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抛物线及其性质知识点大全..doc

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抛物线及其性质知识点大全.doc
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1抛物线及其性质1.抛物线定义:平面内到一定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.l2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔.开口方向 右 左 上 下标 准方 程 2(0)yx2(0)yx2(0)py2(0)xpy焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦 点坐 标 (,)2p(,)2p(,)2(,)2准 线方 程 xxpypy范 围 0,yR0,yR0,xR0,xR对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标 (0,0)离心率 1e通 径 2p焦半径 1(,)Axy12pFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长 B()()()()以 为直径的圆必与准线 相切Bl若 的倾斜角为 ,A2sinpA若 的倾斜角为 ,则A2cospAB124x21yp焦点弦长的补充A1(,)xy2BAFBF3.抛物线 的几何性质:)0(2pxy(1)范围:因为 p0,由方程可知 x≥0,所以抛物线在 轴的右侧, 当 的值增大时,| |也增大,yxy说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向.(3)顶点(0,0),离心率: ,焦点 ,准线 ,焦准距 p.1e(,0)2pF2x(4) 焦点弦:抛物线 的焦点弦 , , ,则 .)(2pxyAB)(1y)(2pxAB21|弦长|AB|=x 1+x2+p,当 x1=x2时,通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质:焦点弦 , , ,焦点AB)(1y)(2x(,0)pF(1) 若 AB 是抛物线 的焦点弦(过焦点的弦) ,且 , ,则: ,2(0)ypx1,Axy2,)B214px。21yp(2) 若 AB 是抛物线 的焦点弦,且直线 AB 的倾斜角为 α,则 (α≠0) 。2()yx 2sinP(3) 已知直线 AB 是过抛物线 焦点 F ,2(0)p1AFBFp(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5) 两个相切: 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,○ 1 ○ 2以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5.弦长公式: , 是抛物线上两点,则)(1yxA)(2B21B ||1|| 2221ykxk6.直线与抛物线的位置关系直线 ,抛物线 ,,消 y 得:(1)当 k=0 时,直线 与抛物线的对称轴平行,有一个交点;l(2)当 k≠0 时,Δ>0,直线 与抛物线相交,两个不同交点;Δ=0, 直线 与抛物线相切,一个切点;lΔ<0,直线 与抛物线相离,无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 : 抛物线 ,lbkxy)0(p1 联立方程法:pxy20)(22bxp3设交点坐标为 , ,则有 ,以及 ,还可进一步求出)(1yxA)(2B021,x, bxkbky12121  2121121 )()( bxkbky 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a. 相交弦 AB 的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2b. 中点 , , )(0xMx02 点差法:设交点坐标为 , ,代入抛物线方程,得),(1yA),(2yB121pxypx将两式相减,可得 )(2)(21121 xpy2121xya. 在涉及斜率问题时, 21ypkABb. 在涉及中点轨迹问题时,设线段 的中点为 ,),(0yxM,02121 ypypxy即 ,0kAB同理,对于抛物线 ,若直线 与抛物线相交于 两点,点 是)0(2pyxl BA、 ),(0yxM弦 的中点,则有 pxkAB021(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)4【经典例题】 (1)抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例 1】P 为抛物线 上任一点,F 为焦点,
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