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第四章 微分方程模型.ppt

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第四章 微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法 等,a、微分方程建模的对象,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率(微商)=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画,3、用微元法建立微分方程; 4、确定微分方程的定解条件(初边值条件); 5、求解或讨论方程(数值解或定性理论);6、模型和结果的讨论与分析。,4,一、物体在液面上的浮沉振动问题,问题:一个边长为3米的立方体浮于水面上,已知立方体上下振动的周期为2秒,试求物体沉浮振动的规律和质量。,问题的分析:设水的密度为1000kg/ ,当物体侵入水中时,它受到一个向上的浮力,由阿基米德原理知:浮力的大小等于与物体侵入水中的那部分同体积的水的重量。,设物体的质量为m,物体在t时刻相对于静止位置的位移为x,即x=x(t),,由阿基米德原理知,引起振动的浮力为:,x×3×3×1000g=9000gx (N),§1 微分方程的简单应用,5,由牛顿第二定律得,,其中g=9.8m/ 。,方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。,易得方程(1-4)的通解为,,于是周期为,,解得,,6,二、液体的浓度稀释问题,问题:有两只桶内各装100加仑的盐水,其浓度为0.5磅盐/加仑。现用管子将净水以2加仑/分钟的速度输送到第一只桶内,搅拌均匀后,混合液又由管子以2加仑/分钟的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用管子以1加仑/分钟的速度输出,问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少?,解:,,,分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量,单位为磅,,7,第一只桶在t到t+ 内盐的改变量为,,,,第二只桶在t到t+ 内盐的改变量,,,8,,,,解一阶线性微分方程得,,所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为,,(磅盐/加仑),9,§2 铅球掷远的数学模型,问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h,出手角度为 (与地面的夹角),建立投掷距离与V、h、 的关系式,并在V、h一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。,模型1——抛射模型,在这个模型中,我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程,只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响。,假设:,1、铅球被看成一个质点。,2、铅球运动过程中的空气阻力不计。,10,3、投掷角和初速度是相互独立的。,4、设铅球的质量为m,,建立坐标系如图,在t时刻,铅球的位置在M(x,y)点,则由力学定律知,铅球运动的两个微分方程是:,,11,解之得,,所以铅球的运动轨迹为,,令y=0 ,铅球落地的距离为,,它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系,这也是我们所要的铅球投掷模型。,12,由(2-1),关系式(2-2)可表示为,,,得最佳出手角度为,,投掷的最远距离,,设h=1.5米,v=10米/秒 ,则,,,13,模型2——铅球投掷模型,下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。,关于铅球的投掷过程我们假设:,1、滑步阶段为水平运动,铅球随人的身体产生一个水平的初速度 。,2、在用力阶段,运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间 。,3、在运动员用力的时间内,运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的,力的方向与铅球的出手角度 相同。,用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组建铅球的投掷模型。,14,模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况,因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。,若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理,由假设3我们有,,,式中m为铅球的质量,F是对铅球的推力, 为力的方向既铅球的出手角度。,根据假设2,令t=0时运动员开始用力推球, 时铅球出手,在区间 上积分(2-3)可得,15,,,其中 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。,由假设1,有,,于是我们得到,,,由此可以得到铅球的合速度,即铅球的出手速度,,16,,式中 是推铅球时力的作用时间。,将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。,17,分析出手速度模型(2-4),不难看出v随着F和 的增加而增大,显然v随着 的增加而增大。这与我们的常识也是一致的。由于 ,由(2-4)式还可以看出v将随着 的增加而减少。因此,当推力F和作用时间 不变时,运动员要提高铅球的出手角度 ,就必须以降低出手速度为代价,所
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