• / 136
  • 下载费用:10 金币  

第四章 微分方程模型.ppt

关 键 词:
第四章 微分方程模型.ppt
资源描述:
第四章 微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法 等,a、微分方程建模的对象,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率(微商)=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画,3、用微元法建立微分方程; 4、确定微分方程的定解条件(初边值条件); 5、求解或讨论方程(数值解或定性理论);6、模型和结果的讨论与分析。,4,一、物体在液面上的浮沉振动问题,问题:一个边长为3米的立方体浮于水面上,已知立方体上下振动的周期为2秒,试求物体沉浮振动的规律和质量。,问题的分析:设水的密度为1000kg/ ,当物体侵入水中时,它受到一个向上的浮力,由阿基米德原理知:浮力的大小等于与物体侵入水中的那部分同体积的水的重量。,设物体的质量为m,物体在t时刻相对于静止位置的位移为x,即x=x(t),,由阿基米德原理知,引起振动的浮力为:,x×3×3×1000g=9000gx (N),§1 微分方程的简单应用,5,由牛顿第二定律得,,其中g=9.8m/ 。,方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。,易得方程(1-4)的通解为,,于是周期为,,解得,,6,二、液体的浓度稀释问题,问题:有两只桶内各装100加仑的盐水,其浓度为0.5磅盐/加仑。现用管子将净水以2加仑/分钟的速度输送到第一只桶内,搅拌均匀后,混合液又由管子以2加仑/分钟的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用管子以1加仑/分钟的速度输出,问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少?,解:,,,分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量,单位为磅,,7,第一只桶在t到t+ 内盐的改变量为,,,,第二只桶在t到t+ 内盐的改变量,,,8,,,,解一阶线性微分方程得,,所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为,,(磅盐/加仑),9,§2 铅球掷远的数学模型,问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h,出手角度为 (与地面的夹角),建立投掷距离与V、h、 的关系式,并在V、h一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。,模型1——抛射模型,在这个模型中,我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程,只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响。,假设:,1、铅球被看成一个质点。,2、铅球运动过程中的空气阻力不计。,10,3、投掷角和初速度是相互独立的。,4、设铅球的质量为m,,建立坐标系如图,在t时刻,铅球的位置在M(x,y)点,则由力学定律知,铅球运动的两个微分方程是:,,11,解之得,,所以铅球的运动轨迹为,,令y=0 ,铅球落地的距离为,,它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系,这也是我们所要的铅球投掷模型。,12,由(2-1),关系式(2-2)可表示为,,,得最佳出手角度为,,投掷的最远距离,,设h=1.5米,v=10米/秒 ,则,,,13,模型2——铅球投掷模型,下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。,关于铅球的投掷过程我们假设:,1、滑步阶段为水平运动,铅球随人的身体产生一个水平的初速度 。,2、在用力阶段,运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间 。,3、在运动员用力的时间内,运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的,力的方向与铅球的出手角度 相同。,用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组建铅球的投掷模型。,14,模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况,因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。,若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理,由假设3我们有,,,式中m为铅球的质量,F是对铅球的推力, 为力的方向既铅球的出手角度。,根据假设2,令t=0时运动员开始用力推球, 时铅球出手,在区间 上积分(2-3)可得,15,,,其中 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。,由假设1,有,,于是我们得到,,,由此可以得到铅球的合速度,即铅球的出手速度,,16,,式中 是推铅球时力的作用时间。,将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。,17,分析出手速度模型(2-4),不难看出v随着F和 的增加而增大,显然v随着 的增加而增大。这与我们的常识也是一致的。由于 ,由(2-4)式还可以看出v将随着 的增加而减少。因此,当推力F和作用时间 不变时,运动员要提高铅球的出手角度 ,就必须以降低出手速度为代价,所以对于铅球投掷来说,模型1所给出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。,18,进一步分析铅球投掷模型2,我们还可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度,它要小于模型1所给出的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全部分析,这些我们留给读者去完成。,19,§3 减肥的数学模型,问题:如何建立减肥的数学模型?,问题分析:,“肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至超过标准,数学建模就要由此入手。,模型假设:,(1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳,其中b焦耳用于新陈代谢(即自动消耗),而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量,从事体育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。,(2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有效,而1千克脂肪含热量是42000焦耳。,20,(3)设体重W是时间t的连续可微函数,即W=W(t)。,数学建模:,每天:体重的变化=输入-输出,输入:指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。,输出:就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。,于是每天净吸收量=,,每天净输出量=,,所以在t到t+ t 时间内体重的变化:,,21,体重变化的数学模型:,,应用分离变量法,解方程(3-1)得,,利用初始条件得,,从而得,,22,对(3-3)式求导得,,由(3-1)、(3-3)及(3-4)可以对减(增)肥分析如下:,1、若a-b ,即净吸收大于总消耗, 0, 则体重增加。,2、若a-b ,即净吸收小于总消耗, 0, 则体重减少。,3、若a-b= ,即净吸收等于总消耗, =0 , 则体重不变。,4、当t→+∞时,由(3-3)式知,,23,这表明只要适当控制a(进食)、b(新陈代谢)、 (工作、生活)、 (体育锻炼),要使体重等于多少是“可能”的.,正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯,即要适当控制a、α+β。对于少数肥胖者和运动员来说,研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。,24,作业:,某人每天由饮食获取10500焦耳的热量,其中5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%,问此人的体重如何随时间变化?,§4推断醉驾与凶杀案发生时间的数学模型,例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?,例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是29C, 当时环境温度是21C . 一小时后尸体温度下降到27C , 若人的正常体温是37C , 估计死者的死亡时间.,作业: 案件:某市发生了凶杀案,法医晚 8:20 到现场,测得尸体温度32.6〬C,一小时后为31.4℃,室温一直在21.1℃.警方怀疑张某为凶手,但张某辩称自己下午一直在办公室,有证人证明他5:00打了电话离开办公室,从办公室到凶杀现场需步行5 分钟.问张某能否排除在嫌疑人之外?,§5正规战与游击战,战争分类:正规战争,游击战争,混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少,因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) ~甲方兵力,y(t) ~乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,,f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry ~射击率, py ~命中率,正规战争模型,为判断战争的结局,不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,,,平方律 模型,,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,,f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry~射击率 py ~命中率,游击战争模型,,,线性律 模型,,混合战争模型,甲方为游击部队,乙方为正规部队,,,,,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),§6药物在体内的分布与排除,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学,建立房室模型——药物动力学的基本步骤,房室——机体的一部分,药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数),在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率,与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室,在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t) 和初始条件,2.恒速静脉滴注,t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,3.口服或肌肉注射,相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室,吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),参数估计,各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,,由较小的 用最小二乘法定B,,,,,,参数估计,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系,人体吸入的毒物量与哪些因素有关,其中哪些因素影响大,哪些因素影响小。,模型分析,分析吸烟时毒物进入人体的过程,建立吸烟过程的数学模型。,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟,吸烟方式和外部环境认为是不变的。,问题,§7 香烟过滤嘴的作用,模型假设,定性分析,1)l1~烟草长, l2~过滤嘴长, l = l1+ l2,毒物量M均匀分布,密度w0=M/l1,2)点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a, a´+a=1,3)未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和,4)烟雾沿香烟穿行速度是常数v,香烟燃烧速度是常数u, v u,Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0, x=0,点燃香烟,q(x,t) ~ 毒物流量,w(x,t) ~ 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(x),t时刻,香烟燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),4) 计算 Q,结果分析,烟草为什么有作用?,1)Q与a,M成正比, aM是毒物集中在x=l 处的吸入量,2) ~过滤嘴因素,, l2 ~ 负指数作用,是毒物集中在x=l1 处的吸入量,3)(r)~ 烟草的吸收作用,b, l1~ 线性作用,带过滤嘴,不带过滤嘴,结果分析,4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较,w0, b, a, v, l 均相同,吸至 x=l1扔掉,提高 -b 与加长l2,效果相同,54,§8 万有引力定律的发现,历史背景:,开普勒三定律:,1、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行,太阳位于这些椭圆的一个焦点上。,2、每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过的面积是常数。,3、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比。,55,模型假设,开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础,所以需要将它们表述为这个模型的假设条件。,对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标系(r,θ),以太阳为坐标原点r=0,以椭圆长半轴方向为θ=0,用向量 表示行星位置,如图,56,(1)轨道方程为,,其中,,,a、b为椭圆的长、短半轴,e为离心率。,(2)单位时间内向径 扫过的面积是常数,即,,(3)行星运行周期T满足,,其中λ是绝对常数,与哪一颗行星无关。,(4)行星运动时受的作用力等于行星加速度 和质量m的乘积,即,,57,模型建立,首先引入基向量(如图),,向径 可表示为,,由(5-5)式可以算出,,58,所以由(5-6),(5-7)式得到行星运动的速度和加速度为,,,根据(5-2)式可得,,,于是 (5-9)式右端第二项,,(5-9)式化为,,对(5-1)式求导并利用(5-10)式 的结果得,,59,,将(5-10)和(5-13)代入(5-11)式得,,最后把(5-14)和(5-6)代入(5-4)式得,,,这里 是单位向径,指示向径方向。,(5-15)式表明:,(1)行星运动时受的力的方向与它的向径方向相反,即在太阳—行星连线方向,指向太阳;,60,(2)力的大小与行星质量m成正比,与太阳—行星距离r的平方成反比,为太阳对行星的引力。,为了完成万有引力的推导,只需证明(5-15)式中的 是绝对常数,即它与哪一颗行星无关(A和 不是绝对常数)。,因为A是单位时间内向径扫过的面积,行星运动一个周期T向径扫过的面积恰是以a,b为长、短半轴的椭圆面积,所以,,由(5-1),(5-3),(5-16)式容易算出,,和 是绝对常数。,61,将(5-17)代入(5-15)式有,,(5-18)式表明:,太阳对行星的作用力的大小除了与行星质量m成正比,与相互距离的平方成反比以外,余下的因子 就只与太阳本身有关了。,查询太阳质量M、地球运行轨道(椭圆)的长半轴、引力常数等数据可得,,k为万有引力常数,M为太阳质量,62,所以(5-18)式可写为,,—这就是我们熟知的形式,评注:,从发现万有引力定律的过程中可以看出,在正确假设的基础上运用数学演绎方法建模,对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用,虽然我们大多数人发明不了什么定律,但是学习前辈如何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题的能力是大有好处,§9三级火箭运载模型,问题的提出 问题分析与模型假设 建立模型与求解(含六部分),问题的提出,1、用火箭发射卫星时,通常采用三级火箭 2、为什么采用三级运载火箭? 3、请您建立数学模型解决这个问题,发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统,问题分析与模型假设,运载火箭是一个十分复杂的系统,影响它飞行的因素:,问题分析,我们现在讨论的是:,运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞行而获得的,而由牛顿第二定律,F: 推力,a: 火箭推进器加速度,可推出加速度:,(1)我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火箭与卫星的质量 (2)假设火箭的结构、外形与控制等问题能满足保证火箭正常运行的需要 (3)只考虑地球对卫星的吸引力,假设条件:,卫星的速度,目标:确定卫星在轨道上运行所必需的速度 假设:卫星质量是:地球质量是: 1、地球对卫星的引力::万有引力常数; :地球引力常数,若质量为m的质点位于地球表面则有,重力加速度,这样,牛顿第二定律,万有引力定律,卫星的运行速度,设卫星绕地球匀速运动,其线速度为v,此时没有切向加速度,而法向加速度为 此时有卫星是用火箭送入轨道的,因此火箭的末速度也 应为v。 若 ,则,火箭的推力,假设条件: (1)将火箭简化为燃料仓+发动机(2)不考虑空气阻力等 设 :t时刻火箭的质量 :t时刻火箭的速度 这样,在t时刻火箭的动量为:在 时间火箭的动量为:,火箭的推力,其中: 为气体喷射相对于火箭的速度;,由动量守恒定律有:,所以,火箭的推力,火箭的推力,其中 :火箭初始时刻的质量。,火箭系统的质量,由(四)中的结果可知:火箭的末速度:,火箭的结构比:,引入重要指标:,火箭系统的质量,当mp=0,(即没有装载东西)时,,u与都是技术条件决定的,,u,,,,,,,,当前,u,3km/s,所以当前的技术条件下一级火箭是无法达到第一宇宙速度; 必须采用多级技术!!,当前,,,0.1=10%,u,,,,假设火箭在燃料消耗一部分,用以装载火箭这部分燃料的 火箭结构可以同时抛掉。,理想化的可随时抛去结构质量的火箭,在t时刻,火箭系统的动量为: …(1)抛去的结构质量 在 ,火箭系统的动量为:,(2),,,所以,动量守恒定律: (1)= (2),,,—烧光 —抛光,若要考虑到空气阻力和重力的影响,要将卫星送上轨道,火箭的末速度V应达到 V=10.5km/s:,多级火箭的速度公式,分级火箭,此时火箭的速度:,No.1级烧完时火箭的质量为:,此时火箭的速度:,No.2级燃尽时火箭的速度为:,…,依次类推:No.n级燃尽时火箭的速度为:,n级火箭的质量分配,即,记,则,这样上述问题,,,,4:,89,§10 核废料的处理问题,背景:,问题:将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到水深91米的海底,这个方案是否可行?,已知数据及实验结果:,1、桶的重量 W=239.456kg2、海水的浮力为1025.94kg/3、圆桶的体积 V=0.208m4、桶下沉时的阻力与速度成正比,比例系数 k=0.125、当桶以12.2米/秒与海底碰撞时,桶将会破裂。,90,问题的解决:,取坐标系如图,设y(t)表示桶在t时刻下沉的深度,,我们要知道在91米深速度是否大于12.2米。,当桶下沉时,有三个力作用在它上面:,桶重力 W=239.456kg,浮力 B=1025.94V=213.396kg,桶下沉时阻力 D=kv=0.12v=0.12,即合力 F=W-B-D=W-B-kv,由牛顿第二定律 F=ma 得:,W-B-kv=ma,91,即有,,此微分方程可看作 类型.,由于v= ,则 代入上方程得,解得,,92,至此,数学问题似乎有了结果,得到了速度与时间的表达式.但实际问题远没有解决.因为圆桶到达海底所需的时间 t并不知道,因而也就无法算出速度.这样,上述的表达式就没有实际意义。,有人会说,虽然无法算出精确值但我们可以估计当t 时,v(t) 。只要 不超过12.2米/秒,方案就可行;,但可惜 =217.2米/秒,它太大了,问题仍没有解决。,而方程(7-1)又可看作 类型,,,,方程(1)也可化为一个一阶可分离变量的微分方程,93,,解之得,,由初始条件得,,所以,,当 y=91米时,如何求速度v ?,94,下面用牛顿切线法求出速度v的近似值。,牛顿法介绍:,若已知方程g(v)=0,求v的近似值的迭代格式为:,,在这里,(7-3)式可写成,,,,其中 a=9.8m / 。,95,,于是,,,迭代格式为,,,,96,,只要选择一个好的初始值 ,就能很快算出结果。,求 的粗略近似值:,从(7-2)中令k=0(即下沉时不记阻力)得,,由初始条件得C=0 ,,,以 =13.93代入(7-4)得,,97,,,因此这种处理核废料的方案是不可行的.,这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方案是错误的,从而改变了美国政府过去的错误的做法,现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里,并在一些废弃的煤矿中修建置核废料的深井.这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训,我国政府决定在甘肃广西等地修建三个深井放置核废料,防止放射性污染.,98,§11 传染病传播的数学模型,模型一:最简单的情况,假设:,(1)每个病人在单位时间内传染的人数是常数 ;,(2)一人得病后,经久不愈,人在传染期不会死亡。,记 表示t时刻病人数,,表示每个病人单位时间内传染人数,,,即最初有 个传染病人。,则在t到t+ t时间内增加的病人数为,,99,于是得微分方程,,其解为,,结果表明:传染病的传播是按指数函数增加的。,这个结果与传染病传播初期比较吻合。,但由(8-1)的解可以推出,当t→+∞时, →+∞,这显然是不符合实际情况的,问题在于两条假设均不合理。,100,模型二:,用 表示t时刻传染病人数和未被传染的人数, ;,假设:,(1)每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比,即,(2)一人得病后经久不愈,人在传染期不会死亡;,(3)总人数为n,即 ;,由以上假设得微分方程,,101,用分离变量法得其解为,,其图形如图,模型(8-2)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。,由(8-3)式可得,102,,其图形如图,医学上称 为传染病曲线(它表示传染病人增加率与时间的关系)。,103,,得极大值点:,,由此可知,1)当传染病强度k或总人数n增加时, 都将变小,即传染病高峰来得快,这与实际情况吻合。,2)如果知道了传染强度k(k由统计数据得出),即可预报传染病高峰到来的时间 ,这对于防治传染病是有益处的。,104,模型二的缺点是:,当t→∞时,由(8-3)式可知 →n,即最后人人都要生病,这显然是不符合实际情况。造成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。,为了与实际问题更加吻合,我们对上面的数学模型再进一步修改,这就要考虑人得病后有的会死亡,另外不是每个人被传染后都会传染别人,因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈,并非象前面假设那样人得病后经久不愈。为此作出新的假设,建立新的模型。,105,模型三:,在此模型中,虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素,但仍要把问题简化。设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力,并设传染病的潜伏期很短,可以忽略不计,即是一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把居民分成三类:,第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的,用I(t)表示t时刻第一类人的人数。,第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的,用S(t)表示t时刻第二类人的人数。,106,第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人,用R(t)表示t时刻第三类人的人数。,假设疾病传染服从下列法则:,(1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N,即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、迁出情况。,(2)易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人的人数I(t)与第二类人的人数S(t)的乘积。,(3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比。,由此得下关系式,107,,其中α、β为两比例常数,α为传染率,β为排除率。,由(8-6)的三个方程相加得,,又 S(t)+I(t)+R(t)=N (常数),所以 R(t)=N-S(t)-I(t),由此知,只要知道了S(t)和I(t),即可求出R(t)。,108,由(8-6)中第一、三两式得,,由此推出,,所以,,当t=t。时 I(t。)=I。,S(t。)=S。,,,,109,下面我们讨论积分曲线(8-9)的性质:,由(8-8)式知,,所以当Sρ时,I(S)是S的增函数;,Sρ时,I(S)是S的减函数。,而I(0)=-∞,I(S。)=I。0,,由连续函数的零点定理及单调性知,,存在唯一 使得 ,且当 时,I(S)0。,110,当t≥t。时,方程(8-9)的图形如图,由此知,当t由t。变化到+∞时,点(S(t),I(t))沿曲线(8-9)移动,并沿S减少方向移动,因为S(t)随时间的增加而单调减少。因此如果S。小于ρ,则I(t)单调减少到零,S(t)单调减少到 。所以,如果为数不多的一群传染者I。分散在居民S。中,且 ,则这种疾病会很快被消灭;如果S。ρ,则随着S(t)减少到ρ,I(t)增加,且当S=ρ时I(t)达到最大值;当S(t)ρ时,I(t)才开始减少。,111,由上分析可得如下结论:,只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值ρ= 时,传染病才会蔓延。,用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤、密度高,缺乏应有的科学文化知识,缺乏必要的医疗条件,隔离不良而排除率低时,传染病会很快蔓延;反之,人口密度低,社会条件好,有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时,则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。,将模型三在实际中检验,还有不合理的地方,因此还可修改假设,建立更切合实际的模型。(略),世界人口数量统计数据:,中国人口数量统计数据:,§12人口模型,1 马尔萨斯(Malthus)模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现,人口净增长率r基本上是一常数,(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),因而提出了著名的人口指数增长模型 。,分析与建模:,人口的净增长率是一个常数,也就是单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。,设t时刻人口数为N(t),t=t0时,N(t0)=N0,,则,这个方程的解为:,马尔萨斯模型的一个显著特点:种群数量翻 一番所需的时间是固定的。,令种群数量翻一番所需的时间为T,则有:,故,即,Malthus模型,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理,到总数增大时,生物群体的各成员之间由于有限的生存空间,有限的自然资源及食物等原因,就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数,它应当与人口数量有关。,2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关,即: r=r(N),r(N)是未知函数,但根据实际背景,它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型,我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时,总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数,此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项(竞争项),(3)式还有另一解释,由于空间和资源都是有限的,不可能供养无限增长的种群个体,当种群数量过多时,由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因,出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K(近似地将K看成常数),N表示当前的种群数量,K-N恰为环境还能供养的种群数量,(3)指出,种群增长率与两者的乘积成正比,正好符合统计规律,得到了实验结果的支持,这就是(3)也被称为统计筹算律的原因。,,对(3)分离变量:,两边积分并整理得:,令N(0)=N0,求得:,N(t)的图形请看右图,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长,效果还是相当不错的。例如,高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管,他发现,开始时草履虫以每天230.9%的速率增长,此后增长速度不断减慢,到第五天达到最大量375个,实验数据与r=2.309,a=0.006157,N(0)=5的Logistic曲线:几乎完全吻合,见右图,,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程(1)所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数,(r被称为该种群的内禀增长率)。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群,从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验,看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好,否则就得找出不相符的主要原因,对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的,但它们也可用来研究其他实际问题,只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,§13古尸年代鉴定问题,在巴基斯坦一个洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片,科学家把它带到实验室,作碳14年代测定,分析表明, 与 的比例仅仅是活组织内的6.24%,能否判断此人生活在多少年前? 马王堆汉墓千年古尸 http://baike.baidu.com/view/48966.htm,年代测定:活体中的碳有一小部分是放射性 同位素 ,这种放射性碳是由于宇宙射线在高层 大气中的撞击引起的,经过一系列交换过程进入活 组织内,直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着 在活体中, 的数量与稳定的 的数量成定比, 生物体死亡后,交换过程就停止了,放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。,背景,设 t 为死后年数,,年代测定的修订:,1966年,耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出:在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异,其根本原因在于那个年代,宇宙射线的放射性强度减弱了,偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式,用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代:真正的年代=,,推测1982年7月出土的长沙马王堆一号墓的年代,出土木炭标本中 每克每分钟衰减的原子数为5.184个,新木炭中 每克每分钟衰减的原子数为6.680 个,§14范. 梅格伦(Van Meegren)伪造名画案,第二次世界大战比利时解放后,荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者,发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇,于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益,所有的油画都是自己伪造的,为了证实这一切,在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时,又获悉他可能以伪造罪被判刑,于是拒绝将画老化,以免留下罪证。,为了审理这一案件,法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组,采用了当时最先进的科学方法,动用了X-光线透视等,对颜料成份进行分析,终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样,伪造罪成立, Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是,许多人还是不相信其余的名画是伪造的,因为, Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差,所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后,1967年,卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。,原理,著名物理学家卢瑟夫(Rutherford)指出:物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为 ,则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出,只要知道 就可算出,这正是问题的难处,下面是间接确定 的方法。,断代。,油画中的放射性物质,白铅(铅的氧化物)是油画中的颜料之一,应用已有2000余年,白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的,而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时, Pb210的绝大多数来源被切断,因而要迅速蜕变,直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡,这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,,,,,(放射性),(无放射性),假设,(1)镭的半衰期为1600年,我们只对17 世纪的油画感兴趣,时经300多年,白铅中镭至少还有原量的90%以上,所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数,用 表示。,(2)钋的半衰期为138天容易测定,铅210的半衰期为22年,对要鉴别的300多年的颜料来说,每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ,,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率 ,再于当时的矿物比较,以鉴别真伪。,矿石中铀的最大含量可能 2~3%,若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子,则矿石中含铀量超过 4%。,测定结果与分析,若第一幅画是真品,,铅210每分钟每克衰变不合理,为赝品。,同理可检验第2,3,4幅画亦为赝品,而后两幅画为真品。,,
展开阅读全文
  微传网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:第四章 微分方程模型.ppt
链接地址:https://www.weizhuannet.com/p-10071220.html
微传网是一个办公文档、学习资料下载的在线文档分享平台!

网站资源均来自网络,如有侵权,请联系客服删除!

 网站客服QQ:80879498  会员QQ群:727456886

copyright@ 2018-2028 微传网络工作室版权所有

     经营许可证编号:冀ICP备18006529号-1 ,公安局备案号:13028102000124

收起
展开