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一起学奥数-余数问题.ppt

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风子编辑,余 数 问 题,五年级,教育目标,使学生初步理解有余数除法的意义,掌握有余数除法的横竖式写法,教育重点,用代数思想解决带余数的除法问题,及余数相等的运算,教育难点,代数思想在数论中的运用,掌握除法运算中,各运算部分包含的意义,学会用带余数的除法来解决实际问题,第一课 基础部分,例1:一个两位数除310,余数是37。求这样的两位数。,【分析】310是被除数,所求两位数为除数。由余数是37,可知除数是大于37两位整数。,又因为310-37=273=3×7×13,所以这个两位数是39或91。,解:∵ 余数是37∴ 这个两位数大于37又∵310-37=273且273=3×7×13∴ 这个两位数我39或91,被除数÷除数=商……余数 余数 除数,两个整数相除,有两种情况:一是能整除,即余数为零;另一是不能整除,即余数不为零。,用代数思想表示两数相除:a=b × q + r(0≤r<b)或 a ÷ b = q……r (0≤r<b),例2:有一个整数,用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50.这个整数是多少?,【分析】先用代数思想,设这个整数为a,三个余数为r、q、p(r+q+p=50),则和a的三个相互关系可以用如下式子表示:,70=r mod(a),110= q mod(a),160=p mod(a),即: a|70-r; a|110-q; a|160-p,所以:a|70+110+160-50=a|290=a|2×5×29,下面我们来分析下a的取值范围。,如果a<17,则r、q、p都小于17,三个余数之和则小于50,所以,必有一个以上的数大于等于17。,如果a70,则这个整数去除70的余数必定为70,所以三个余数的和,必定大于50。,所以,这个整数必定在17和70之间。且a|2×5×29,所以这个整数为29或58。,用58去除110的余数为52,不符合要求。所以这个整数为29,在数论问题中,最关键的是用好代数思想,例3:一个自然数除以3,得余数2,用所得的商除以4,得余数3.若用这个自然数除以6,得余数()。,【分析】首先请大家回想一下还原法。并结合这个题目,写出还原法的分析过程。,我们可以去假设最后得到的商是a,则这个自然数为3×(4a+3)+2=12a+11,因为6|12a,所以12a+11除以6所得余数,与11÷6的余数相同,即为5.,求余数过程中,可以把能够整除一部分去除,例4:有一张纸剪成6块,从所得纸片中取出若干块,每块各剪成6块,再从所得纸片中取出若干块,每块各剪成6块······如此进行下去,到剪完某一次后停止。所得纸总数有可能是2012,2013,2014,2015,2016这几个数中的()。,【分析】首先大家来演示一下这个过程。,一张纸剪成6块,比原来增加了6块;,从6块中随便取出几块,那一块剪成6块,总的数量又增加了5块;再取一张剪成6块,总的数量还是增加了5块,如此直至剪完取出的几块纸。,再从所得的纸片中取出若干块,用上面同样的方法剪,结果每剪一次就增加5块纸。,请大家告诉我,发现了一个什么样的规律?,没剪一次,就增加5块纸。最后纸的数量与剪的次数相关,而与取出的方法无关。,所以,最后所得的数,必定是除以5余1。题目中五个数,仅2016÷5余1 。,要学会从复杂的过程中找出规律,例5:商店里有六箱货物,分别重15、16、18、19、20、31千克,两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是()千克。,【分析】一个顾客买的货物重量是另一个的2倍,如果设一个顾客买的货物重量是a,则另一个买的货物重量是2a,两个人的货物的合计重量为3a,即两个顾客的货物的重量能够被3整除。,总共只有6箱货物,我们先来看看六箱总的重量: 15+16+18+19+20+31=119,显然,119不能被3整除:119÷3=39……2 ,因为5个箱子的总重必须被3整除,所以六箱重量除以3余2,是由于其中一个箱子的重量除以3余2引起。,从六个箱子分别的重量中,可以看出,只有20除以3余2,所以剩下的一箱货物重量为20千克。,例6:有一列数:1,3,9,25,69,189,517,···,其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加1,那么这列数中的第2014个数除以6,得到的余数是()。,【分析】对一列数的分析,有两种方式,一种是先按规律找出一般表达式,即通项,再按通项算出指定数;另一种是先对数列进行分析,根据分析结果找出规律,再完成指定数与这个规律间的对应关系分析。,从这列数的前7个数看,数字快速变大,第2014个数的书写也会变得麻烦。且按给定条件,也很难写出这一数列的通项。所以,我们可以尝试第二种方法。,把前7个数除以6,得
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