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矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析.doc

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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系;掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析;熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1.误差的基本概念和有效数字1) .绝对误差和相对误差的基本概念设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,则称 为近似值 的绝对误差,简xaax称为误差. 当 时, 称为 的相对误差.在实际运算中,精确值 往往是未知的,0x x所以常把 作为 的相对误差.ax2) .绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,如果有常数 ,使得xaaeex称 为 的绝对误差界,或简称为误差界.称 是 的相对误差界 .ae ae此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的,但是它们越小,说明近似 的程度越好,即 的精度越好.xa3) .有效数字设实数 为某个精确值, 为它的一个近似值,写成 nkaa21.0它可以是有限或无限小数的形式,其中 是 中的一个数字, 为),(i9,10 ka,01整数.如果nkax102则称 为 的具有 位有效数字的近似值.axn如果 有 位有效数字,则 的相对误差界满足: 。a nax1024) .函数计算的误差估计如果 为 元函数,自变量 的近似值分别为 ,),(21nxfy nx,,21 na,,21则)(),(),( 12121 knkan xfafxf 其中 ,所以可以估计到函数值的误差界,近似地有,kaafxf kankann exfefxf 12121 ),(),(如果令 ,设 的近似值分别为 ,其误差界为 和n21, 21, 1a2x,取 为 之间的四则运算,则它们的误差估计为,2ae),(21xfy; ; , 。121aae 1122aae 2112ae02数相加或减时,其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.对于两个数作相减运算时,由于其相对误差界: 。2121aeea如果 和 是两个十分接近的数,即 和 两个数十分接近,上式表明计算的相对1x2 1a2误差会很大,导致计算值 的有效数字的位数将会很少。21a对于两个数作相除运算时,由于其相对误差界: 。2112aeea从关系式中可以看出,如果 很小,即 很小,计算值 的误差可能很大。2x215) .数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴ 算法的数值稳定性:一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之,成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。⑷ 注意简化运算步骤,尽量减少运算次数。⑸ 多个数相加,应把绝对值小的数相加后,再依次与绝对值大的数相加。2.向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来,在某种意义下,这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数,相应地有一类矩阵函数,其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用:一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1)向量范数定义 存在 ( 维实向量空间)上的一个非负实值函数,记为 ,若该函nR xf)(数满足以下三个条件:即对任意向量 和 以及任意常数 (实数域)xyR(1)非负性 ,并且 的充分必要条件为 ; 000x(2)齐次性 ; (3)三角不等式 . yxyx则称函数 为 上的一个向量范数.nR常用三种的向量范数设任意n维向量 , ( 为向量 的转置) ,Tnx),(21x, 向量的 1-范数 i1, 向量的 2-范数21,212 xxTnii, 向量的 -范数 inima一般情况下,对给定的任意一种向量范数 ,其加权的范数可以表为,xW其中 W 为对角矩阵,其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 上的任何向量范数 均为 的连续函数。nR向量范数的等价性定理 设 和 为 上的任意两种向量范数,则存在两个与向量n无关的正常数 c1 和 c2,使得下面的不等式成立x,其中 . xx21cnR2). 矩阵范数定义 存在 ( 维复矩阵集合)上的一个非负实值函数,记为 ,nR Af)(对任意的 均满足以下条件: A,B(1)非负性:对任意矩阵 均有 ,并且 的充分必要条件为 ;A00AO(2)齐次性: , ∈ ;AC(3)三角不等式: , ;BnR(4)相容性: , ,Bn则称 为 上的矩阵范数。nR我们可定义如下的矩阵范数:,矩阵的 -范数minjija1A1,矩阵的 -范数(Frobenius)范数。21minjijFaF(矩阵范数与向量范数相容性定义) 对于一种矩阵范数 和一种向量范数 ,MV如果对任意 n×n 矩阵 和任意 n 维向量 x, 满足A,VVxA则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。MV3)矩阵的算子范数定理 已知 上的向量范数 , 为 n×n 矩阵,定义nRVVVMVAxxA10maa则 是一种矩阵范数,且与已知的向量范数相容,称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数; (列范数)mijnja11xA. (行范数)jijmi1(谱范数),)(ax2AT其中 表示矩阵 的最大特征值。)(maxATT对任何算子范数 ,单位矩阵 的范数为 1,即 。 nRII可以证明:① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数;任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数(如从属范数) .② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容(如矩阵 范数与向量 -范数相容) ;多1mp种矩阵范数可以与一个向量范数相容(如矩阵 范数和矩阵 范数与向量 范数相F22容) 。③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容,但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。 (如, 与向量 、 与向量 相容,但无从属关系) 。F21m1④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4)矩阵范数的性质① 设 为 矩阵空间的一种矩阵范数,则对任意的 n 阶方阵 均有 nRA. A)(其中 为方阵 的谱半径。0detmaxAI注意:当 时, 。T )(max2axmax2 AAT② 对于任给的 ε0, 则存在 上的一种算子范数 (依赖矩阵 和常数 ε) ,nRM使得.)(AM③ 对于 上的一种算子矩阵范数 ,如果 且 1, 则 可逆且nRnRAIn.I1n二、典型例题分析例 1.1:下列近似值的绝对误差限均为 0.005,问它们各有几位有效数字?, ,02.138a0312.b41086.c解: 现将近似值写成标准形式:, , ,3.1.4.在直接根据有效数字定义得出,,即 有 5210axnk2na位有效数字;,即 有 1 位有效数字;210bxnk21nb,即 无有效数字。c4c例 1.2:已知 的相对误差为 ,求 的相对误差。x03.ma解:此题要利用函数计算的误差估计,即取 , ,则由xf1mxf,可推出 ,故 的相对误差为axfxf xmm1a。a03.例 1.3:此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用 3 位算术运算求 在 处的值。5.12.63xxf 7.4表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法:截断法和舍入法。 x23x21.6x.3精确值 4.71 22.1841 104.487 111 135.323 01 15.0723 位数值(截断法) 4.71 22.1 104 135 15.03 位数值(舍入法) 4.71 22.1 104 135 15.1精确值:  5.1072.3.15487.10. f 89263.43 位数值(截断法): 40f3 位数值(舍入法): .上述 3 位数值方法的相对误差分别是,截断法 ,舍入法05.8926.143 06.89263.14作为另一种办法,用秦九韶方法(嵌套法)可将 写为xf5.13.23xxf 5.6那么,3 位数值(截断法): 2.14.7423174f385.1742.35.62.143 位数值(舍入法): 1.741.f 517423856174.33.48则相对误差分别是, (截断法) , (舍入50.89263.14 025.89263.14法)可见使用秦九韶方法(嵌套法)已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的 之内。对于舍入近似计算则改进更大,其相对误差已减少 以上。%10 %95多项式在求值之前总应以秦九韶方法(嵌套法)表示,原因是这种形式使得算术运算次数最小化。本例中误差的减小是由于算术运算次数从 4 次乘法和 3 次加法减少到 2 次乘法和 3 次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。例 1.4:已知近似值 , , 均为有效数字,试估计如下算21.a65.381.93a术运算的相对误差。 321解:由已知,; ; 。21012nkax 220ax 2310ax令, ,321321,xf321321,f由函数运算的误差估计式 321,xf321,af+ +1ax 2321,2axfx 3321,3axfx12从而,相对误差可写成321321321,,,affxf 321312,afxxa﹟8.96.5206.若 , ,0.3x0.则绝对误差 ,1a相对误差为:;103. x若 , ,03.0则绝对误差 ,41.a相对误差为: ;103 x若 , ,403.x430则绝对误差 ,1.a相对误差为: ;1430.0. x这个例子说明绝对误差有较大变化时,相对误差相同。作为精确性的度量,绝对误差可能引起误解,而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。例 1.5:在 中用图表示下面的点集,并指出它们的共同性质。2R, ,2x,1S2Rx,12S2Rx,13S解:这些点集的共同性质是:它们都是有界、闭的、凸的,关于原点对称的。例 1.6: .其中 表示 的模.此范pxpnip1,1 ixi数称 p-范数,而且1,2 范数为当p=1, 2 时的范数。而当 时,有p。 证明:事实上,xp ppininippinipx x111mama两边开 次方得p,由于 ,故 。xpni11)( lipxp例 1.7:证明 为 空间上向量范数。2nC证明:(1)对任给n维向量 ,若 ,则 不全nTCx),(21 0xnx,21为零,故 2212 nx(2)对任给 , ,则CTnC),(212221222212 xx  nnxxx (3) 对任给 , 则由TnC),(21 TnCy),(21yCauchy-Schiwatz 不等式: 可得2,),(xxyx),(,)((2 yy22x,22y= 。)(由向量范数的定义, 为 空间上的向量范数。2nC例 1.8 设 = ,求 、 、 、 和 。A401mAF1A2解: ;723121 jijima2321141ijFija; ;4,x121njijnjA 6,mx131njjijniA注意到, = = ,令 T4020168016481det  AIT得, ,从而 。)(T20520)(max2AT1. 3 习题1、填空题(1) 设 ,则 = 5 , = 3 , = , = 及20A1AF142A710的谱半径 = 3 。)((2) ,则 = 19 , = 12 , = 13 4)1,0,RTx1xx2x(3) 记 ,判断如下定义在 上的函数是否为 上的向量范数32(x3R3(填是或不是).(是 ) ; (不是 ) ; ( 321x 321x 321x不是 ) 。(4) 使 的近似值 的相对误差限不超过 0.1%,应取几有效4605.87a数字, = .a2、证明 (1) ; (2)xxn1 xxn23、设 ‖x‖为 上任一范数, 是非奇异矩阵,定义 = ,证明:算RnRPP子范数 = 。pA-1P4、设 为 阶非奇异矩阵, 为 阶酉矩阵.证明:nU(1) ; (2) 2U22A5、已知 ,问以下近似值 有几位有效数字,相对误差是多少?718.ex(1) , (2) ,xA e7.A(3) , (4) .0.0218,1x6、给定方程 ,利用 ,求精确到五位有效数字的根。126x96.28并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7. 在五位十进制计算机上求, 50110549iiS的和,使精度达到最高,其中 。2,8.ii8. 在六位十进制的限制下,分别用等价的公式(1) ; (2))1ln()2xxf )1ln()(2xxf计算 的近似值,近似值分别为多少?求对数时相对误差有多大?309. 若用下列两种方法(1) , (2) ,90*15!)(eiix*21905!exii计算 的近似值,问那种方法能提供较好的近似值?请分析原因。510. 计算 ,取 ,直接计算 f 和利用下述等式6)12(f 4.1;2709,23,, 36 计算,那一个最好?11. 如何计算下列函数值才比较准确。(1) ; (2) ;1,12xx对 1,1xx对(3) 充分大; (4) 。NdN其 中, ,sinco对1.4 习题解答1、解(1)有定义, = 3, = 5, = , = 及 = 3。1AFA142107)(A(2) ,则 = 19, = 12, = 13。4)2,0(RTxx2x(3)(是) ;为给定向量 1-范数的加权的范数,其中取对角矩阵, 。3W(不是) ;不满足向量范数性质 1;(不是) ;不满足向量范数性质 1。(4) =8.3667。因 , ,要是得相对误差限不超过a436025.8781a,即 ,则 时,有 。 %1.00.7 0.61nna 4n2、只就(2)证明 ,由定义可得, 212122 maxmaxnnkknkk从而, 。x23、首先,证明 是一向量范数。事实上,Px1)因 是非奇异矩阵,故 , ,故 时, ,且当nR0xP0x时, ,于是, 当且仅当 时, =0 成立;0xxxPP2)对 , ;xx3) 。PP yyyxyx 故 是一向量范数。再P,PxAxxAP 1000 maama令 ,因 非奇异,故 与 为一对一,于是yy110axAyAyP4、证明:(1),由算子范数的定义; 1maxmaxaxma 20202020202   UUHxHHxU证明:(2),,2AAHmaxAHmaxAHmax2。UU此结论表明酉阵具有保 2-范数的不变性。5、解:(1)由于 ,由有效数字定义可知, 有 2 位有效数字;又102Axe Ax,再由相对误差界的公式, ;21a 12104Axe(2)由于 ,由有效数字定义可知, 有 4 位有效数字;又3102Axe Ax,再由相对误差界的公式, ;21a 34102Axe(3)由于 ,由有效数字定义可知, 有 2 位有效数字;又3102Axe Ax,再由相对误差界的公式, ;21a 12104Axe(4)由于 ,由有效数字定义可知, 有 4 位有效数字;又5102Axe Ax,再由相对误差界的公式, 。21a 34102Axe6、给定方程 ,利用 ,求精确到五位有效数字的根。0126x96.8并求两个根的绝对误差界和相对误差界。解:由二次方程求根公式知, , 。若利用131x1832x,则近似根 具有 5 位有效数字,而961.2896.2a 62,只有 2 位有效数字。若改用0331682x 961.503859.2a则此方程的两个近似根 , 均具有 5 位有效数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别1a2为:;35210x 4511 02ax; 。6512a 4512637. ,其中 ,5011549iis8.0ii计算机作加减法时,先将相加数阶码对齐,根据字长舍入,则 个10666 1.08.1.0 s  个5022610549.与 和 在计算机上做和时, 由于阶码升为5496108.6102.5495 位尾数左移变成机器零,这便说明用小数做除数或用大数做乘数时,容易产生大的舍入误差,应尽量避免.若改变运算次序,先把 相加, 相加。再与 相加。即i10i554965010 1049.28  个个s 62. 5467015467.01549.018498 66 8.分析:由于 ,求 的值应看成复合函数。先令)ln()2xxf )(xf,由于开方用六位函数表,则 的误差为已知,故应看成12xy y,由 的误差限 求 的误差限 。)ln(ygz *)(g)ln(l*y解:当 时求 ,用六位开方表得30x1302,其具有 3 位有效数字。故67.167.98.2* y。41* 022nky由 ,得 ,故 。于是,)ln(ygzg)( yz**。24* 103.0167.5yz若用公式 ,令 ,此时 ,则)ln()(2xxf 2x)ln()(ygz,其具有 6 位有效数字。故5983.983.5.230* y。42* 10102nky而 。于是,yz** 64* 1083.10983.5yz可见,用公式 计算更精确。)1ln()(2xxf9.解:方法(1)的误差由 Taylor 展开可得, ,其中 在1015!ea与 0 之间。而方法(2)得误差是5 19019001 !5!5 iiiieae 1901900!5! iiiie,其中 。9051090510!!iiiiee 5由此可知方法(2)得误差是方法(1)的 倍,故方法(2)给出较准确的7.143!590ii近似值。10.解:所给出的 5 个公式可分别看作, , , ,61xf61xf32xf32xf,3327094取 的近似值 时,相应函数的计算值。而 。利用x.a 0.a函数计算的误差估计公式可得:;61406122 55afff;384.6167711a;2.3222 ff;05.433。由此可见,使用公式 计算时误差最小。70244aff 32111.以(2)和(3)为例其它同理解: (2)只需取 ;xxx121(3) 。)()1(12 NNxdN arctgtarctg注:令 ,则 , 。rct),( t1t由于 ,由差角公式: 。得arctgag1 tg)(tg,进而有 。trct )1()1( NNarctt
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