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鸡兔同笼、盈亏、平均数问题含答案.doc

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鸡兔同笼、盈亏、平均数问题一、 知识地图 鸡 兔 同 笼 差 量 比 较 法盈 亏 问 题 条 件 转 化 法平 均 数 问 题 全 鸡 法假 设 法 全 兔 法砍 足 法一 元 一 次 方 程方 程 法 二 元 一 次 方 程 组典 型 应 用 题 盈 亏 型盈 盈 型亏 亏 型二、 基础知识公元 855 年唐朝,我国举行最早的数学选拔赛,题目如下:一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分 6 匹,多 5 匹;每人分 7 匹,少 8 匹,问几个强盗?几匹布?(一) 鸡兔同笼问题1. 假设全是鸡例如:鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假设全是鸡,则有 2×46=92(足) ,而实际上是 128 足,少了 128-92=36(足) ,为什么少了 36 足呢?因为我们把一只兔当作一只鸡来算时,就少算了 2 足,所以有36÷2=18(只)兔被我们当作鸡来算,所以有鸡 46-18=28(只) 。2. 假设全是兔例如:鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假设全是兔,则有 4×46=184(足) ,而实际上是 128 足,多了 184-128=56(足) ,为什么多了 56 足呢?因为我们把一只鸡当作一只兔来算时,就多算了 2 足,所以有56÷2=28(只)鸡被我们当作兔来算,所以有兔 46-28=18(只) 。3. “砍足法”例如: 鸡兔同笼,头共 46,足共 128,鸡兔各几只?分析:假如砍去每只鸡、每只兔一半的足,则鸡就变成了“独脚鸡”,兔就变成了“双脚兔”,则鸡和兔足的总数就由 128 变成了 64,而且有一只兔子,则足的总数就比头的总数多 1,所以足的总数 64 与总头数 46 的差,就是兔子的只数,即 64-46=18(只),则鸡的只数就是 46-18=28(只)。 (二) 盈亏问题盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化,我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏” 、 “两盈” 、 “两亏” 。1.“盈亏”型例如:学而思学校提高班的同学分糖果,如果每人分 4 粒就多 9 粒,如果每人分 5 粒则少6 粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?分析:为什么第一次多 9 粒,而第二次还少 6 粒呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时不仅把第一次多出来的 9 粒分了,还要再添 6 粒才够分,也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分 9+6=15(粒) ,那为什么会有这种变化产生呢?因为第二次比第一次每人多分了 5-4=1(粒) ,那么要分 15 粒,就需要有 15÷1=15(人) ,共有15×4+9=69(粒) 。2.“盈盈”型明明过生日,同学们给他买蛋糕,如果每人出 8 元,就多出了 8 元;每人出 7 元,就多出了 4 元。那么有多少个同学?蛋糕的价钱是多少?分析:为什么第一次多 8 元,第二次就只多 4 元了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少出 1 元,也就是在第一次分配的基础上给每个人退了 1 元钱,总共退回了 8-4=4(元) ,所以共有 4÷1=4(人) ,蛋糕价钱是 8×4-8=24(元) 。3.“亏亏”型学而思学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发 10 本,还差 9 本,每人发 9 本,还差 2 本,请问有多少老师?多少本书?分析:为什么第一次差 9 本,第二次就只差 2 本了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少发 1 本,也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了 1 本书,总共拿回了 9-2=7(本)书,所以共有 7÷1=7(人) ,书有 7×10-9=61(本) 。(三) 平均数问题(1)平均数=总数÷参与平均的事物个数平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数(2)平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、 经典透析【例 1】 从前有座山,山里有个庙,庙里有许多小和尚,两个小和尚用一根扁担一个桶抬水,一个小和尚用一根扁担两个桶挑水,共用了 38 根扁担和 58 个桶,那么有多少个小和尚抬水?多少个挑水?[审题要点] 鸡兔同笼问题,假设法[详解过程] 假设全是抬水,38 根扁担应担 38 个桶,而实际上是 58 个桶,为什么少了 58-38=20(个)桶呢?因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2-1=1(个)桶,所以有 20÷1=20(人)在挑水,抬水的扁担数是38-20=18(根) ,抬水的人数是 18×2=36 人。专家点评:可以结合分析工具矩形图,来看鸡兔同笼问题:左图假设全是抬水: (58-38×1)÷(2-1)=20(根) ……20(人)挑水(38 -20)×2=36(人) ……36(人)抬水右图假设全是挑水: (38×2-58)÷(2-1)=18(根) ……18×2=36(人)抬水38-18=20(根)…… 20(人)挑水【例2】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖, 儿童票的价格为 30 元,成人票的价格为 40 元,如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票,一个由 8 个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票可以比他们各买各的少花 120 元,问这个旅游团一共有多少人? [审题要点] 鸡兔同笼问题的变形题[详解过程] 每个三口之家可以少花 30+40+40-32×3=14 元,每个二口之家可以少花40+40-64=16 元,如果这 8 个家庭都是三口之家,那么一共少花14×8=112 元,所以这 8 个家庭中有(120-112)÷(16-14)=4 个家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有 4×2+(8-4)×3=20 人。专家点评:这道题,首先要考虑的是,怎么理解“少花 120 元”?跟单位少花情况有关,这里的单位:可以不同家庭为单位,也可以成人与小孩为单位。一方面,我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较,可以如题所解;另一方面,我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较,可以另解如下:8 个家庭,成人必有 16 人,则每个成人将“少花”40-32=8 元。所以应该总共少花 16×8=128(元)而实际少花相差 128-120=8(元)是因为每个小孩多花了 32-30=2(元)所以,8÷2=4(人) ……小孩人数16+4=20(人)……旅游团一共人数还有一点值得强调的是,我们在使用假设法的过程中,所采用的比较思想非常重要,在一种证明方法——反证法中,假设法会又一次充当主角。【例3】蜘蛛有 8 条腿,蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫 16 只,共有 110 条腿和 14 对翅膀,每种小虫各有几只?[审题要点] 经典鸡兔同笼问题,用两次假设法[详解过程] 因为有三种动物,没有办法直接用鸡兔同笼解,所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿,发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是 6 条腿,那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起,分为两种动物:一种是 6 条腿,一种是 8条腿。假设全是 6 条腿的,共有腿 6×16=96(条) ,而实际上是 110 条,为什么少了 110-96=14(条)腿呢?因为当我们把 8 条腿的蜘蛛当作 6 条腿算的,有一只蜘蛛就少算 2 条腿,所以有蜘蛛 14÷2=7(只) ,所以蜻蜓和蝉有 16-7=9(只) ;我们再来看翅膀: 假设这 9 只全是蜻蜓,则应该有 9×2=18(对)翅膀,比实际多了 18-14=4(对) ,所以有蝉 4÷1=4(只) ,则蜻蜓 9-4=5(只) 。专家点评:如果我们感觉这样的算术解法有点烦,不妨看看美丽的方程:设:蜘蛛有 只,蜻蜓有 y 只,蝉有 z 只,得:x142068zy()23(1)×6: 9()x(2)-(4):2 =14=7代入(1)式:y+z=9…(5)(3)-(5):y=5。代入(5)式:z=4。很多时候,我们发现清晰的等量关系,一定要用,从而可以减少“算理”的思考量,把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算,不需要掌握太多的技巧,就能轻松把握。请参见本书第十九讲《方程》 。【例4】老师给同学们分苹果,每人分 10 个,就多出 8 个,每人分 11 个则正好分完,那么一共有多少名学生?多少个苹果?[审题要点] 盈亏问题[详解过程] 为什么第一次多 8 个,第二次不多也不少了呢?因为第二次每人多分了 1 个,所以有 8÷1=8(人) ,苹果 8×10+8=88(个) 。专家点评:请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异,而假设法是实际与假设之间的差异,两者有着异曲同工之妙。【例5】皮皮从家到学校,如果每分钟走 50 米,上课就要迟到 3 分钟;如果每分钟 60 米,就可以比上课时间提前 2 分钟到校,那么皮皮家距离学校多远?[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题[详解过程] 根据题意,每分钟走 50 米,迟到 3 分钟,实际上就是还差 50×3=150(米)到校;如果每分钟 60 米,提前 2 分钟到校,即到校后还可以多走60×2=120(米) ,第一次与第二次相差 150+120=270(米) ,也就是第二次比第一次多走了 270 米,所以皮皮从家到学校所用时间是 270÷(60-50)=27(分钟) ,皮皮家到学校的距离是 50×(27+3)=50×30=1500(米) 。专家点评:两种方案,除了速度差,更要感受到路程差,从而看到,这里的数量关系,竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的!【例6】国庆节快到了,学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆 5 盆花,还有 3 盆没人摆;如果其中 2 人各摆 4 盆,其余的人各摆 6 盆,这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆?[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题[详解过程] 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆 6 盆花,还缺 4 盆,那么就是简单的“一盈一亏” 。人数: [3+(6-4)×2]÷(6-5)=7(人) ,盆数:5×7+3=38(盆)或6×7-4=38(盆) 。专家点评:转化思想似乎有点玄,为什么我一定会想到:“把第二个条件转化为如果每人摆 6 盆花,还缺 4 盆”?答案在于,我们应该在大方向上有感觉,这道题“每人摆 5 盆,还有 3 盆没人摆;每人摆 6 盆,还……” , “还”字后面的下文怎么接?接上了,转化成功!记住:转化的关键在于我需要什么样的条件!现有条件能否转化为我要的条件?【例7】有四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样算了四次,得下面四个数:36.4,47.8,46.2,41.6,那么原来四个数的平均数是多少?[审题要点] 平均数问题[详解过程] 设这四个数分别为 A、B、C、D,根据条件则有:36.478.21ABCD所以 (36.478.2416)34A[专家点评] 实际上,本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分” ,也可以换成“某四个小朋友称体重,每三个人称一次” ,数量关系不变。这里要注意所求问题,不一定最后求平均数,也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。【例8】某次数学竞赛原定一等奖 10 人,二等奖 20 人,现在将一等奖中最后 4 人调整为二等奖,这样得二等奖的学生的平均分提高了 1 分,得一等奖的学生的平均分提高了 3 分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。[审题要点] 平均数增量[详解过程] 第一眼看这样的图,可能有点不够清楚。别急,我们来慢慢欣赏!首先从总体来看,矩形横向长度表示人数,竖向长度表示平均分,面积表示总分。请注意一下:d 与 e 分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分;而 a 表示一等奖后 4 名同学的平均分。b 与 c 表示调整后一等奖与二等奖的平均分。我们要求的量是 de 之间的平均分之差!我们要想一想,为什么这么一调整,一等奖的平均分高上去了,同时二等奖的平均分也高上去了呢?原因在于:前 6 名的 cd 之间的面积移补到一等奖后 4 名 da 之间的面积部分了。根据面积相等,长与宽成反比关系,可知:cd 之间的高度差︰da 之间的高度差=4︰6=2︰3即 3︰da 之间的平均分之差=2︰3。所以 da 之间的平均分之差=4.5(分) ,也就是说,这是后 4 名现在从原来的 d 降了 4.5 分。同理,后 4 人 ab 之间的面积=20 人 be 之间的面积;所以 ab 之间的高度差︰be 之间的高度差=20︰4=5︰1 所以 ab 之间的平均分之差︰1=5︰1,ab 之间的平均分之差=5(分)所以 de 之间的平均分之差为 4.5+5+1=10.5(分)[专家点评]对于平均数增量问题,用矩形图,数形结合去分析,应该很舒服!要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少” ,另外要注意所要移补的是总量,而不是平均量。也就是平均分差量与人数的乘积。这段话请结合上面的图形和分析理解,重要!!【例9】设四个不同的正整数构成的数组中,最小的数与其余三数的平均值之和为 17,而最大的数与其余三数的平均值之和为 29。在满足上述条件的所有数组中,其最大数的最大值是多少?[审题要点] 平均数与最值问题[详解过程] 设这四个数从大到小依次为 a、b、c、d,根据题意有。 ①1()173, ②29a用②式减去①式,得,213d即 a-d=18,a=18+d。因为 b、c 分别至少比 d 大 2 和 1,由①式得1(8)77+2d≤17,d≤5。由此得 a=18+d≤23。所以 a 的最大值 23,且当 a、b、c、d 依次为23,7,6,5 时符合题意。专家点评:这里的所谓平均数,直接应用为表示 3 个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。另外,对于不等式的求解,建议大家在理解了方程的恒等关系后,一并了解方程的恒不等关系。不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数,或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数,其不等关系不变。 (原来是什么符号,不用变号)如果是乘以或者除以一个相同的负数,则符号正好变反。这到初中会常用到。例如:7+2d≤17,两边同减 7,得:2d≤10,两边同除以 2,得:d≤5。四、 拓展训练1. 鸡、兔共笼,鸡比兔多 26 只,足数共 274 只,问鸡、兔各几只?[初级点拨] 鸡兔同笼问题,假设法[深度提示] 设鸡与兔只数一样多[全解过程] 设鸡与兔只数一样多:274-2×26=222(只) ,每一对鸡、兔共有足:2+4=6(只) ,鸡兔共有对数(也就是兔子的只数):222÷6=37(对) ,则鸡有 37+26=63(只) 。2. 100 个和尚 140 个馍,大和尚 1 人分 3 个馍,小和尚 1 人分 1 个馍。问:大、小和尚各有多少人?[初级点拨] 鸡兔同笼问题,假设法[深度提示] 将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿[全解过程] 本题即中国古算名题“百僧分馍问题” 。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚,那么共需馍 300 个,比实际多 300—140=160(个) 。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少 3—1=2(个),因为 160÷2=80,故小和尚有 80 人,大和尚有 100—80=20(人) 。3. 有两次自然测验,第一次 24 道题,答对 1 题得 5 分,答错(包含不答)1 题倒扣 1 分;第二次 15 道题,答对 1 题 8 分,答错或不答 1 题倒扣 2 分,小明两次测验共答对 30 道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分,问小明两次测验各得多少分?[初级点拨] 需要转化的鸡兔同笼问题,找相同点转化 [深度提示] 如果小明第一次测验 24 题全对[全解过程] 如果小明第一次测验 24 题全对,得 5×24=120(分) 。那么第二次只做对30-24=6(题)得分是 8×6-2×(15-6)=30(分) 。两次相差 120-30=90(分) 。比题目中条件相差 10 分,多了 80 分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少。第一次答对减少一题,少得 5+1=6(分) ,而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分,还可得 8 分,因此增加8+2=10 分。两者两差数就可减少 6+10=16(分) 。 (90-10)÷(6+10)=5(题) 。因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少 5 题,也就是第一次答对 19 题,第二次答对 30-19=11(题) 。第一次得分 5×19-1×(24- 19)=90。第二次得分 8×11-2×(15-11)=80。4. 学而思学校提高班的同学去划船。他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐 6 人;如果减少一条船,正好每条船坐 9 人。问:这个班共有多少同学?[初级点拨] 盈亏问题,先增加一条船[深度提示] 先增加一条船,那么正好每条船坐 6 人。然后去掉两条船,就会余下6×2=12(名)同学。[全解过程] 先增加一条船,那么正好每条船坐 6 人。然后去掉两条船,就会余下6×2=12(名)同学。改为每条船 9 人,也就是说,每条船增加9-6=3(人) ,正好可以把余下的 12 名同学全部安排上去,所以现在还有12÷3=4(条)船,而全班同学的人数是 9×4=36(人) 。5. 学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车,若每辆车乘 28 人则有 13 名同学上不了车,若每辆车乘 32 人则还有 3 个空座。问:有多少名同学?多少辆车?[初级点拨] 需要转化的盈亏问题, “每辆车乘 28 人则有 13 名同学上不了车”转化为盈还是亏呢?[深度提示] 已知若每辆车乘 28 人则有 13 名同学上不了车,可转化为:每辆车乘 28 人多出 13 名同学;若每辆车乘 32 人则还有 3 个空座,可转化为:每辆车乘 32 人少 3 人。[全解过程] 这种类型的题目要将其中的一个条件转化,使之转化为基本的盈亏问题。已知若每辆车乘 28 人则有 13 名同学上不了车,可转化为:每辆车乘 28 人多出 13 名同学;若每辆车乘 32 人则还有 3 个空座,可转化为:每辆车乘 32 人少 3 人,问有多少名学生多少辆车?所以,车数:(13+3)÷(32-28)=4(辆) ,学生有:28×4+13=125(人) 。6. 钢笔与圆珠笔每支相差 1 元 2 角,小明带的钱买 5 支钢笔差 1 元 5 角,买 8 支圆珠笔多6 角。问小明带了多少钱?[初级点拨] 需要转化的盈亏问题,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔。[深度提示] 都转换成钢笔;买 5 支钢笔差 15 角,买 8 支钢笔差(12×8-6)=90 角,这是双亏:分差是 8-5=3 支,总差是 90-15=75 角,就是说多买 3 支,就多差 75 角;[全解过程] 此题的关键在于条件的转换,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔。(法一)都转换成钢笔;买 5 支钢笔差 15 角,买 8 支钢笔差(12×8-6)=90 角,这是双亏:分差是 8-5=3 支,总差是 90-15=75 角,就是说多买 3 支,就多差 75 角;这样就可求出 1 支钢笔多少钱;继而求出小明带了多少钱。钢笔的价钱: [(12×8-6)-15]÷(8-5)=75÷3=25(角)小明带的钱数:25×5-15=125-15=110(角)=11(元)(法二)都转换成圆珠笔;买 5 支圆珠笔多 12×5-15=45 角,买 8 支圆珠笔多 6 角。圆珠笔的价钱[(12×5-15)-6]÷(8-5)=39÷3=13(角)小明带的钱数 13×8+6=104+6=110(角)=11(元)。7. 某一筐水果中有苹果和梨若干个。若每次拿出 1 个苹果和 1 个梨,则拿到没有苹果时,还剩下 50 个梨;若每次拿走 1 个苹果和 3 个梨,则拿到没有梨时,苹果还剩下 50 个。那么这筐水果共有 个。[初级点拨] 需要转化的盈亏问题[深度提示] 若每次拿走 1 个苹果和 3 个梨,则拿到没有梨时,苹果还剩下 50 个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走,梨还差 50×3=150 个,所以梨的个数比苹果多 50 个,比苹果的 3 倍少 150 个。[全解过程] 若每次拿走 1 个苹果和 3 个梨,则拿到没有梨时,苹果还剩下 50 个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走,梨还差 50×3=150 个,所以梨的个数比苹果多 50 个,比苹果的 3 倍少 150 个,所以苹果的两倍是 150+50=200 个,所以苹果有 100 个,那么梨的个数是 150 个,所以苹果和梨的总个数为 250个。8. 从 5 开始的一串连续的自然数 5,6,7,8,…,拿走其中一个数,余下的数的平均数是 10.75,那么拿走的数是_______。 [初级点拨] 平均数问题[深度提示] 5 至 17 这十三个连续自然数的平均数是 11[全解过程] 因为(5+17)÷2=11,所以 5 至 17 这十三个连续自然数的平均数是 11。还有 12 个数,拿走的数是(11 一 10.75)×12+11=14。9. A、B、C、D、E 是五个不同的自然数,从小到大依次排列,它们的平均数是 23,前四个数的平均数是 21,后四个数的平均数是 24,C 是偶数,求 D 是多少? [初级点拨] 平均数问题与不定方程[深度提示] A=23×5-24×4=19,E=23×5-21×4=31,B+C+D=21×4-19=65。[全解过程] 依题意得A=23×5-24×4=19,E=23×5-21×4=31,B+C+D=21×4-19=65。因为 >21,所以 D 应大于 21。而 A20。又 C 为偶数,653因此若 C=22,此时 D 至少为 23。若 D=23,此时则 B=65-22-23=20。若D23,则 B19,不符合题意。故 D=23。10. 马小哈同学使用计算器计算 2000 个数的平均数之后,不小心把所求出的平均数与原先的 2000 个数混在一起。有趣的是,这 2001 个数的平均数恰好是 2001。原来这 2000 个数的平均数是多少?[初级点拨] 平均数与方程法[深度提示] 我们可以设这 2000 个数的和是 S,平均数为 20Sa[全解过程] 设 2000 个数的和是 S,平均数为 ,则 ,这 2001 个数的平均数为202011Saa
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