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鸡兔同笼、盈亏、平均数问题含答案.doc

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鸡兔同笼、盈亏、平均数问题含答案.doc
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鸡兔同笼、盈亏、平均数问题一、 知识地图 鸡 兔 同 笼 差 量 比 较 法盈 亏 问 题 条 件 转 化 法平 均 数 问 题 全 鸡 法假 设 法 全 兔 法砍 足 法一 元 一 次 方 程方 程 法 二 元 一 次 方 程 组典 型 应 用 题 盈 亏 型盈 盈 型亏 亏 型二、 基础知识公元 855 年唐朝,我国举行最早的数学选拔赛,题目如下:一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分 6 匹,多 5 匹;每人分 7 匹,少 8 匹,问几个强盗?几匹布?(一) 鸡兔同笼问题1. 假设全是鸡例如:鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假设全是鸡,则有 2×46=92(足) ,而实际上是 128 足,少了 128-92=36(足) ,为什么少了 36 足呢?因为我们把一只兔当作一只鸡来算时,就少算了 2 足,所以有36÷2=18(只)兔被我们当作鸡来算,所以有鸡 46-18=28(只) 。2. 假设全是兔例如:鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假设全是兔,则有 4×46=184(足) ,而实际上是 128 足,多了 184-128=56(足) ,为什么多了 56 足呢?因为我们把一只鸡当作一只兔来算时,就多算了 2 足,所以有56÷2=28(只)鸡被我们当作兔来算,所以有兔 46-28=18(只) 。3. “砍足法”例如: 鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假如砍去每只鸡、每只兔一半的足,则鸡就变成了“独脚鸡”,兔就变成了“双脚兔”,则鸡和兔足的总数就由 128 变成了 64,而且有一只兔子,则足的总数就比头的总数多 1,所以足的总数 64 与总头数 46 的差,就是兔子的只数,即 64-46=18(只),则鸡的只数就是 46-18=28(只)。 (二) 盈亏问题盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化,我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏” 、 “两盈” 、 “两亏” 。1.“盈亏”型例如:学而思学校提高班的同学分糖果,如果每人分 4 粒就多 9 粒,如果每人分 5 粒则少6 粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?分析:为什么第一次多 9 粒,而第二次还少 6 粒呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时不仅把第一次多出来的 9 粒分了,还要再添 6 粒才够分,也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分 9+6=15(粒) ,那为什么会有这种变化产生呢?因为第二次比第一次每人多分了 5-4=1(粒) ,那么要分 15 粒,就需要有 15÷1=15(人) ,共有15×4+9=69(粒) 。2.“盈盈”型明明过生日,同学们给他买蛋糕,如果每人出 8 元,就多出了 8 元;每人出 7 元,就多出了 4 元。那么有多少个同学?蛋糕的价钱是多少?分析:为什么第一次多 8 元,第二次就只多 4 元了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少出 1 元,也就是在第一次分配的基础上给每个人退了 1 元钱,总共退回了 8-4=4(元) ,所以共有 4÷1=4(人) ,蛋糕价钱是 8×4-8=24(元) 。3.“亏亏”型学而思学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发 10 本,还差 9 本,每人发 9 本,还差 2 本,请问有多少老师?多少本书?分析:为什么第一次差 9 本,第二次就只差 2 本了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少发 1 本,也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了 1 本书,总共拿回了 9-2=7(本)书,所以共有 7÷1=7(人) ,书有 7×10-9=61(本) 。(三) 平均数问题(1)平均数=总数÷参与平均的事物个数平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数(2)平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、 经典透析【例 1】 从前有座山,山里有个庙,庙里有许多小和尚,两个小和尚用一根扁担一个桶抬水,一个小和尚用一根扁担两个桶挑水,共用了 38 根扁担和 58 个桶,那么有多少个小和尚抬水?多少个挑水?[审题要点] 鸡兔同笼问题,假设法[详解过程] 假设全是抬水,38 根扁担应担 38 个桶,而实际上是 58 个桶,为什么少了 58-38=20(个)桶呢?因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2-1=1(个)桶,所以有 20÷1=20(人)在挑水,抬水的扁担数是38-20=18(根) ,抬水的人数是 18×2=36 人。专家点评:可以结合分析工具矩形图,来看鸡兔同笼问题:左图假设全是抬水: (58-38×1)÷(2-1)=
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