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第十章 机械振动和电磁振荡.ppt

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第十章 机械振动和电磁振荡,丛伟艳,基 本 要 求,一、掌握描述简谐振动的各物理量 (特别是相位) 及各量之间的关系 。,二、掌握旋转矢量法。,三、掌握简谐振动的基本特征,能建立一维简谐振动的微分方程,能根据初始条件写出一维谐振动的振动方程,并理解其物理意义。,四、理解两个同方向、同频率的简谐振动的合成规律。,机械振动:物体在一定位置附近所作的来回往复的运动。,振动分类,,受迫振动,自由振动,,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,,无阻尼自由非谐振动,无阻尼自由谐振动,(简谐振动),广义振动:,任一物理量(如位移、电流等)在某一量值附近作反复或周期性变化。,§10-1 简谐振动,一、简谐振动的特征及其表达式,1.简谐振动,物体运动时,如果离开平衡位置的位移x (或角位移 ) 随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数,简称谐振。,表达式,x(t)=Acos( t+0),特点,(1)等幅振动,(2)周期振动 x(t)=x(t+T ),弹簧振子的振动,2.简谐振动的特征及其表达式,弹簧振子:弹簧—物体系统,平衡位置:振动物体所受合外力为零的位置,物体在平衡位置的两侧,在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下,不断重复相同的运动过程。,弹簧振子的振动方程,分析小球的受力,建立运动方程,由胡克定律:,牛顿第二定律:,,其通解为:,谐振动运动方程,谐振动微分方程,(1)(2)两式均为物体作谐振动的特征表述。,物体作谐振动的特征,一个运动物体,它的加速度a与它离开平衡位置的距离恒成正比而反向那么此物体一定作简谐振动。,物体离开平衡位置后,总是受到一个方向指向平衡位置,大小与物体离开平衡位置的距离成正比的力的作用,则此物体一定在作简谐振动。,----线性回复力,运动学特征,,动力学特征,,,第一个重点:如何判断物体是否做简谐振动,1、进行运动学分析,位移、速度和加速度任一个满足 与时间的余弦或正弦函数关系, 即为简谐振动。,2、进行力学分析,物体所受合外力与其位移大小成正比,方向与位移方向相反, 物体即做简谐振动。,谐振动的三个判据,例1 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动,试分析小球的运动是否简谐振动。,分析小球的切向运动,谐振动,,解,竖直方向悬挂的谐振子,光滑斜面上的谐振子,k,简谐振动的速度、加速度:,简谐振动方程:,谐振动振子的速度:,谐振动振子的加速度:,(1) 谐振子的速度、加速度也呈周期性变化,且周期相同。,但各余弦项中依次增加 /2,——超前,(2) 速度幅值Vm、加速度幅值am,相应的另一式——滞后,,,,,,,,,,,,,,二. 描述简谐振动的特征量,1、振幅 A ——振动物体运动的空间范围,谐振动物体 离开平衡位置的最大位移的绝对值。,2、周期T---物体完成一次全振动所需时间。,频率--物体在单位时间内振动的次数。,角频率:-- 2π秒内振动的次数,弹簧振子:,单摆:,3、 相位  t+0 决定振动物体的运动状态,相位  t+0 =0,x=A v=0 a=-ω2A,相位  t+0 =/2,x=0 v=-Aω a=0,,,,,a. (t +0 )是 t 时刻的相位,b. 0 是t =0时刻的相位 — 初相,⑴ 位相描写了振子在任意时刻的振动状态,——位相的物理意义,在旋转矢量法中,任意时刻振幅矢量与x 正向的夹角为其位相,⑵ 初始时刻 t=0 时,振动位相为:,0,描述了 t=0 时刻振子的振动状态,——初位相的物理意义。,——初位相,定义:,若存在两个振动x1、x2 ,其位相分别为:,则称: = 2- 1 =( 2 t+ 20)-(1 t+ 10) 为位相差。,同相和反相,当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称x1、x2 同相。,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反 , 称x1、x2 反相 。,超前和落后,若 =  2- 10, 则 x2比x1较早达到正最大,称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。,超前、落后,以 的相位角来判断,4、A 和  0的确定(初始条件),振动方程:,初始条件:,0 在 -  ~  之间有两个值, 要由初始条件判断取舍。,★ 注意:,,(初速度),(初位移),5、决定简谐振动各特征量的因素,弹簧振子系统:,1. T 和ν 由振动系统本身的性质(弹性 k 和惯性 m )决定。,T— 固有周期 ; ν — 固有频率。,2. A 和 φ0 由初始条件确定。,三. 简谐振动的描述方法,1. 解析法,由 x=Acos( t+0 ),已知表达式  A、T、0 已知A、T、0  表达式,2. 曲线法,,,o,A,-A,t,x,,,0 =  /2,T,已知曲线  A、T、0已知 A、T、0  曲线,x ~ t 关系曲线称振动曲线。,作坐标轴 Ox,,3、旋转矢量表示法,以角速度 ω 绕 O 点逆时针旋转。,— 旋转矢量,其矢端 M 在 x 轴投影 P 点的位移:,初始时与 x 轴夹角为 0 ,,t 时刻与 x 轴夹角为  t + 0 。,其大小为 A,,P 点的运动规律 — 简谐振动。,t = 0,自原点作一矢量 ,,已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态如下:1)位于负最大位移处;2)经过平衡位置向位移的负方向运动; 3)经过平衡位置向位移的正方向运动;4)经过1/2最大位移处且向位移的正方向运动。试用旋转矢量法确定各种情况下得初相。,,,,,,,,,,,,,研究质点的运动,已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为过1/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为T=2s,求再次通过1/2最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。,,,,,,,,四、简谐振动的能量,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻,谐振子速度为v,位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,但周期是振动周期的二分之一。,,谐振动系统的总机械能守恒,,,,(1)在运动过程中, 动能和势能相互转换。,★ 说明:,(2)总机械能保持不变, 且与振幅的平方成正比。,(3)动能和势能发反相,他们的极大值相等。,能量平均值,,,简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等, 且等于总能量的一半。,★ 结论: 简谐振动的重要特征:,简谐振动的能量关系可以用势能曲线来描述:,,,,系统受力矩:,由转动定律:,单摆,令,得:,五、摆动,单摆的运动是谐振动。,周期,振动方程:,★ 说明:,(1) 单摆周期 T 与摆锤的质量 m 无关。,,(4)  较大时:,(2) 由 T, l 可测量该地的重力加速度 g 。,(3) 单摆在小角度近似下为谐振动。,振动方程:,复摆,★ 说明:,(1) 小角度近似下为谐振动。,系统受力矩:,周期:,角频率:, 很小时,振动方程:,(2) 可测量物体对转轴的转动惯量 J 。,例2:一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为 0.5 s。 当 t = 0时, x0= 1.010 2m, v0= 0.218 m · s 1。求: 振动方程。,解:,得:,已知,t = 0,例3: 已知某质点谐振动曲线如图, 试写出振动方程。,由图知:A = 2m ,,解:,振动方程:,t = 0 时,,,,,,,得:,,例4: 原长为0.50m 的弹簧,上端固定,下端连一质量为 0.10kg 的砝码。砝码静止时,弹簧长 0.60m 。若将砝码向上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,则砝码做上下运动。(1)证明砝码的上下运动为谐振;(2)求此谐振的振幅、角频率、频率;(3)若从放手时开始计算时间,求此谐振动的运动方程(设正方向向下),解:①,由题设可知,弹簧长0.6m时系统平衡,此时有,其中:x 0=0.1 m,以此处为原点建立正向向下的坐标系,如图示,则在任意位x,砝码均受两个力作用:重力mg,弹簧的弹性力 f = k ( x+ x0 ),则由牛二律有:,② 求此谐振的振幅、角频率、频率,由上述推导可知:,系统在做谐振。,若从放手时开始计算时间,求此谐振动的运动方程(设正方向向下),例5 : 已知x0 ,v0,利用旋转矢量法求初相0,eg. (1)X0=A/2, V0x 0 (2)X0=0, V0x 0,这类问题的解决分为两步 (1) 先由xo找出对应矢量可能出现的两个位置(2) 根据初速度的水平分量Vox 方向做判断,解:(1),,,,,,由于已经设定旋转矢量角频率为逆时针方向,则如图示有:,(2),,同理可得:,例6:质量为 m 的平底船,平均 截面积为 S ,吃水深度为 h ,设水的 密度为  ,不计水的阻力。求:此船 在竖直方向的振动周期 T 。,解:此船静浮时, 浮力 = 重力:,取 x 轴如图,,合力F 与位移 x 正比反向, 船在竖直方向作谐振动。,角频率,船所受的合力:,周期,§10-2 阻尼振动 受迫振动 共振,一、阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,,摩擦阻尼: 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用,系统的动能转化为热能。,辐射阻尼: 振动以波的形式向外传播,使振动能量向周围辐射出去。,阻尼振动的振动方程:(以摩擦阻尼为例),运动方程:,振子受粘性阻力:,阻尼系数(因子)由阻力系数γ决定。,固有角频率由系统本身性质决定,弱阻尼 ( ),,方程的解为:,— 阻尼振动角频率,其中:,— 阻尼振动周期,称为阻尼振动的振幅。,,阻尼振动振幅渐衰,弱阻尼曲线:,振幅随时间 t 作指数衰减;近似为简谐振动;阻尼振动周期比系统的固有周期长。每一周期内损失的能量越小,振幅衰减越慢,周期越接近于无阻尼自由谐振动。,阻尼过大,在未完成一次振动以前,能量就已消耗掉,振动系统将通过非周期运动回到平衡位置。,使系统能以最短时间平滑的返回平衡位置,而恰好不作往复运动的阻尼,从周期振动变为非周期振动。,(应用于天平调衡),— 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。,二、受迫振动,驱动力:,阻尼力:,弹性力:,受迫振动的运动微分方程:,微分方程的解为,其振幅为:,受迫振动振幅的大小,不决定于系统的初始条件,而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和强迫力的特征有关。,三、共振,— 驱动力的角频率为某定值时受迫振动的振幅达到极大值的现象。,共振角频率:,共振振幅:,由 式,令:,得:,1.位移共振:,★ 分析:,(2)  = 0 时,,尖锐振动。,★ 强迫力的方向永远与物体运动方向相同。,A共 越大。,2.速度共振:,一定条件下, 速度幅达到极大的现象。,速度幅值达到极大值,受迫振动稳态时的速度,,★ 应用:,(1) 电磁共振选台(收音机); (2) 乐器利用共振提高音响效果; (3) 研究避免共振的破坏的措施等。,破坏外力(强迫力)的周期性 改变系统固有频率 改变外力的频率 增大系统阻尼力,塔科马海峡大桥的共振断蹋,1、电磁振荡:,§ 10-4 电磁振荡,电路中电压和电流的周期性变化,2、LC振荡回路,电荷和电流随时间作周期性变化,电场能,磁场能,3、无阻尼电磁振荡:,在LC电路中电荷和电流随时间作周期性变化,电场能,磁场能,若无如何能量损失,变化将在电路中一直持续下去,形成无阻尼自由振荡,,,无阻尼电磁振荡的电荷、电流变化规律,,,,,其解:,∴,∴,无阻尼电磁振荡电荷变化规律:,极板上最大电荷量,,无阻尼电磁振荡电流变化规律:,,,,电流振幅(最大值);I位相超前q,无阻尼电磁振荡 电场能量,无阻尼电磁振荡 磁场能量:,,总能量:,电磁阻尼振荡方程:,4、电磁阻尼振荡,特点:存在能力损耗(焦耳热、辐射),电磁受迫振荡方程:,在稳定状态下 其解:,外加驱动电源角频率,,,,其中:,感抗,容抗,电抗,阻抗,电共振条件:,6、力电类比,§10-5 谐振动合成Ⅰ——同振向谐振合成,一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成:,质点同时参与:,则质点的实际振动x =?,1. 解析法求合振动:,,,即:质点所作的合成振动为同频、同向的谐振动。,下面确定合振动的振幅与初相:,⑴ 合振动的角频率也是,⑵ 合振动的振幅始终不变。,⑶ 合振动是同振向谐振动。,,,,,,,,,,,,2. 旋转矢量法求合振动:,3. 同相和反相,(1) 同相:,两振动步调相同,振动加强,同相。,合振幅最大,(2) 反相:,两振动步调相反,振动减弱,反相。,合振幅最小,当 A1 = A2 时,静止。,,⑶ 为其它值,则合振幅介于两极值之间,4. 超前和落后,则称:x2 比 x1 超前;或 x1 比 x2 落后。,x2 比 x1 超前,5. 多个同振向、同频率谐振动的合成,采用旋转矢量法:,各分振动矢量首尾依次相接。,若,例6:有两个振动方向相同的谐振动,其振动方程分别为:,问:当  3 为何值时,x1+x3 的振动为最大值 ?当  3 为何值时,x1+x3 的振动为最小值 ?,解:(1) 同振向、同频率谐振动合成后还是谐振动:,(2) 另有一同方向的谐振动,(1) 求合振动方程;,振动方程为,(2),当 时同相,,即 振幅最大。,当 时反相,,即 振幅最小。,得:,例7: 两个同方向、同频率的简谐振动,其合振动振幅为0.2m,位相与第一个简谐振动的位相相差π/6。若第一简谐振动的振幅为 。 求: 第二个简谐振动的振幅A2=?第一、二两个简谐振动的位相差 △φ= φ2 –φ1 =?,解:,采用旋转矢量法。,设第一个振动的初相为:φ1=0,则可做旋转矢量图.,,,,由正弦定理可得:,不同频率谐振动的合振动不再是简谐振动!,二、同一直线上两个不同频率谐振动的合成,分振动:,合振动:,当 2 1时,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,合振动频率:,合振动振幅:,★ 讨论: 两频率都较大, 而频率差很小的情况,合振幅出现时大时小的现象 — 拍现象。,★ 拍频 — 单位时间内合振幅极大出现的次数。单位时间内加强(或减弱)的次数,振幅变化的周期为:,拍现象的应用:,用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等,一、相互垂直的同频率谐振动的合成,消去参数 t ,得轨迹方程:,是一个椭圆类二次曲线方程。,§10-6 二维谐振动的合成,1.,2.,轨 迹:,运动方程:,是谐振动,角频率与初相不变。,轨 迹:,运动方程:,是谐振动,角频率与初相不变。,(两个分振动同相),(两个分振动反相),★ 讨论:,3.,4.,轨 迹:,是椭圆运动,方向时顺时针 (右旋)。,轨 迹:,是椭圆运动,方向时逆时针 (左旋) 。,( y 比 x 相位超前 / 2 ),( y 比 x 相位落后 / 2 ),A1= A2 时,为圆轨道, 即作圆周运动。,5. △= 2- 1= 其它值:,合振动轨迹为一斜椭圆,但仍有左右旋之分。,1.两个相互垂直的同频谐振动的合振动的轨迹是椭圆,且椭圆的性质由分振动的相位差决定。,2.将上面的情况推广:任意振动都可以分解成若干谐振动。,综上可见:,二、垂直方向不同频率简谐振动的合成,1. 两分振动频率相差很小,可看作两频率相等而 2―1 随t缓慢变化,合运动轨迹将按图依次循环地缓慢变化。,★ 测量谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差。,合振动轨道一般不是封闭曲线,但当频率有简单整数比 关系时,是稳定的封闭曲线,称为“李萨如图形 ”。,2. 两振动的频率相差很大,
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