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矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析.doc

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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系;掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析;熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1.误差的基本概念和有效数字1) .绝对误差和相对误差的基本概念设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,则称 为近似值 的绝对误差,简xaax称为误差. 当 时, 称为 的相对误差.在实际运算中,精确值 往往是未知的,0x x所以常把 作为 的相对误差.ax2) .绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,如果有常数 ,使得xaaeex称 为 的绝对误差界,或简称为误差界.称 是 的相对误差界 .ae ae此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的,但是它们越小,说明近似 的程度越好,即 的精度越好.xa3) .有效数字设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,写成 nkaa21.0它可以是有限或无限小数的形式,其中 是 中的一个数字, 为),(i9,10 ka,01整数.如果nkax102则称 为 的具有 位有效数字的近似值.axn如果 有 位有效数字,则 的相对误差界满足: 。a nax1024) .函数计算的误差估计如果 为 元函数,自变量 的近似值分别为 ,),(21nxfy nx,,21 na,,21则)(),(),( 12121 knkan xfafxf 其中 ,所以可以估计到函数值的误差界,近似地有,kaafxf kankann exfefxf 12121 ),(),(如果令 ,设 的近似值分别为 ,其误差界为 和n21, 21, 1a2x,取 为 之间的四则运算,则它们的误差估计为,2ae),(21xfy; ; , 。121aae 1122aae 2112ae02数相加或减时,其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.对于两个数作相减运算时,由于其相对误差界: 。2121aeea如果 和 是两个十分接近的数,即 和 两个数十分接近,上式表明计算的相对1x2 1a2误差会很大,导致计算值 的有效数字的位数将会很少。21a对于两个数作相除运算时,由于其相对误差界: 。2112aeea从关系式中可以看出,如果 很小,即 很小,计算值 的误差可能很大。2x215) .数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴ 算法的数值稳定性:一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之,成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。⑷ 注意简化运算步骤,尽量减少运算次数。⑸ 多个数相加,应把绝对值小的数相加后,再依次与绝对值大的数相加。2.向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来,在某种意义下,这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数,相应地有一类矩阵函数,其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用:一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1)向量范数定义 存在 ( 维实向量空间)上的一个非负实值函数,记为 ,若该函nR xf)(数满足以下三个条件:即对任意向量 和 以及任意常数 (实数域)xyR(1)非负性 ,并且 的充分必要条件为 ; 000x(2)齐次性 ; (3)三角不等式 . yxyx则称函数 为 上的一个向量范数.nR常用三种的向量范数设任意n维向量 , ( 为向量 的转置) ,Tnx),(21x, 向量的 1-范数 i1, 向量的 2-范数21,212 xxTnii, 向量的 -范数 inima一般情况下,对给定的任意一种向量范数 ,其加权的范数可以表为,xW其中 W 为对角矩阵,其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 上的任何向量范数 均为 的连续函数。nR向量范数的等价性定理 设 和 为 上的任意两种向量范数,则存在两个与向量n无关的正常数 c1 和 c2,使得下面的不等式成立x,其中 . xx21cnR2). 矩阵范数定义 存在 ( 维复矩阵集合)上的一个非负实值函数,记为 ,nR Af)(对任意的 均满足以下条件: A,B(1)非负性:对任意矩阵 均有 ,并且 的充分必要条件为
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