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泰勒公式的深刻理解.doc

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泰勒公式的深刻理解1 学生对泰勒公式的疑惑及其根源分析泰勒公式这一节的教学目标是要求学生理解泰勒公式,并了解它的一些应用。然而,在完成教学任务后仍有相当多的学生心存疑惑,不能不说这是教学上的一个失败。平时和学生聊起数学的学习,谈到泰勒公式, 很多学生都说不理解;讲课中要用到泰勒公式时,学生也会叫喳喳的,表现出畏难的情绪。和同事们谈起这事,上过这门课的教师都有同感。 学生在什么地方卡住了呢?在与学生沟通中发现学生通常会这样来描述他们的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。 是什么原因导致了学生的不理解?通过进一步与学生沟通和不断地思考,我们做出如下分析:(1)教科书中泰勒公式的表达方式与学生的思维方式不一致。我们采用的教材是同济大学应用数学系编写的《高等数学》,教材中的泰勒公式以定理的形式给出:泰勒中值定理 如果函数 f (x)在含有 x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一,(1) 其中(2)这里 x 为 x 与 x0 之间的某个值 x。公式(1)称为 n 阶泰勒公式。刚从中学步入大学,大部分学生还没有完全适应大学的思维方式。公式(1) 的右端由两部分构成 :x-x0 的多项式和余项 Rn(x),复杂的多项式加上一个需要附加说明的余项和学生心中公式(在中学中认识的公式)的表达方式不一致,由于学生的抽象思维没有达到一定的程度,他们还无法接受这么一个有着附加说明(而且说明也很抽象)的公式,用学生的话说就是不知道它讲的是什么。(2)泰勒公式证明过程的抽象性加深了学生的疑惑。泰勒公式是通过重复应用柯西中值定理来证明的,过程比较抽象, 由于学生没有理解泰勒公式的表达式,也就是说没有完全弄清楚定理的条件和结论,在这种学生还没有做好准备的情况下,公式证明过程的抽象性只能加深学生的疑惑。(3)例题的讲解没有给学生的理解带来预期的帮助。由于没有分重视学生思维方式上的差异,教师通常认为给出泰勒公式后,针对一些常见的函数写出相应的泰勒公式,再简单地提一提近似94 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald计算就可以达到目标了。的确,学生也能模仿例题完成作业,但是学生仍表示不知道这个公式有什么用。也就是说学生并没有理解例题的作用,没有将例题和泰勒公式的理解联系在一起,认为例题也就是套着公式(1)写出相应的式子罢了。在没有理解泰勒公式的前提下,写出常见函数的泰勒公式对学生来说只是一种机械行为,没有任何意义。2 教学设计通常的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为重点和难点,基于以上的分析,我们在教学设计时改换思路,教学中对以下三方面进行了尝试,取得了较好的教学效果:(1)把重点放在问题的提出和泰勒公式的引入上。 通常情况下教师在这里花的时间并不多,在大部分学生还理不清头绪的时候老师就已经给出抽象的泰勒中值定理了。 根据学生的具体情况,我们认为这部分内容对于我们的学生理解泰勒公式有很大的帮助,讲好了有事半功倍的作用,因此我们把重点放在这里。(2)尝试用另外一种形式来描述泰勒公式,以促进学生的理解。(3)改变例题的讲解方式。将第一个例题的重点由写出泰勒公式改为近似计算,以加强学生对泰勒公式的理解并了解它的一些应用。具体设计思路如下:(1)问题的提出。微分的近似计算公式 的缺点: 在实际应用中有可能不满足精度要求。 问题: 如何才能提高精度?(2)提出猜想。微分的近似计算公式实质上就是用一次多项式 P1(x)=a0+a1(x-x0) 来拟合函数,那么能否用 n 次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(xx0)n 来拟合函数呢?(3)拟合系数的选取。问题:如果要用多项式来拟合函数: ,系数 ai(i=1,⋯ n)该如何选取?从微分的近似计算公式出发,研究一次多项式 P1(x)的系数与函数 f (x)的关系: 1 函数 f (x)之间的关系: 。将上述关系作为拟合条件进行推广:如果要用多项式来拟合函数 , 即有 ,那么可以猜想拟合多项式 Pn(x)与函数 f (x)之间应该有下列关系:, 由此可得到拟合系数与函数的之间的关系:于是可选取多项式(3),有,由 此 推 出 拟 合 多 项 式 P (x)与来拟合函数 f (x)。(4)误差的估计。问题:如何判断拟合的好坏?如果令R n(x)=f (x)-P n(x), (4) 则拟合好坏可由绝对误差给出。问题:如何估计 Rn(x)?(下转 96 页)求:滑块受到水平面的支持力;滑块运动的加速度;滑块在力 F 作用下经过5S 通过的位移。图 4分析与解答:这是一个已知物体的受力情况求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析它的受力情况。木块受到四个力的作用:水平方向的拉力 F 和滑动摩擦力 f、竖直方向的重力 G 和水平面对木块的支持力 N 如图 5 所示。图 5其次分析木块的加速度情况。依题意,木块加速度与合外力方向相同,木块做匀加速直线运动。选取水平向右方向为 x 轴正方向,竖直向上的方向为 y 轴的正方向。应用牛顿运动定律列出方程求解。沿 y 轴方向平衡,N-G=0N=G=mg=5× 10N=50N 沿 x 方向产生加速度F-f=maf=hmg=0.2× 5× 10N=10N运用运动学公式求出滑块在 5S 内的位移为:(3)已知物体的运动情况,求受力情况如图 6 所示,质量为 m 的物块在与水平方向成 q =37° 角的斜向上拉力 F 的作用下沿水平面以 的加速度运动,物块与水平面间的动摩因数为 0.2,求拉力的大小。(sin37° =0.6,cos37° =0.8)图 6 分析与解答:这是一个已知物体的受力情况,求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析物块的受力情况。物块受到四个力的作用: 重力 G,方向竖直向下; 地面的支持力 N,方向垂直向上;拉力 F,方向与水平方向成 37° ;滑动摩擦力 f,方向水平向左,如图 7 所示。图 7其次分析物块的加速度情况。物体运动的加速度题目中已告之。选取直角坐标系,将力 F 分解成 Fcosq 和 Fsinq 应用牛顿运动定律求解。沿 y 方向受力平衡,N+Fsinq -mg=0N=mg+Fsinq∴ f =m N=m (mg+Fsinq )沿 x 方向合力产生加速度 Fsinq -f =ma 即 Fsinq -m (mg+Fsinq )=ma5 在其它学科中的应用本人在从事高职机电专业工程力学的教学中,发现牛顿第二定律在该教材第 16 章构件动力学基础;第 18 章动静法中都有重要的应用。例如: 第 18 章动静法中,惯性力的概念是这样讲的:质点由于惯性必然给施力物体以反作用力,该反作用力即为质点的惯性力。质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积(其表达式与牛顿第二定律相同),方向与加速度的方向相反。作用于质点上的主动力、约束反力及惯性力,在形式上构成一平衡力系。此即为达朗伯原理。可见,牛顿第二定律在经典力学中占有十分重要的地位和作用。学好它,对于后续课程的学习将起到很好的帮助作用。参考文献[1] 林理忠,李跃红.物理(上)[M]. 北京:中央广播电视大学出版社,2002.[2] 物理编写组.物理第一册[M].苏州: 苏州大学出版社,2001.[3] 姚琴芬.物理练习册[C].江苏:江苏广播电视大学出版社,2002.[4] 人民教育出版社职业教育中心编.物理[M]. 北京: 人民教育出版社,2002.[5] 白鸿辉.工程力学[M].江苏:江苏科学技术出版社,2005.(上接 94 页) (5)引入泰勒公式并证明( 改变泰勒公式的表达方式)。理 论 前 沿中国科教创新导刊 2009 NO.32China Education Innovation Herald泰勒中值定理:设函数 f (x)在包含 x0 的某个开区间(a,b)内有直到 (证明略)(6)举例说明泰勒公式的应用( 改变例 1 的重点)。教材中的例 1:写出函数 f (x)=ex 的带有拉格朗日型余项的 n 阶麦克劳林公式。例 1 利用 f (x)=ex 的 n 阶麦克劳林公式求 e 的近似值,使之误差不超过 10-6。参考文献[1] 郭鑫,林卓.浅议泰勒公式应用[J].黑龙江科技信息,2008(2):130.[2] 赵占锋,周志权,乔晓林.基于泰勒中值定理的 QDDFS 超高压缩比算法[J].电子学报,2008,36(1):152~154.[3] 孟赵玲,李秀淳.有关泰勒公式教学方法的探讨[J]. 北京印刷学院学报 ,2002,10(2):54~ 55.[4] 庄毅杰.泰勒定理教学初探[J].漳州职业大学学报,2004(1):91~93. ( x 为 x 与 x 之间的某个值 x) (5)公式(5)称为 n 阶泰勒公式,特别地 x0=0 时称为麦克劳林公式。96 中国科教创新导刊 China Education Innovation Heraldn+1阶 的 导 数 ,令,Rn(x)= f (x)- Pn(x),则 对 任 意 的 ,存 在 x与 x0之 间 的 某 个 值 x,使 得根 据 泰 勒 中 值 定 理 可 得0
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