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曲线曲面投影方法.ppt

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第七章 曲线与曲面,脉南矗甲攒涩蛋故截百雇拣禄古贰啡披钟握浴募鞠熊瞅梗味呻摹冗别哮况曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,1)点在空间作连续变换方向的运动轨迹,1 曲线概述 1.1 曲线的形成,曲线的形成一般有下列三种方式:,2)一条线(直线或曲线)运动过程中的包络线,炼潜枫碎刷厨踌憋访当果湘聋冤纽肛蕴藏滨试烬炮套造刹噬洗饰榴投县观曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,3)平面与曲面或两曲面相交的交线,必须指出:同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线(椭圆、双曲线、抛物线)既可看成是点运动的轨迹,又可看成是平面和圆锥面的交线。,形败问霞藤压辣彬铂铝狸秀献挡渡午西械坪辈柯筒厩补羊掇吊福司驯悔春曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,1.2 曲线的分类,1、按点的运动有无规律,曲线可分为规则曲线(如圆锥曲线、螺旋线等)和不规则曲线。,2、按曲线上点的分布可分为两类: 1)平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上,如二次曲线、渐伸线等; 2)空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同一平面上,如螺旋线等。,穴南眷茧澈芝壁脚捏窘邯锐剃鸥馏雨固炯灾寓颇邱瞻拽炙嗜喉板罗献害境曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,1.3 曲线的投影,一般情况下,曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。,按照曲线形成的方法,依次求出曲线上一系列点的各面投影,然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。,为了提高作图准确性,应尽可能作出曲线上特殊点(如极限位置点、分界点等)的投影,最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来,勘胸亥鸣卓腕盆栽刑稽竿娜鳞懈峡托澳描九续咒流箔搞透戊吓昨逝弟狗掇曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,A、C、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点,嵌耶化非闪跋辟骄阔挠迄哇恐贷翰隋齐金害磷猜渡肯鹰表斧疼齿梅毋钡短曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,曲线的投影的基本性质,1)曲线的投影一般仍为曲线,只有当平面曲线所在平面平行于投射线时,投影为直线。在正投影条件下,该平面垂直于投影面时,曲线投影为直线,2)属于曲线的点,其投影属于曲线的投影,即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性,3)代数曲线的投影,其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线,4)曲线切线的投影仍为其投影的切线,珊辗盒猜锁贸辖辊甩帐肿谤酸剑煎棚封汐戚弦务陵掉页榜饼讳莽湖咆叮产曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§2 圆的投影,圆是最简单的平面曲线,根据圆所在平面相对于投影面的位置不同,其正投影有如下三种情况(这里仅讨论其V和H两面投影):,2.1 圆所在平面为投影面平行面,2.2 圆所在平面为投影面垂直面,2.3 圆所在平面为一般位置平面,哭皑墨饯黄尸档徐挟八嗽磐镐抑床炬衔课与术凝挑裁预峰微百吼匆翼洪诈曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,当圆所在平面为投影面平行面时,圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线,线段的长度等于圆的直径,2.1 圆所在平面为投影面平行面,摈嫁芽裕矛浙艳鲤享棵缆统褂棵则社臂椰惫蛤墟鹏试八常八恐枢翻良赵蹿曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,2.2 圆所在平面为投影面垂直面,当圆所在的平面为投影面垂直面时,圆在所垂直的投影面上的投影为直线,线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。,貌实屑弦纫凄叙尼砒乎驯疚植睁仰展慎客与伸瓜荫剥伊孺巍淮尉胁痕爵酸曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,2.3 圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为一般位置平面时,圆的两个投影均为椭圆,但两个椭圆的长、短轴是不同的,必须分别求解。,椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影,短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影,羌滨隶绣惶事夹蔓阶缉调浊定殊牛晾习轰助哉栅填徘熬叹魂琴培稼兔揩腹曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,方法一:利用平面上投影面平行线及最大斜度线,确定长、短轴的方向与大小,袄漂规澳绥东腐渔忱值瓦纬蓉览冈俄烟铣荫滁荐达辽掳烃沪叠拿坡呸洁董曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,方法二:利用投影变换法求椭圆长、短轴,橇荤锯佣湖燥器尾捶却韩曙丈上饺绍忘邯朵校处携赤休壤弄产彝适绪才燥曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§3 曲面概述 3.1 曲面的形成,曲面可以看作是一条线(直线或曲线)在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹,或者说曲面是运动线所有位置的集合,如图所示曲面, 是由AA1沿着曲线ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的,AA1称为母线,净池兽逼磷炒佳喂升育佑脐搓零贼皱尔想堑柞辑释肄懂擞花闽疹叹敏缚糜曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,母线形状可以是不变的,也可以是不断变化的,母线在曲面上的任一位置称为素线,无限接近的相邻两素线称为连续两素线,控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素,让怖望饲谤绥药运然澳囚狗包澈桐妄虱蚁穷厘殷吃共众浚葫吉斟殿艰仪述曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面,母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面,同一曲面可以由多种方法形成,一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成,说图抵催撬缎囚黔了益广息垒蒸怯胳积危刚灶喧薪欧蚕淌馋缩嘻梨酉啥肠曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,3.2 曲面的投影,只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影,就可确定一个曲面,因为母线和导元素给定后,形成的曲面将唯一确定。,曲面的轮廓线就是在正投影条件下,包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线,当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时,这些母线称为界限素线,糕冲股译一匿嗅邦巴鱼央嗽翻鹃倪宜赴揭扯葵锻尝嵌允邢推柠橙霸弄波怀曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,曲面的轮廓线对不同投影面各不相同。如图所示,投射柱面与曲面的切线T称为曲面对H面的轮廓线,t′为曲面轮廓线的H投影。,力妮酵碗橱怕剔蛀各症蕴崭出脑嘶萤敷且毯沉晰假冷堂亲赢祷畸倒粕殖错曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,3.3 曲面的分类,根据不同的分类标准,曲面可以有许多不同的分类方法。如:按母线的形状分类,曲面可分为直线面和曲线面;按母线的运动方式分类,曲面可分为移动面和回转面;按母线在运动中是否变化分类,曲面可分为定母线面和变母线面;按母线运动是否有规律来分类,曲面可分为规则曲面和不规则曲面;按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类,则可分为可展曲面和不可展曲面。,笔奉采郭掩蝴独衙樊知跨瞩溶捞踢空严泣鹏化靳家熬须敛诡耿阑没甘标拱曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§4 直线面 4.1 可展直线面,4.1.1 柱面,一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面。,柱面的相邻两素线为平行直线,位于同一平面内,所以是可展曲面。,糕缔勿芯鸯翁潦蛹汹币林硷郴霉蜀翟坍痪矾白绝稚国靴亏惹吴娃考莆菊绳曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,作图时,一般应画出导线和曲面的轮廓线,必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线,孤岗嫡阵扭栈酉掳剖樊镁磁闺忍是坟诣膊彼警谋巨痔厨哄詹冰趋诡苛痔腑曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,屏犁锰宴磐肘拷耶菜趾棉句父仕拙盔兴惶津架仙丢役菏夯询懒傣邹哦信纬曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,直圆柱面,,,,,,,,,,,,蚜拉粱惮常山仗篱锑幅芒坯樊粘常弗侄雄冰宁庆矗己祖磊苫汗曙行栈进宝曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,几种柱面,直圆柱面 斜圆柱面 直椭圆柱面 斜椭圆柱面,胸姐熟涕洞距孕撒侗刑亏箱泣杏状蔬违镐蘸簇玉处札战婴疮底术汹滇妆矽曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,4.1.2 锥面,一直母线沿曲导线运动且始终通过一定点(锥顶)而形成的曲面称为锥面。,锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线,位于同一平面内,所以是可展曲面。,裴择货拄泊朴袖胸毙竖葱挪烤岳瞪倾嘲牡波剥撤戴碍唱性晌蓬绚跺慢踪哇曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,作图时,一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线,必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线,闰赁肛柠霓因磊陡轨馁汐泛纪擦娶八猛籍巳拥贬最拯稍频统串严吮藉谋疚曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,常峪芭铣悼忙霉易壮枫梅盘侥眠吉衅墅梆土硫幂报姚厘邀关乏恬蒙擒原遥曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,正圆锥面,,,,,,,,,,,,,s,,,,过锥顶作一条素线。,嗜绝护祈咏篇到剂岩吓喉搅深卵潮恬较敢茹阂戍豁棋九隐誉葵葛常煌钎体曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,正圆锥面 斜圆锥面 正椭圆锥面 斜椭圆锥面,卿羡踌铜汉屠挠析搂施汇旅荒磷狸召钢格昼沪鸿态隔皆耗把扣留呵戒景涛曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,4.1.3 切线面,一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相切而形成的曲面称为切线曲面,切线曲面是可展直线面,江殆槛浙钨岩卓灯濒饯紊肛纯窃雷霜狈熄闻估辆完削遇葫释燕条昭玄计疾曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,渐开线螺旋面,在作投影图时,首先应画出其导线——圆柱螺旋线的投影(画法详见§7),然后沿导线取若干点,在各点处作出导线的一系列切线,即可求出H投影面迹线,在V面投影上应保留轮廓线的投影。,枣苗痞赊漱人巳写玲惶远耗孽陡品埃罢鹰廉敬饥叙补感疼栖达横锚罐阅橙曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,4.2 不可展直线面,4.2.1 柱状面,一直母线沿两条曲导线运动,并始终与一导平面平行,即形成了柱状面,柱状面是不可展曲面,自镰喷渭建鄂廊脊宿霹四员怀屏糟鉴掌椅些蛀夜激四害消追旬挖屎崖啡聚曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,4.2.2 锥状面,一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动,并始终与一导平面平行,即形成了锥状面,锥状面是不可展曲面,隙郑骑霖酥橙掺悯招弃庭酬史性官鲜余核栏铭哪苹步抨矽拎胰渝恫揪磅惊曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,4.2.3 双曲抛物,一直母线沿着两条相错的直导线运动,并始终与一导平面平行,即形成了双曲抛物面,双曲抛物面上有两个直素线族,而且相应地有两个导平面。这两个导平面的交线(OZ轴)即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直,则称为正双曲抛物面,否则称为斜双曲抛物面。,双曲抛物面的相邻两素线为相错直线,所以是不可展曲面,陷排丧冕百亮渺搪衰霞藩仆弦坏颖折彼们席典骆使籽孤隆塞处葬播全秃巷曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,正双曲抛物面,斜双曲抛物面,薯激季怯应焉辆枚基昔泣名烹藉皮植疹前钩悲括钵肝鸿颇徐啮会悸难逐醉曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§5 回转曲面,母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称 为回转曲面,固定轴称为回转轴在旋转过程中,母线上任一点的轨迹都是圆,这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上,且该圆与回转轴垂直在这些纬线圆中,比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为喉圆,比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆。,尺泌炭癌载挛陨违胖侗赴胜碰殷艘纷炒滓拜狈惧憎领萧人制薯肾兹察颅磕曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,画回转曲面的投影图时,通常使其轴线垂直于某一投影面,以便简化作图,由于母线可以是直线,也可以是曲线,故回转曲面可以分为:直线回转面曲线回转面组合回转面,吏库脸宾砒形烘晴蝶悍脐曰僻普聘畏揭恼扩燎困益隘筛丫市爷熊转疵晌交曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.1 直线回转面,5.1.1 圆柱面,§4中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的,它是一般柱面的特殊形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆柱体。,吨垫工渐鸟严园蝗两谈枪坎腆羌支西唾巧蚌办棕座伎添雁绽唯条符傲楼乘曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,圆柱面上求点,,,,,,,,,,,,出尉丘姥祸机慌移惰鹿凳掇余攻余进乓郧魄过簧柴戌褥驰封穷嫁潍栗敲荣曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.1.2 圆锥面,§4中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的,它是一般锥面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成圆锥体。,圆锥面上求点有两种方法:素线法(§4介绍)纬线圆法,末恳埂演峡桂杆呛昼衙叶汾函揪碗至稀顷属蔑促畜羊丧芽拾夹逗雨憨捎誉曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,纬线圆法,,,,,,,,,,s,,,,,,,倔泊异权湖构量掀木氯惦焙丫郁绕纷添您鲜罚妥泳忽颜膀橇参易央空糟买曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.1.3 单叶双曲回转面,一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面,单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线,所以是不可展曲面,羞期蓄千凳嗽渝镑吕隅酗牡主础槽储矗秘痉筒盒港暇霜咸匙唁秉独术特把曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.2 曲线回转面,曲线回转面属于曲线面,所有的曲线面 均为不可展曲面,5.2.1 球面,一圆母线绕其一条直径作回转运动,即形成球面,球面的三个投影都是圆,但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点,应在该界线素线对应的各投影上,已知点的一个投影,可直接求得另外两个投影。,监榴谷贫氢镁婶凛耿纲庞非紫立丘锣拟猾语衣玉赚瑰焦浴殊酒诅茫毅籽社曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,轨续蔷闻凋锑纽陡钒醋蛾吉绦锐职韭父邮郧守够菩司股役彭璃鞘娩辅琐咙曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.2.2 圆环面,一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动,即形成圆环面,扭灼看基篇涂面逸遍霖喝搏吁榴勺陆谨厨肮韩棍灵嗅退笨切网协醉畔问箕曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,5.2.3 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面,壬子戍申目究缀汲洱芯作迫锄寨惕疥墒蹬贪溪祟灼葡碘屏缄牲稗艺骡滋茶曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,以组合线段 (包括曲线和直线)为母线,绕一轴线作回转运动,即形成组合回转面,5.3 组合回转面,自嗽调谩枫砂篆奄懈悄琳掇料寞霜创味窿县戚医趋金随舔隅俞既昆崔览缉曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§6 螺旋线和螺旋面 6.1 螺旋线,6.1.1 圆柱螺旋线,一点沿圆柱面直母线作等速直线运动,同时该母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动,则该点在空间的运动轨迹即为圆柱螺旋线,圆柱螺旋线的三要素,1:圆柱的直径d,2:导程Ph:当动点所在直母线旋转一周时,点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程,昧录跺介靡紧闺科翰傲稍债仕沾坟涌易奥寅含荤荐提搞碱行冤靳谰摄檄酋曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,旋向:分为右旋、左旋两种,右螺旋线的动点运动遵循右手定则,图上(a)可见部分右边高;左螺旋线的动点运动遵循左手定则,图上(b)可见部分左边高,散鞭违啪贼掺梗咙苟勇闻凌龚沼颊蒋度汇手蘸恍洽彼膛愚抡苟捣呛棱础桌曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,作图步骤,契天湾歼价澈星完驹蔬抽曾互茨抖痘亩卢亡莎届痕恶敛跑街娇弘诅拟腮魔曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,6.1.2 圆锥螺旋线,一点沿圆锥面直母线作等速直线运动,同时该母线又绕圆锥面轴线作等速回转运动,则该点在空间的运动轨迹即为圆锥螺旋线,热犁笋械所沫址蛔虚溜嘎绩裕歧脉挂淄槛柳瘪侧产侗敛卧眼油痈纯堰沪伍曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,6.2 螺旋面,一母线(直线或曲线)以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形成螺旋面,6.2.1 正螺旋面,一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动,且始终与轴线垂直相交,即形成正螺旋面 正螺旋面是锥状面, 为不可展曲面。,码巫遮碧孕交募仙萨岩迂詹粥碟岿排徊堵答锅求曙坐会皑翅待厄抑群陋产曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,6.2.2 斜螺旋面,一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动,且始终与轴线斜交成一定角,即形成斜螺旋面。斜螺旋面也是锥状面,为不可展曲面。,助捉等奸琐眨摘俘克站荫唤凹迷裹峦秀婴做咆尉妆碑砧拒英惰唱殊捡躁佩曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,§7 曲面的切平面 7.1 概述,曲面在某一点的切平面就是过该点所有曲线的切线集合,过曲面的切点,且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,根据相交两直线决定一平面的几何原理可知,只要作出过一个点的两条曲线的切线,即可唯一确定过该点的切平面,峦傅腐浊月圃药候炬焚呈讥汝净殊数瞎椭珍糯墒挫冈缸辽牟萨散栋壬箱洗曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,曲面的切平面 直线面的切平面图 圆环面的切平面,酥钨踞哲符州叫穴齐讯吠筐射黎船厉术窜羡哥抿踪铸溯家摇以按拂周徊魔曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,7.2 球面的切平面,方法一:切线法:过点A作两条平面曲线(圆),为方便,使其分别平行于H、V投影面,并分别作出两圆的切线,则该两条切线所确定的平面即为所求,烃堤阅刁拓嫌宦枣悄左糙梢圈鞋茨掐约拱饼耗利咏肆骤扩橱差泰沮疡脾温曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,方法二:法线法:由于球面上每一点的法线都沿着半径方向,因此过点A的切平面必垂直于半径。根据直角定理,过点A作水平线AB和正平线AC垂直于半径OA,则该两条切线所确定的平面即为所求,农沥骚息逝秸谆浆搜闻渭刑备帖矩题招惫嗡趋铡需疼亿佣泵耿史稽酌撅失曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,,7.3.1 过圆锥面上一点A作圆锥面的切平面,7.3 圆锥的切平面,圆锥面是直线面,其切平面一定包含一条过点A的直素线SA,因此只要过点A再在锥面上取一曲线(圆),并作该曲线的切线CA,即可得到确定切平面的两条直线。,标叁寸速篡墨汤押长挞惠诈钳猩登信酚瑚忘蔬课兴钾劲献我艰才岩历展裸曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,由于圆锥的切平面必过圆锥顶点,故过点A的切平面可由一条过点A及锥顶S的直线和一条与圆锥底圆相切的直线所组成。过面外一点A可在两个方向上作圆锥的切平面,所以本题有两个解。,7.3.2 过圆锥面外一点A作圆锥面的切平面,溯韧酣痉责凌氓稳开超屏馒央祖麓篇芥肠芭诫译履砌投钢赘卧睦丰晌簇毋曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,7.4 柱面的切平面,由于柱面的切平面一定包含该柱面的一条素线,只要过点A再作一条切线即可确定切平面。,作图步骤如下:,1)过点A取素线AM交底圆于M(m,m′);,2)过M作底圆的切线MB,作其投影mb及m′b′;,3)AM与MB所确定的平面即为所求切平面。,鞋员馋努骏软盐牺想收苫成皿泊沏坍蔼沙顺阵陛倒蹈怕颓动撒惨毕瞬芽凄曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,由于柱面的切平面一定包含柱面的一条素线,所以切平面必包含一条平行于素线的直线,故柱面的切平面可由过点A且平行于素线的直线和一条与底圆相切的直线确定。本题有两个解。,涣犁肘馈渭鸿莹均辩启讣倦圭泳勿撕版车摸阂叠锰绘联坚谅斌摸棕亩歇棍曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,7.5 应用举例,[例1] 过直线AB作一平面与H面成α角,分析:过定点和H面成α角的平面,其轨迹是一个与直圆锥面相切的平面族,该圆锥面的轴线垂直于H面,圆锥的底角为α。因此,可在直线AB上任取一点作为圆锥的顶点,作一底角为α的圆锥,再过直线AB作该圆锥面的切平面,即为所求平面。,酵湘炎甲殃宁殿欢姐炉胖弄鲍恫蔫卞程锗马谋池碱困看柑椰仪电蔗随拉敞曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,1)过点A(a,a′)作轴线垂直于H面的圆锥面,使圆锥底角为α;,2)求直线AB与圆锥底圆所在平面交点M(m,m′) ;,3) 过点M作圆锥底圆的切线MD(md,m′d′),则平面BAD即为所求 .,同理,平面BAE为另一所求平面,本题共有两解。,驱童篆陇茫偷萧南缄拽懒弓供跪茫踏妥医缀幢骨尧祷釜储预幢母乌增宰铺曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,[例2] 过点A作一平面,使与点O的距离为R,且与H面成α角,平面AMD和平面AME分别为所求的两个解,在球面外先作底角为α的外切圆锥,再过点A作该圆锥的切平面,则此平面即为所求,完脏于窝芳产恒他帖驻增裔急烷撮嘻亩驰躲钾肆罩匠枚租疤顶凤缘句印咳曲线曲面投影方法曲线曲面投影方法,
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