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第四次课 动力学部分(II).ppt

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动力学 (Ⅱ),达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法,即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题,因此又称为动静法。,虚位移原理是普遍适用于研究任意质点系平衡问题的一个原理,它应用功的概念分析系统的平衡问题,是研究静力学平衡问题的另一途径。它是研究平衡问题的最一般的原理。,一、达朗贝尔原理 二、虚位移原理 三、例题及练习,内容提纲:,1. 惯性力,注意惯性力的大小和方向。,一) 惯性力• 达朗贝尔原理,,,,一、达朗贝尔原理,2. 质点系的达朗贝尔原理,即:作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。,(*),质点并非真的处于平衡状态,这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学问题,这一方法具有很多优越性。,强调指出:,在静力学中,称 为主矢, 为对点O 的主矩,这里称 为惯性力系的主矢, 为惯性力系对点 O的主矩。,,,,一、达朗贝尔原理,二)刚体惯性力系的简化,为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题,常需将刚体中各质点的惯性力所组成的惯性力系进行简化,求出惯性力系的主矢和主矩。,以FIR表示惯性力系的主矢,则,此式适用于任何质点做任何运动,动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩,,,,一、达朗贝尔原理,主矢的大小和方向与简化中心的位置无关,主矩一般与简化中心的位置有关。下面对刚体惯性力系简化的主矩进行讨论。,1. 刚体作平移,,,,一、达朗贝尔原理,结论:,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反(如下图)。,当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化,可简化为此对称平面内的一个作用于O点的力和一个力偶。,其中,,,,2.刚体定轴转动,一、达朗贝尔原理,有质量对称平面的刚体,平行于此平面运动时,惯性力系向质心C简化的结果为通过质心的一个力和一个力偶。此力 ,力偶 。,,,,3.刚体作平面运动,一、达朗贝尔原理,一)虚位移,在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任意无限小的位移,称为质点系(在该瞬时)的虚位移。,虚位移可以是线位移,也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。如下两例中的δφ ,δrA,δrB都是虚位移。,虚位移与真正运动时发生的实位移不同。,,,,,,,,,,,,二、虚位移原理,实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的;虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向,可能是微小值,也可能是有限值;虚位移则是微小位移,视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的;虚位移只是纯几何的概念,完全与时间无关。,在定常约束下,微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下,微小实位移不再是虚位移之一。,对于无限小的实位移,一般用微 分符号表示,例如dr,dx,dφ,…等。,,,,,,,,,,,,二、虚位移原理,力在虚位移中上所作的功称为虚功,记为 。,二)虚功,如果在质点系的任何虚位移上,所有约束反力的虚功之和等于零,则称这种约束为理想约束。,质点系受有理想约束的条件:,三)理想约束,如右图,,,,,,,,,,,,,F的虚功为 , 是负功;M的虚功为 , 是正功。,二、虚位移原理,具有理想约束的质点系,平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。,解析式:,上述结论称为虚位移原理,又称为虚功原理,上面各式又称为虚功方程。,即,,,,,,,,,,,,四) 虚位移原理,二、虚位移原理,虚位移原理的应用 1、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力; 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置; 3、系统在给定位置平衡时,求主动力之间的关系; 4、求平衡构架内二力杆的内力。,,,,,,,,,,,,二、虚位移原理,[例1] 均质圆盘质量为m1,半径为R。均质细长杆长l=2R,质量为m2。杆端A与轮心为光滑铰接。如在A处加一水平拉力F,使轮沿水平面纯滚动。问:力F为多大方能使杆的B端刚好离开地面?又为保证纯滚动,轮与地面间的静滑动摩擦因数应为多大?,,,,三、例题及练习,根据达朗贝尔原理:,解得:,细杆刚好离开地面时仍为平移,且地面约束力为零,设其加速度为a,受力分析如图,其中惯性力,解:,(一)取细杆为研究对象。,(二)取整体为研究对象,受力分析如图,,其中,,,,三、例题及练习,根据达朗贝尔原理:,解得:,(三)取整体为研究对象,求摩擦系数,如图,,,而,,,,三、例题及练习,[例2] 均质细杆长l ,质量m, 在水平位置用铰链支座和铅垂绳BD连接, 如图(a)示。如绳突然断去,求杆到达与水平位置成φ角时A处的支座反力。,(一)选杆为研究对象,到达与水平位置成φ角时,受力分析如图(b)所示。,解:,其中,惯性力,,,,三、例题及练习,,,,FIAn,FIAt,MIA,由动能定理得,(二)根据达朗贝尔原理列平衡方程式,(4),(5),(2),(3),解得:,,,,三、例题及练习,,,,,三、例题及练习,[例3] 如图所示,质量为m1 的物体A下落时,带动质量为m2 的均质圆盘B 转动,不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦,BC=l , 盘半径为R, 试用达朗贝尔原理求物体下落的加速度和固定端C 处的约束反力。,,,,,,,,,,,,三、例题及练习,解:(1) 以圆盘B 和物体A为研究对象,受力如图示,其中,惯性力,根据达朗贝尔原理:,解得:,,,,,三、例题及练习,(2) 以整体为研究对象,受力如图示,根据达朗贝尔原理,解得:,,,,,,,,,,,,[例4] 平面机构,铰A上作用一铅垂力P ,铰B 上作用一垂直于杆BC 的力Q ,机构在图示位置处于平衡,此时AB 杆与AD 杆垂直。不计摩擦及杆重,试用虚位移原理求P 与Q 的关系。,三、例题及练习,,,,,,,,,,,,,三、例题及练习,解:给A点以虚位移 、则B点有相应虚位移 ,如图。,,由虚位移原理,列虚功方程:,,,,,,,,,,,,[例5] 如图所示平面机构, OB=BA=a ,OB 杆上作用一力偶M ,点A 处作用一力F ,不计摩擦及杆重。试用虚位移原理求机构在图示位置平衡时, M 与F 的大小关系。,三、例题及练习,,,,,,,,,,,,三、例题及练习,由虚位移原理,列虚功方程:,,,,,,,解:给OB杆以虚位移 、则AB 杆上 A、B两点有相应虚位移 、 ,如图。,,,,,,,,,,,,例6 用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。,,,,,给B、C、D三点虚位移如图。,可知:,解:去掉杆3,代之以力F3 和 ,,三、例题及练习,,,,,,,,,,,,根据虚位移原理,列虚功方程:,三、例题及练习,,,,练习1:曲柄OA长r,绕O轴以匀角速度 转动。A端滑块在T形杆的垂直滑槽里滑动,带动BD在水平槽里滑动,T形杆的质量为m,质心在C点,不考虑磨擦。试用达朗贝尔原理求当 时曲柄给T 形杆的作用力。,,,,三、例题及练习,,练习2:均质杆OA在其端点A 固结一小球,OA杆质量为2m,长为l ,小球质量为m ,在B 点用绳将OA 杆固定,试用达朗贝尔原理求割断绳瞬时,OA杆的角加速度和O点的约束力。,,,,,,三、例题及练习,,,,,,,,,,,,练习3:图示机构中滑块B 在水平滑槽中,OA长l ,受力偶M 作用。试用虚位移原理求欲使OA保持垂直,F 应当为多大?,动力学部分(Ⅱ),结 束,
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