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抛物线及其性质知识点大全..doc

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1抛物线及其性质1.抛物线定义:平面内到一定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.l2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔.开口方向 右 左 上 下标 准方 程 2(0)yx2(0)yx2(0)py2(0)xpy焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦 点坐 标 (,)2p(,)2p(,)2(,)2准 线方 程 xxpypy范 围 0,yR0,yR0,xR0,xR对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标 (0,0)离心率 1e通 径 2p焦半径 1(,)Axy12pFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长 B()()()()以 为直径的圆必与准线 相切Bl若 的倾斜角为 ,A2sinpA若 的倾斜角为 ,则A2cospAB124x21yp焦点弦长的补充A1(,)xy2BAFBF3.抛物线 的几何性质:)0(2pxy(1)范围:因为 p0,由方程可知 x≥0,所以抛物线在 轴的右侧, 当 的值增大时,| |也增大,yxy说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向.(3)顶点(0,0),离心率: ,焦点 ,准线 ,焦准距 p.1e(,0)2pF2x(4) 焦点弦:抛物线 的焦点弦 , , ,则 .)(2pxyAB)(1y)(2pxAB21|弦长|AB|=x 1+x2+p,当 x1=x2时,通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质:焦点弦 , , ,焦点AB)(1y)(2x(,0)pF(1) 若 AB 是抛物线 的焦点弦(过焦点的弦) ,且 , ,则: ,2(0)ypx1,Axy2,)B214px。21yp(2) 若 AB 是抛物线 的焦点弦,且直线 AB 的倾斜角为 α,则 (α≠0) 。2()yx 2sinP(3) 已知直线 AB 是过抛物线 焦点 F ,2(0)p1AFBFp(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5) 两个相切: 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,○ 1 ○ 2以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5.弦长公式: , 是抛物线上两点,则)(1yxA)(2B21B ||1|| 2221ykxk6.直线与抛物线的位置关系直线 ,抛物线 ,,消 y 得:(1)当 k=0 时,直线 与抛物线的对称轴平行,有一个交点;l(2)当 k≠0 时,Δ>0,直线 与抛物线相交,两个不同交点;Δ=0, 直线 与抛物线相切,一个切点;lΔ<0,直线 与抛物线相离,无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 : 抛物线 ,lbkxy)0(p1 联立方程法:pxy20)(22bxp3设交点坐标为 , ,则有 ,以及 ,还可进一步求出)(1yxA)(2B021,x, bxkbky12121  2121121 )()( bxkbky 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a. 相交弦 AB 的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2b. 中点 , , )(0xMx02 点差法:设交点坐标为 , ,代入抛物线方程,得),(1yA),(2yB121pxypx将两式相减,可得 )(2)(21121 xpy2121xya. 在涉及斜率问题时, 21ypkABb. 在涉及中点轨迹问题时,设线段 的中点为 ,),(0yxM,02121 ypypxy即 ,0kAB同理,对于抛物线 ,若直线 与抛物线相交于 两点,点 是)0(2pyxl BA、 ),(0yxM弦 的中点,则有 pxkAB021(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)4【经典例题】 (1)抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例 1】P 为抛物线 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴( )pxy2相交 相切 相离 位置由 P 确定.A.B.C.D【解析】如图,抛物线的焦点为 ,准线是,0.作 PH⊥ 于 H,交 y 轴于 Q,那么 ,:2plxl PFH且 .作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的QOF中位线, .故以112MNPPF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】 过抛物线 的焦点 F 作直线交抛物线于 两点,求证:02pxy12,,AxyB(1) (2)12ABxpBA21【证明】 (1)如图设抛物线的准线为 ,作l,1l11, 2l x于 , 则 F.两式相加即得:2pBFx1A(2)当 AB⊥x 轴时,有成立;FBp, 12AFBp当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦 AB 的方程为: .代入抛物线方程:2pykxXY PH MNO(,0)2pF: 2plx=- 22y px=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l5.化简得:22pkxx222014pkxpxk∵方程(1)之二根为 x1,x 2,∴ .1212211224xppAFBx.12122244xpp px故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直,恒有 成立.BFA2(3)切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明:过抛物线 上一点 M(x 0,y 0)的切线方程是:y 0y=p(x+x 0)2yp【证明】对方程 两边取导数:2x2.p, 切 线 的 斜 率.由点斜式方程:0xpky 20001pyxyxyy0y=p(x+x 0)201, 代 入 ( ) 即 得 :(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获.例如:1.一动圆的圆心在抛物线 上,且动圆恒与直线 相切,则此动圆必过定点 xy8202x( ).4,0.,0.0,.0,ABCD显然.本题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选 B.2.抛物线 的通径长为 2p;2ypx3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ,那么:12,,AxyB21yp以下再举一例【例 4】设抛物线 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1,证明:以 A1B1为直径的圆必2ypx6过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么 A1B1=AB=2p,而 A1B1与 AB 的距离为 p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为 ,12,,Axy那么: 2112.ypCBp设抛物线的准线交 x 轴于 C,那么 F.2111.90AFBA中 故这就说明:以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法(1)解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).【例 5】 (10.四川文科卷.10 题)已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A、B,则|AB|等于( )A.3 B.4 C.3 D.42【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直,且线段AB 的中点必在直线 x+y=0 上,因得解法如下.【解析】∵点 A、B 关于直线 x+y=0 对称,∴设直线 AB 的方程为:. 由yxm 223013yxmx设方程(1)之两根为 x1,x 2,则 .12设 AB 的中点为 M(x 0,y 0) ,则 .代入 x+y=0:y 0= .故有 .0x121,2M从而 .直线 AB 的方程为: .方程(1)成为: .解得:1myyx,从而 ,故得:A(-2,-1) ,B(1,2). ,选 C.2,x,2 3AB(2)几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法.【例 6】 (11.全国 1 卷.11 题)抛物线 的焦点为 ,准线为 ,经过 且24yxFlF斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 , ,垂足为 ,则3xAK⊥XY ABFA1B1MCXOYABM0l xy+=XYOF(1,0)AK60°Y2=pxL:x=-1M7xyM(x,y)F1(-c,0) F2(c,0)OH2: al xc=-r1 r2r2的面积( )AKF△A. B. C. D.43438【解析】如图直线 AF 的斜率为 时∠AFX=60°.△AFK 为正三角形.设准线 交 x 轴于 M,则l 2,Fp且∠KFM=60°,∴ .选 C.234,4AKFS【评注】 (1)平面几何知识:边长为 a 的正三角形的面积用公式 计算.234Sa(2)本题如果用解析法,需先列方程组求点 A 的坐标, ,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单.(3)定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单.【例 7】 (07.湖北卷.7 题)双曲线的左准线为 ,左焦点和右焦点分别为 和 ;抛物线 的线21:(0)xyCabb, l 1F22C为 ,焦点为 与 的一个交点为 ,则 等于( )l21F; 2M1212FA. B. C. D. 12【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半焦距 c,离心率为 e,作 ,令MHl于.∵点 M 在抛物线上,12,MFr,1122,FrHe故这就是说: 的实质是离心率 e.12||其次, 与离心率 e 有什么关系?注意到:1||FM8.121211FercaeMr这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于 .∴选 A1212||| 1FMe(4)三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.【例 8】 (09.重庆文科.21 题)如图,倾斜角为 a 的直线经 过抛物线 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。xy82(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程;(Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 P,证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。【解析】 (Ⅰ)焦点 F(2,0) ,准线 .;2lx(Ⅱ)直线 AB: tn1y代入(1) ,整理得:28yx 2ta86tan02y设方程(2)之二根为 y1,y 2,则 .12t6y设 AB 中点为 1200 204cot, tancotMxyy则AB 的垂直平分线方程是: .4tx令 y=0,则 224cot6ct6xP, 有 ,故 2to14cosFPO于是|FP|-|FP|cos2 a= ,故为定值.22cs1s4cin8(5)消去法——合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 :(1) 与抛物线 有两个不同的交点 Allxy82AM9和 B;(2)线段 AB 被直线 :x+5y-5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 的方程.1l l【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点xy8212.AxyBxy, , , 则 有 :211212128yxy 21128Bk∵线段 AB 被直线 :x+5y-5=0 垂直平分,且1l 15lABk, , 即 125y.1285y设线段 AB 的中点为 .代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是:120045yMxy, , 则AB 中点为 .故存在符合题设条件的直线,其方程为:415,2510yxxy, 即 :(6)探索法——奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】 (10.安徽卷.14 题)如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q 2,…,Q n-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q 1OP1, △Q 2P1P2,…, △Q n-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】∵ OA, 图 中 每 个 直 角 三 角 形 的 底 边 长 均 为设 OA 上第 k 个分点为220.1.k kPyxynn, 代 入 :第 k 个三角形的面积为: 21.kka.21 221412n nnS故这些三角形的面积之和的极限 2 1limlim413n nS n
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