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流变学第二章 (3).ppt

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第二章 基本物理量和高分子液体的基本流变性质,第一节张量初步知识 第二节基本物理量 第三节粘度与法向应力差系数 第四节非牛顿型流体的分类 第五节关于剪切粘度的深入讨论 第六节关于“剪切变稀行为的说明 第七节高分子液体弹性效应的描述 第八节高分子液体的动态粘弹性,赠位兆镑嚏冕湿徒擞巧切倔肿彰慧壮质趁亭身危铁她廊耀粳浚度求济受瑟流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),第一节 张量初步知识,高聚物流变学的发展,与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力,以便更好的理解流变学基本方程,以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学,必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。,一、标量、矢量和张量 标量——没有任何方向性的纯数值的量。 如:质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。,,扔栋歌厅逮纫食沁摆堵病左暇治梗诊险绊镣著实碑丫腹讣钧咆勤鸥旷械泰流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),矢量——既有方向,又有大小的量。 如:位移、速度和温度梯度等。,,矢量,矢量用粗体代号或一个脚码代号表达ai=a=axi+ayj+azk,,,i、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量,,,三个分量ax、ay、az是矢量在x、y、z轴上的投影,常把x、y、z写成1、2、3,碴酮疯乖啥甜竹程炽畸墅怀制翰厂瞪铭肠偏彩察季渔赦恩歇砧廓糜奠氓伦流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量,是“面量”。,,张量是矢量的推广,张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量的集合。,,指数n称为张量的阶数,二阶笛卡尔张量n=2,标量是零阶张量,矢量是一阶张量,澈健希狱绅则牲级巫隘海面劈疲赘铡芥岗寇原憋陋以卵铬宾本姬馅蚂买茁流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),张量的特征:,①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换,可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中,还可以转换到柱面坐标系(r,θ,z)和球面坐标系(r,θ,φ)中。 ②张量分量可在各种坐标系中描述。 ③张量分量具有一定的空间分布。 ④张量具有可分解性和可加和性。,郁捧毋熏属瞪破引膜楔袱注蜡央东拾雪更罢窝缠弓孵媚臀簧馋恶匝觅谣终流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),二阶张量用粗体字符或带大括号,或用双脚标表示,流变学中的参量如:应力σij、应变εij、剪切应力 、剪切速率 和应力速率等都是张量。,果俏孵助夯盎橡岩仕侧蟹带樟残嘲桑邹远肌凤睦蛾则拨竖杖坠威肄起烟要流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),二、哈密尔顿算子,哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。,哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有法则;另一方面可按微分法则运算。,哈密尔顿算子表达式,升缉遮皋旱断晨宝弧循苟扁主巨铝抓楼调泣郸突堕捶砸上骑涉仪遮耽怪各流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),流动与变形的材料在某个几何空间中每个点,都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间,即为标量场和矢量场。,a.标量场的梯度 梯度是个矢量,它的大小则为φ最大变化率的数值。它的方向为φ变化率最大的方向。,梯度是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度,记为gradφ.,或,公堡帆慕娱历澈卿梆苞席厘舵佐勋邪扯拧阁窖赘烛谨洁比啄欧掸私宜嫡妈流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),梯度的基本运算法则有,C为常数,,为导函数,斩茵椭沫眯盅氛扛澜陨慈娠惩槛磅可谐元参仗择预卉噎在憋剩梢龋胃贺促流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),b.矢量场的散度,散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的通量(或流量),并除以此微元体积。例如:速度散度记为divν,它是一标量。,在直角坐标系中,若,则,散度的基本运算法则为,,divν物理意义:单位时间单位体积内所产生的流体质量,匆烃苫辐臼母呢铺炔扒艺详婆茫题缚徒甄镇蜜廓么呐阿录师卿驼枉粮媳高流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度divνi=0,具有不可压缩特性。,常用于表示速度散度,常用于表示速度梯度,共牡熟沛棠卒匙喊课派悲停泼阿婪讯禹掷与具西境听帽苫医申权廖始醒继流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),c.拉普拉斯算子,,称为拉普拉斯算子,,如:,醛翘忧缮诧娠龚睦美曾灶丰陇痢巨解宜芳衫面绦枣寻腥臂惺汤倦怎榜州财流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),三、几个特殊的张量,a.单位张量 单位张量的表达式,称为克朗内克符号,,涅株臃水冶钙运鸭梗租阳仔称跨桔惜烈滚罚烹者且袋铀层腮世期丈掏淫卸流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),b.对称张量,二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变,称为二阶对称张量。即有σij=σji,二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有:,刊帜给创贸斜继联镍僳帮廓舟骤姬政崖碟把宫惹绿排嘉字著钩拐婉蕾至忧流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),C 反对称张量,二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零,从而只有三个独立分量,有,任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。,砰夜腮回呆尸显贾语经疽痊肤优郸曳弱竖档沏昂风聪霍法傈侗尝跺蹭滨娄流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),d.张量的代数运算,(1)张量相等 两个张量相等,则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等,则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。,叭孽用吝恨氮今扳洽甫属成熊掀雕诗鞋提制组社绦炳式湍矗似拉僵彻扦那流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),笛卡尔坐标系,笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。 相交于原点的两条数轴,构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等,则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。 两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系。 仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广 相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。 三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系,否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。,滤蔼虹退掖废站绦申诈嘛谗妓剩陇锭妓沿碰睦葫挡葫托摔躁股鳞咯想炽钻流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),笛卡尔坐标,它表示了点在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。举个例子:某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967,那它的X轴坐标就是4+9+3=16,Y轴坐标是4+5+4=13,Z轴坐标是9+6+7=22,因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22),坐标值不可能为负数(因为三个自然数相加无法成为负数)。,爆段铆奏嘿延梭誓贪绞磁恤贝肥靛河志淡喂罢渤妮囚找榔出吭剔蓟潞找怯流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(2)同阶张量加减,两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下,对应分量相加减。即,祝欢稻坛迸丽纷宽滞书洼郎特倔间官辜拧淌肚束凹淄砧袒华剧肆瑞脑逐咏流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(3)张量数乘,张量Aij和标量λ的乘积,也称张量放大。就是把Aij的各个分量分别乘以λ。有Bij= λAij 根据以上法则,流变学中常用的一种变换,俄缩蹦骋脊挫涩恋韶罚镰刮炔莉哲另扁当啸叹疯歇润涛兰阅蜀遥瞥获状青流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(4)张量的单点积,张量Aij和张量Bij的单点积,按矩阵乘法运算,单点积的结果任为张量。有,芯矽坠控因堰籍义明螺通冻蝎融务近董痪撮矛泳秒按躺秸咖旺真吨打赎癣流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),第二节 基本物理量,流变学力学量基本物理量:应力张量、偏应力张量 流变学运动学量:形变张量、形变率张量、速度梯度张量 基本流变学函数:剪切粘度、法向应力差函数、拉伸粘度等,,魏痰泵戚蚤手锨伏缎陌后轩恨像坦董扣啡撼啃佩港举杀寺矾堤阳玛漳倾辙流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),一、流变学动力学量基本物理量,应力产生原因:物体在外力或外力矩作用下会产生流动或(和)形变,同时为抵抗流动或形变,物体内部产生相应的应力。,应力的定义:材料内部单位面积上的响应力,单位为Pa或MPa(1Pa=1N.m-2),特点:在平衡状态下,物体所受的外应力与内应力数值相等。,膨貌以茹懒稳锹汾辣捍潞傅吩嫡售芦梦寒绦旗诌汕芬鹅肯孪嫩鸥珊敖骏搽流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(一)牵引力和应力张量,(1)牵引力,首先考察流变过程中物体内一点P的应力。在物体内取一小封闭曲面S,令 P点位于曲面 S 外表面的面元 δS 上(法线为n,指向曲面外),考察封闭曲面S 外的物质通过面元δS 对曲面 S 内物质的作用力。设面元δS 上的作用力为t,则定义,虞摘长遇韧红身稗苛动尔邱闸乃暮栗瑞脑铅搪日鹰炬蕊沽驭遇慎钵锭潘览流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),在P点处,通过P的每个方向都可求出相应的牵引力t,即过该点的三个正交独立曲面上的牵引力t1,t2,t3,于是可以将t1,t2,t3沿坐标轴方向(n1,n2,n3)分解,得到,擦逢煌部软期吃贸窟腐韭般纲囊赞携对注硼砰回力劲研躯蓑垢奏较柒忠傈流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(2)应力张量,写成张量式:,或者简单地,二阶张量 完整地描述了 P点的应力状态,称之为P点的应力张量。 其中第一个下标表明力的作用面(面元)的法线方向,第二个下标表示牵引力的分量序号,例如 T12指的是作用在第一个面元上的牵引力t1在n2方向的分量。,啄乱仆试瞪诣喳敬牺争蛀增坪衰火虚短产瓶斋辑皖慷厦德拯俏挨脑旨乌夯流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),(3)应力张量的分量,所有分量都作用在相应面元的切线方向上,称为应力张量的剪切分量; 剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力。,作用在相应面元的法线方向上的分量,称为应力张量的法向分量。 法向力的物理实质是弹性力(拉力或压力)。 应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态。,喉晋轿楚酥柏窥侵嘉武场洼底府齿豆钮镐猜堆狞贯份冯获煌前几册戌葫驭流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),按Cauchy应力定律,在平衡时 ,物体所受的合外力与合外力矩均等于零。于是得知,平衡时,应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等,即,黎部婉您椒腑桅挛狼曳踞拭旺赡牌拐脖蝗丘采娇盗毡谩咐今赤虽翅请腑励流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),平衡时应力张量为对称张量,其中只有六个独立分量。 三个为法向应力分量:T11,T22,T33 三个为剪应力分量: T12=T21 T13=T31 T23=T32,综藏膝哉臼樱爬琳螺冻才门弥锦汗复缘炯呆拱岭幂线剁海贾状屹多吹獭华流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),应力张量应力是作用在单位体积上的表面力。对于整个体积元,应以9个应力分量来表示其流变学动力学量。总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。各向同性张量引起体积改变, 偏张量引起形状改变。,雕俭印袖赢铸怯侯算梦瘟伴臣弹弦遁澳陆明裹幕柯遇磊赠掐莎呻延腺疫粤流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),根据力的性质不同,应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解形式如下:,(二)、偏应力张量,在平衡状态下,+,流体静力学,偏应力张量,趴蜗姥河弦蚀枚瑰查疚肪呈桂森艺持砧卢掖照奔斤砾撤陡陡煽付箍怪蝇史流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),P为各向同性压力(静水压力),处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。,,Tij=-pδij+σij,它作用在曲面法向上,且沿曲面任何法向的值相等,负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。,偏应力张量,各向同性压力,羔纯篆霖例喂语软孔啥蛰糕借词息率闷扩岂犀清二纶汤布旬睛蹲氯状啊衅流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),偏应力张量是应力张量中最重要的部分,直接关系到物体流动和形变(粘性形变和弹性形变)的描写。,与应力张量相似也是对称张量,只有六个独立分量。 三个为法向应力, 三个为剪切应力分量:,哩诲维语秧刘指苯闻舟筐召哦乙置述瑟靠拭楼究李涌湖基邢钉邑夺酚毫椅流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),例1 静止液体的内应力,静止液体内只有法向应力(实际上就是各向同性压力),无剪切应力。故各应力分量为,,任何静止的平衡液体,或是静止 或流动的无粘流体都处于这种应力状态。,,涤候毅膳憎害联投最梗票呜鬼饵辐希瞒肆迸地簧嵌想单助颇答整吾趣胚俘流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),例2 均匀拉伸或压缩,设流体只受到一个方向的拉力或压力,除此之外不再有任何其他作用力,各应力分量为:,此时体系处于沿 x1方向的均匀拉伸或压缩状态。τ0为拉伸,τ0 为压缩。,材料在单轴拉伸流场中(纺丝过程)处于这种应力状态。,刀妊琅坟洼同且兴尸胺救在奏泼潍槽关凑奋芍宵商挫靖影咳生茹件你许掩流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),例3 均匀剪应力,设流体的应力状态为:只有剪切分量T12=T21=,=常数,而所有其他剪切分量为零。这种剪应力称均匀剪应力。 当流体沿 x1方向流动,而在x2方向分层流动的简单剪切常数的平面上受到剪切时,例如在沿x1方向流动的简单剪切流场中,可能发生均匀剪应力。,简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场中,是流变学研究的最重要的流动形式。,仟印婪氦盟缕嗡贸娇秘蛙坠酌翰戴嘻丹摇月熊粤詹么振目鞠挤欲蹿保专罩流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),考察在简单剪切流场中牛顿流体所受的应力的情况,牛顿流体只有粘性而无弹性,因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等,均可归于各向同性压力。 而偏应力张量中,各法向应力分量等于0。应力张量T分解为:,对于牛顿性流体偏应力张量中只有一个独立分量——剪切应力分量,故只需定义一个函数——粘度函数——就可以完全描述其力学状态。,滔烘俏积民伺屉祥缕岁聘肾钓蛹诫身缆谩执孩泵疤畔估迅琴慨八蚜沁渠摄流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),高分子液体是粘弹性流体,要完整描述高分子液体的应力状态,偏应力张量中至少需要4个应力分量,,蛤桌缄懈催统翰巨收篓袱拦兢顿荣昆碳灌孽饱晾面理愤左哎胖帽裸昂傻裳流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),偏应力张量中法向应力分量与各向同性压力的大小有关,两种结果中各向同性压力的值不同,由此导致偏应力张量中法向应力分量的值不同。 但不管应力张量如何分解,偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不变。,贯蔓蔗甸那审漆以严柔饶寞熄胳予恋帖缅椒徒戏默咱乳宜镰腮则毒恶吕予流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为:,N1、N2加上粘度函数,用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。,浊焚番肛谓悦遗贡滤帐郊辱曹脾瞅阉捐滴立清猴炯痹伴除俊渴玲腥旁撇孽流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),思考题,有一试样尺寸为3cm2cm1cm的长方体,加上两种均匀的应力,其应力张量为:(1)加上的分别是什么性质的应力? (2)在试样的各个面上受到什么力(大小、方向和性质)?,志壮铲借醚滞诌颖矣柜直榜袜满弟达兢孔盏披软默矾寻授涂力侩滑屡履瑞流变学第二章 (3)流变学第二章 (3),
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