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第十二章 对策论.ppt

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第十二章 对策论,,第一节 引言,对策现象和对策论,对策论又称博奕论或竞赛论(game theory)是研究具有对抗或竞争性质现象的数学理论和方法,是应用数学的一个分支,也是运筹学的一个重要学科,还被认为是经济学研究的一个重要工具。近年来由于对策论在经济管理中的广泛应用而日益受到人们的重视。,对策现象是指具有对抗或竞争性质的现象。,,对策论就是研究在对策现象中各方是否存在最合理的行动方案,以及如何找到合理的行动方案的数学理论与方法。,典型的历史案例—“齐王赛马”,齐王,上马 中马 下马,田忌,上马 中马 下马,各出马一匹进行比赛,田忌策略:,负者要支付胜者千金,上马,下马,中马,上马,下马,中马,对策现象的三要素,局中人(players):指对策中有权决定自己行动方案的对策的参与者。通常用I表示局中人的集合。常常直接用数字标识局中人。对策论关于局中人的一个重要假设是:每个局中人都是“理智的”。,策略(strategies):对策中可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案。在对策中局中人i的策略集记成Si,一般一个局中人的策略集中至少包含两个策略。一个对策中,由每个局中人所出的策略构成的策略组称为一个局势。设第i个局中人策略记为si,则s=(s1, s2, …, sn)是一个局势,而全部局势的集合可表示为,对策现象的三要素(续),赢的函数(支付函数)(payoff function):对策中当每一个局势s出现后,应该为每个局中人i规定一个赢得值(支付值)Hi(s),显然Hi(s)是定义在S上的函数。,例如在“齐王赛马”中,设s1=(上,中,下)是齐王的一个策略,s2=(中,下,上)是田忌的一个策略,则s1与s2构成了一个局势s12,并且在这一局势中齐王和田忌的赢得值分别为 H1(s12)=1, H2(s12)=-1,一般地,当局中人、策略集、赢得函数这3个要素确定后,一个对策模型也就确定了。,对策问题举例及对策的分类(1),例1 市场购买力争夺问题(p387),市场:下一年的饮食品购买力为4000万元,乡镇企业策略,出售特色饮食品,出售一般饮食品,中心城市企业战略,出售高档饮食品,出售低档饮食品,乡镇企业赢得,2000,3000,1000,3000,对策问题举例及对策的分类(2),例2(p387),局中人:企业I、企业II,策略:企业I在时刻x出售,企业II在时刻y出售,其中x,y[0, 1],赢得函数:在局势(x, y)下企业I的赢得值为,对策问题举例及对策的分类(3),例3 费用分摊问题(p387) 例4 拍卖问题(p387) 例5 囚犯难题(p388),囚犯甲策略,承认,不承认,囚犯乙策略,承认,不承认,(甲赢得,乙赢得),(-7, -7),(0, -9),(-9, 0),(-1, -1),对策问题举例及对策的分类(4),分类:,按局中人的个数:二人对策和多人对策;,按各局中人的赢得函数的代数和是否为零:零和对策和非零和对策;,按局中人之间是否允许合作:合作对策和非合作对策;,按局中人的策略集的元素个数:有限对策和无限对策;,按策略的选择是否与时间无关:静态对策和动态对策;,按模型的数学特征:矩阵对策、连续对策、微分对策、凸对策、随机对策等等,今后我们主要讨论二人有限零和对策(又称为矩阵对策),第二节 矩阵对策,矩阵对策——二人有限零和对策,策略:,,局中人1:,局中人2:,赢得函数值:对于局势,,局中人1:,局中人2:,其中:,称矩阵A=(aij)为局中人1的赢得矩阵,明显地A就是局中人2的支付矩阵。因此对矩阵对策,一旦给出矩阵A,则模型随之确定,矩阵对策的纯策略,一般地,矩阵对策记为G={S1, S2, A},其中S1与S2分别是局中人1和2的策略集。(作为理论探讨实际上并不关心这些策略集中具体有哪些策略,而只关心有几个策略),为了与后面的混合策略区别,这些策略集中的每个策略称为一个纯策略。,例(p389)设有一矩阵对策G={S1, S2, A},其中,矩阵对策的解,局中人1,局中人2,策略3,,,策略3,,策略4,策略1,,局中人如果从自己的角度出发考虑,可见这样做,局中人实际上难以达到使自身利益最大化的目标。因此局中人应该这样考虑每一个策略,当自己采用一个策略时,对方可以肯定会采用某个特定的策略。在此基础上来选择对自己最有利的策略。,矩阵对策的解(续1),从对局中人1的策略来看,对其采用的每个策略,局中人2必定会采用矩阵A中该行最小数对应的策略。,因此局中人1选择其最优策略的方式是:选出A中每行中的最小数,然后再在选出来的数中的最大者对应的策略。也即局中人1选择 对应的策略。,同样,局中人2选择其最优策略的方式是:选出A中每列中的最大数,然后再在选出来的数中的最小者对应的策略。也即
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