众数是 3000.故答案为 3400;3000;(2)用中位数或众数来描述更为恰当.理由:平均数受极端值 45000 元的影响,只有 3 个人的工资达到了 6276 元,不恰当;21.全面两孩政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划,假定生男生女的概率相同,回答下列问题:(1)甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是 ;(2)乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率.【考点】X6:列表法与树状图法;X4:概率公式.【分析】(1)直接利用概率公式求解;(2)画树状图展示所有 4 种等可能的结果数,再找出至少有一个孩子是女孩的结果数,然后根据概率公式求解.【来源:21cnj*y.co*m】【解答】解:(1)第二个孩子是女孩的概率= ;故答案为 ;(2)画树状图为:共有 4 种等可能的结果数,其中至少有一个孩子是女孩的结果数为 3,所以至少有一个孩子是女孩的概率= .22.“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知∠AOB,请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规).www.21-cn-jy.com【考点】N3:作图—复杂作图;KS:勾股定理的逆定理; M5:圆周角定理.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理,可得答案;(2)根据圆周角定理,可得答案.【解答】解:(1)如图 1,在 OA,OB 上分别,截取 OC=4,OD=3 ,若 CD 的长为 5,则∠AOB=90°(2)如图 2,在 OA,OB 上分别取点 C,D,以 CD 为直径画圆,若点 O 在圆上,则∠AOB=90°.23.张老师计划到超市购买甲种文具 100 个,他到超市后发现还有乙种文具可供选择,如果调整文具的购买品种,每减少购买 1 个甲种文具,需增加购买 2个乙种文具.设购买 x 个甲种文具时,需购买 y 个乙种文具.(1)①当减少购买 1 个甲种文具时,x= 99 ,y= 2 ;②求 y 与 x 之间的函数表达式.(2)已知甲种文具每个 5 元,乙种文具每个 3 元,张老师购买这两种文具共用去 540 元,甲、乙两种文具各购买了多少个?【考点】FH:一次函数的应用.【分析】(1)①由题意可知 x=99,y=2 .②由题意 y=2=﹣2x+100.(2)列出方程组,解方程组即可解决问题.【解答】解:(1)①∵100﹣1=99,∴x=99 ,y=2,故答案为 99,2.②由题意 y=2=﹣2x+100,∴y 与 x 之间的函数表达式为 y=﹣2x+100.(2)由题意 ,解得 ,答:甲、乙两种文具各购买了 60 个和 80 个.24.如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,连接 AO 并延长,交 PB 的延长线于点 C,连接 PO,交⊙O 于点 D.(1)求证:PO 平分∠APC ;(2)连接 DB,若∠C=30° ,求证:DB∥AC.【考点】MC :切线的性质.【分析】(1)连接 OB,根据角平分线性质定理的逆定理,即可解答;(2)先证明△ODB 是等边三角形,得到∠OBD=60°,再由∠DBP=∠C,即可得到 DB∥AC.【解答】解:(1)如图,连接 OB,∵PA,PB 是 ⊙O 的切线,∴OA⊥AP,OB ⊥BP ,又 OA=OB,∴PO 平分∠APC;(2)∵OA⊥AP,OB ⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90° ,∵∠C=30°,∴∠APC=90°﹣ ∠C=90° ﹣30°=60°,∵PO 平分∠APC,∴∠OPC= ∠APC= =30°,∴∠POB=90°﹣ ∠OPC=90°﹣30°=60°,又 OD=OB,∴△ODB 是等边三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°,∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC .25.如图,港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向,灯塔 C 恰好在 AB 的中点处,一艘海轮位于港口 A 的正南方向,港口 B 的正西方向的 D 处,它沿正北方向航行 5km 到达 E 处,测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,这时, E 处距离港口 A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37° ≈0.80, tan37°≈0.75)【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.【分析】如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm,在 Rt△ACH 中,可得 AH== ,在 Rt△CEH 中,可得 CH=EH=x,由 CH∥BD,推出 =,由 AC=CB,推出 AH=HD,可得 =x+5,求出 x 即可解决问题.【解答】解:如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm,在 Rt△ ACH 中,∠A=37°,∵tan37°= ,∴AH= = ,在 Rt△ CEH 中,∵∠CEH=45° ,∴CH=EH=x ,∵CH⊥AD,BD⊥AD,∴CH∥BD ,∴ = ,∵AC=CB,∴AH=HD,∴ =x+5,∴x= ≈15,∴AE=AH+HE= +15≈35km,∴E 处距离港口 A 有 35km.26.已知函数 y=﹣x2+(m﹣ 1)x+m(m 为常数).(1)该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 D .A.0 B.1 C.2 D.1 或 2(2)求证:不论 m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数 y=(x+1) 2 的图象上.(3)当﹣2≤m≤3 时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【考点】HA:抛物线与 x 轴的交点;H3:二次函数的性质.【分析】(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果;(2)将二次函数解析式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可;(3)根据 m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可.【解答】解:(1)∵函数 y=﹣x2+(m﹣ 1)x+m(m 为常数),∴△=( m﹣1) 2+4m=(m+1) 2≥0,则该函数图象与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2,故选 D;(2)y= ﹣x2+(m﹣1)x+m=﹣ (x﹣ ) 2+ ,把 x= 代入 y=(x+1) 2 得:y=( +1) 2= ,则不论 m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数 y=(x+1) 2 的图象上;(3)设函数 z= ,当 m=﹣1 时,z 有最小值为 0;当 m<﹣1 时,z 随 m 的增大而减小;当 m>﹣1 时,z 随 m 的增大而增大,当 m=﹣2 时,z= ;当 m=3 时,z=4 ,则当﹣2≤m≤3 时,该函数图象的顶点坐标的取值范围是 0≤z ≤4.27.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片 ABCD(AB>BC )(图①),使 AB 与 DC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平(图②).【来源:21·世纪·教育·网】第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点 C 落在 EF 上的 P 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG,折出 PB,PC,得到△PBC.21·世纪*教育网(1)说明△PBC 是等边三角形.【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC,他发现,在矩形 ABCD 中把△PBC 经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.【版权所有:21 教育】(3)已知矩形一边长为 3cm,另一边长为 a cm,对于每一个确定的 a 的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a 的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为 cm.【考点】RB :几何变换综合题.【分析】(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出 PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB 即可;(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,画出图形即可;(4)证明△AEF∽△DCE,得出 = ,设 AE=x,则AD=CD=4x,DE=AD﹣AE=3x ,在 Rt△CDE 中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】(1)证明:由折叠的性质得:EF 是 BC 的垂直平分线,BG 是 PC 的垂直平分线,∴PB=PC,PB=CB ,∴PB=PC=CB ,∴△PBC 是等边三角形.(2)解:以 点 B 为中心,在矩形 ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角度,得到△P 1BC1;再以点 B 为位似中心,将△△P 1BC1 放大,使点 C1 的对称点 C2 落在 CD 上,得到△P 2BC2;如图⑤所示;(3)解:本题答案不唯一,举例如图⑥所示;(4)解:如图⑦所示:△CEF 是直角三角形, ∠CEF=90°,CE=4,EF=1 ,∴∠AEF+∠CED=90°,∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A=∠D=90°,AD=CD,∴∠DCE+∠CED=90°,∴∠AEF=∠DCE,∴△AEF∽△DCE,∴ = ,设 AE=x,则 AD=CD=4x,∴DE=AD﹣AE=3x,在 Rt△ CDE 中,由勾股定理得:(3x) 2+(4x) 2=42,解得:x= ,∴AD=4× = ;故答案为: .2017 年 6 月 30 日
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