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一元函数微分学总结.ppt

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,二、典型例题分析与解答,第二、三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数微分学总结,一、知识点与考点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,(一)导数与微分,①,若令,②,③,1.导数定义:,则,2.左右导数:,左导数:,右导数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导函数简称导数,且有,函数 y = f (x) 在点,4.导数的几何意义:,处的导数,表示曲线y = f (x)在点,处的切线斜率.,即有,曲线的切线方程为,3.导函数的定义:,曲线的法线方程为, 是 x→0时比x 高阶的无,穷小量,,并称Ax为f (x)在,其中A是与x 无关的量,,若函数的增量可表示为y=Ax+ ,,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记为dy ,,即dy=Ax .,5.微分的定义:,由于x=dx ,,所以,6.微分的几何意义:,点 x 处的微分,,当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标,的增量时,,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.,7.基本定理,定理1(导数存在的判定定理),定理2(函数可导与连续的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,可导函数必连续,但连续函数未必可导.,可导,定理4.(函数与其反函数的导数的关系),可微,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,定理3.(函数一阶可导与可微的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,,(5),(6),(7),设,及,(4),均为可导函数,,则复合函数,可导,,且,或,(微分形式不变性),8.运算法则,(1),(3),(2),9.基本初等函数的导数与微分公式,(3),(1),(2),(4),(8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(6),(7),(9),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(10),(11),(14),(15),(12),(13),(16),(17),10.高阶导数,例1. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11.方程确定的隐函数的导数,例2.设函数 y= y (x) 由方程,确定,,求,解法1:,方程两边对x 求导数得:,解得,方程两边微分得:,解法2:,解得:,12.参数方程确定的函数的导数,例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,解:,13.对数求导法:,求“幂指函数”及多个因子相乘除函数,的导数时用对数求导法.,解法1:,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等式两边对 x 求导数:,则有:,例4. 设,解法2:,作指数对数恒等变形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,则有,解,取对数,等式两边对 x 求导数:,(二) 中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.罗尔定理,(1)在闭区间[a , b]上连续;,(3) 且 f (a) = f (b) ;,成立.,(2)在开区间(a , b)内可导;,若函数 f (x) 满足条件:,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使,2.拉格朗日中值定理,若函数 f (x) 满足条件:,(1)在闭区间[a , b]上连续;,(2)在开区间(a , b)内可导;,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式,3. 柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,成立.,若函数 f (x) ,F (x) 满足条件:,(1)在闭区间[a , b]上连续;,(2)在开区间(a , b)内可导且,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式,(三)导数的应用,定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,,1. 函数的单调性,若对,都有,则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .,,,2.函数的极值,设函数 f (x) 在,内有定义,,x 为该邻域内异于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的任意一点,,若恒有,(或,则称,为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.,极大值与极小值,统称为函数的极值,,方程,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2. (函数取得极值的必要条件),的根称为函数 f (x) 的驻点.,则有,设函数 f (x)在点,处可导,,(可导函数的极值点必为驻点),且在该点处取得极值,,,,定理3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数取得极值的第一充分条件),设函数 f (x)在,内可导,,(或 f (x)在点,处连续但不可导).,(1) 若当x 由左至右经过,时,由“+”变“–”,,则,为函数的极大值.,(2)若当x由
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