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高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案.doc

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1§3.1 不等式与不等关系1)用不等式表示不等关系引例 1:限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式就是:40v引例 2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%3fp问题 1:设点 A 与平面 的距离为 d,B 为平面 上的任意一点,则 。|dAB问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不2.5(0)1x低于 20 万元”可以表示为不等式2.5(80)1x问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ;(2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:50640;3;.xy§3.1 不等式与不等关系回忆初中不等式的的基本性质。(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变;即若 abc(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变;即若 ,0ab(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。即若 1、不等式的基本性质:证明以上的不等式的基本性质证明:1)∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c2) ,∴ .()0acb实际上,我们还有 , (证明:∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0.根据两个正数的和仍是,正数,得(a -b)+(b-c)>0,即 a-c>0,∴a >c.于是,我们就得到了不等式的基本性质:(1) (2),abc2(3) (4),0abcabc,0abcabc2、探索研究思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:(1) ;,cdcd(2) ;0abab(3) 。,1;nnnN证明:1)∵a>b,∴a+c>b+c. ①,∵c>d,∴b+c>b+d.②,由①、②得 a+c>b+d.2) bdaca0,3)反证法)假设 ,则:若 这都与 矛盾, ∴ .nnabanba[范例]:例 1、已知 求证 。0,abccab证明:以为 ,所以 ab0, 。于是 ,即 ,由 c5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y0,即 ;250x当 00 与 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程 ycbxa2=0 的判别式 三种取值情况(Δ 0,Δ=0,Δ0分 ΔO, Δ=0, Δ0 与 0(或0)cbxa25② 计算判别式 ,分析不等式的解的情况:ⅰ. 0 时,求根 0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h.例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系: ,若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以20yx上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到206x移项整理,得 ,因为 ,所以方程213010A有两个实数根, ,由二次函数的图象,得不等式的解为:506 表示直线 x-y=6 右下方的区域; 直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况:(3)结论:二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( ),把它的坐标( )代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都yx, yx,相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)【应用举例】例 1 画出不等式 表示的平面区域。4xy解:先画直线 (画成虚线).。取原点(0,0) ,代入 +4y-4,∵0+4×0-4=-4 <0,∴原点在x表示的平面区域内,不等式 表示的区域如图:4xy4xy归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。特殊地,当 时,常0C把原点作为此特殊点。变式 1、画出不等式 所表示的平面区域。1234yx变式 2、画出不等式 所表示的平面区域。例 2 用平面区域表示.不等式组 的解集。2xy分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解:不等式 表示直线 右下方的区域, 表示直线 右上方的区域,取31yx312yx2xy2xy两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式 1、画出不等式 表示的04)(12(与yx平面区域。8变式 2、由直线 , 和 围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表02yx01yx012yx示为 。3.随堂练习§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域2.新课【应用举例】例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位):学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间,所以有20x考虑到所投资金的限制,得到 。即 65423120y240xy另外,开设的班数不能为负,则 ,xy把上面的四个不等式合在一起,得到:024xy用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分)例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件: 410856xy在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分)。[补充例题]例 1、画出下列不等式表示的区域(1) ; (2) 0)1)(yxxy2分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 ,得 ,又用 代 ,不等式x20y仍成立,区域关于 轴对称。x9解:(1) 或 矛盾无解,故点 在一带形区域内(含边界) 。101yxyx0yx),(yx(2) 由 ,得 ;当 时,有 点 在一条形区域内(边界);当 ,由对称性202, 0y得出。指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解例 2、利用区域求不等式组 的整数解015362yx分析:不等式组的实数解集为三条直线 , , 所围成32:yxl 0632:yxl 0153:yxl的三角形区域内部(不含边界)。设 , , ,求得区域内点横坐标范围,取出A1Bl1Cl的所有整数值,再代回原不等式组转化为 的一元不等式组得出相应的 的整数值。x yy解:设 , , , , ,032:1yl 0632:xl 0153:yxl Al21Bl31,∴ , , 。于是看出区域内点的横坐标在 内,取C32)4,85(A),(B)192,75(C)975,0(=1,2,3,当 =1 时,代入原不等式组有 ⇒ ,得 =-2,∴区域内有整点(1,-2) 。xx51234yy1y同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),(3,-1)。3.随堂练习 21.(1) ; (2). ; (3).1xyyxyx102.画出不等式组 表示的平面区域5306xy§3.3.2 简单的线性规划2.新课1、有关与生产安排的一个问题:引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?(1)用不等式组表示问题中的限制条件:设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:……………………………………………………………….(1)284160xy(2)画出不等式组所表示的平面区域:如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。(3)提出新问题:进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大?(4)尝试解答:设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时, z 的最大值是多少?把 z=2x+3y 变形为 ,这是斜率为 ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化时,可以得到3zx233z一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线( ),这说明,截距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线28yz与不等式组(1)的区域的交点满足不等式组(1),而且当截距 最大时,z 取得最大值。因此,3zyx 3问题可以转化为当直线 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点 P,使直3zyx线经过点 P 时截距 最大。z(5)获得结果:由上图可以看出,当实现 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点23zyxM(4,2)时,截距 的值最大,最大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,3z14工厂可获得最大利润 14 万元。112、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y )叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.1、 变换条件,加深理解(1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,有应当如何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。(2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?3.随堂练习1.掌握图解法解决简单的线性规划问题.(1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、 y 满足约束条件 .1,yx解:不等式组表示的平面区域如图所示:当 x=0,y=0 时, z=2x+y=0。点(0,0)在直线 :2x+y=0 上.0l作一组与直线 平行的直线 :2x+y=t,t∈R. 0ll可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中,l以经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大.所以 zmax=2×2-1=3.(2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、 y 满足约束条件 .35,1yx解:不等式组所表示的平面区域如图所示:从图示可知,直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的 t 最小,以经过点( )的直线所对应的 t 最大.87,9所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11. zmax=3× +5× =148917§3.3.2 简单的线性规划2. 若实数 , 满足 求 4 +2 的取值范围.xy13xyxy错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 ≤4 即 0≤4 ≤8 ③,由②得 —1≤ — ≤1,将上式与①yx同向相加得 0≤2 ≤4 ④,③十④得 0≤4 十 2 ≤12xy(12,12)(-1,-1) (2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO 21-1-2 -1123xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0CBAO 3 x-5y-3=0-1 -11512以上解法正确吗?为什么?[辨析]上述解法中,确定的 0≤4 ≤8 及 0≤2 ≤4 是对的,但用 的最大(小)值及 的最大(小)值来确定 4xyxy十 2 的最大(小)值却是不合理的.X 取得最大(小)值时,y 并不能同时取得最大(小)值。由于忽略了 xxy和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确.正解:因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y),且由已有条件有: (5), (6),3()9xy1xy将(5)(6)两式相加得 ,所以24()10xy2403.随堂练习 11、求 的最大值、最小值,使 、 满足条件yxzxy0yx2、设 ,式中变量 、 满足 yxzxy12534x4.小结[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个.§3.4 基本不等式 2ab2.新课3.给出 证明?.2)(2ab证明:因为 。当2)(22,()0,,()0,abab时 当 时所以, ,即0)(2 .4. 1) 特别的,如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b ,可得 ,通常我们把上式写作:2ab(a,b)2b2) 从不等式的性质推导基本不等式 2用分析法证明:要证 (1)ab只要证 a+b (2)要证(2),只要证 a+b- 0 (3)要证(3),只要证 ( - ) (4)2显然,(4)是成立的。当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立。3) 理解基本不等式 的几何意义2ab13探究: 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗?2ab易证 R t△ AC D∽ R t△ DC B,那么 C D2= C A·C B。 即 C D= .a这个圆的半径为 ,显然,它大于或等于 CD,即 ,其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a= b2bab时,等号成立.因此:基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”评述:1.如果把 看作是正数 a、 b 的等差中项, 看作是正数 a、 b 的等比中项,那么该定理可以叙述2baab为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中,我们称 为 a、 b 的算术平均数,称 为 a、 b 的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[例题]例 1 已知 x、 y 都是正数,求证:(1) ≥2;(2)( x+ y)( x2+ y2)( x3+ y3)≥8 x3y3.分析:在运用定理: 时,注意条件 a、 b 均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立ab的条件),进行变形.解:∵ x, y 都是正数 ∴ >0, >0, x2>0, y2>0, x3>0, y3>0yx(1) =2 即 ≥2.xyyx(2)x+ y≥2 >0 x2+ y2≥2 >0 x3+ y3≥2 >02 3∴( x+ y)( x2+ y2)( x3+ y3)≥2 ·2 ·2 =8 x3y33即( x+ y)( x2+ y2)( x3+ y3)≥8 x3y3.3.练习1.已知 a、 b、 c 都是正数,求证( a+ b)( b+ c)( c+ a)≥8 abc分析:对于此类题目,选择定理: ( a>0, b>0)灵活变形,可求得结果.b2解:∵ a, b, c 都是正数,∴ a+ b≥2 >0, b+ c≥2 >0, c+ a≥2 >0∴( a+ b)( b+ c)( c+ a)≥2 ·2 ·2 =8 abc,即( a+ b)( b+ c)( c+ a)≥8 abc.4.小结重要不等式 a2+ b2≥2 ab;两正数 a、 b 的算术平均数14( ),几何平均数( )及它们的关系( ≥ ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、 b 都2baab2ba是实数,而后者要求 a、 b 都是正数.可以用它们下面的等价变形来解决问题: ab≤ , ab≤( ) 2.2ba§3.4 基本不等式 2ab2.新课例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最2短的篱笆是多少?(2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解:(1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m。由 ,2xy可得 , 。等号当且仅当 x=y 时成立,此时 x=y=10.210xy()40因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是 40m.(2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2 x)m,其中 0< x< ,其面积 S= x(36-2 x)21= ·2x(36-2 x)≤11236()8当且仅当 2x=36-2x ,即 x= 9 时菜园面积最大,即菜园长 9m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 。由,可得 18y1当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面积是 81m 2归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a, b∈R + ,且 a+ b= M, M 为定值,则 ab≤ ,42等号当且仅当 a= b 时成立.2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a, b∈R + ,且 ab= P, P 为定值,则 a+ b≥2 ,等号P当且仅当 a= b 时成立.例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得 )160(7240xl,当29760470241x .9,,160有 最 小 值时即 xx因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元15归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.3.随堂练习1.已知 x≠0,当 x 取什么值时, x2+ 的值最小?最小值是多少?814.课时小结注意考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 奎 屯王 新 敞新 疆 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。§3.4 基本不等式 2ab2.新课1)利用基本不等式证明不等式例 1 已知 m0,求证 。246m[思维切入]因为 m0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的 a 和 b, 直接利用基本不等式。[证明]因为 m0,,由基本不等式得 24246624124m当且仅当 = ,即 m=2 时,取等号。24m6规律技巧总结 注意:m0 这一前提条件和 =144 为定值的前提条件。2463.随堂练习 1[思维拓展 1] 已知 a,b,c,d 都是正数,求证 .()()4abcdabcd[思维拓展 2] 求证 .222()abcd例 2 求证: .473[思维切入] 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.()a[证明] 44332(3)2437aaA当且仅当 =a-3 即 a=5 时,等号成立.a规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值16例 3 (1) 若 x0,求 的最小值;(2)若 x0 和 =36 两个前提条件;(2)中 x0 来转化.解(1) 因为 x0 由基本不等式得,当且仅当 即 x= 时, 取最小值 12.9()423612fxx94x329()4fx(2)因为 x0, 由基本不等式得:,所以 .9())(4)()361fxxx ()12fx当且仅当 即 x=- 时, 取得最大-12.9324f规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习 2[思维拓展 1] 求 (x5)的最小值.9()45fx[思维拓展 2] 若 x0,y0,且 ,求 xy 的最小值.281y4.课时小结用基本不等式 证明不等式和求函数的最大、最小值。2ab5. 作业1.证明: 2.若 ,则 为何值时 有最小值,最小值为几?21x1x
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