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抽象函数终极讲义(学生).doc

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抽象函数终极讲义(学生).doc
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1抽象函数教学目标:1.掌握由具体函数模型来解决抽象函数问题;2. 掌握用赋值法来解决抽象函数求值与奇偶性问题;3.掌握抽象函数单调性的常规方法。知识梳理:1. 抽象函数:没有给出具体解析式,只给出它的一些特征或性质的函数称为抽象函数.2.常见的抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下:基础自测:1.定义在 的上的函数 满足 ,当 时,R()fx()()fyfxy(,)R0x,则函数 在 上( )()0fx,]abA. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值()fa()fa()fb()fb2.已知函数 满足 且对任意 都有 ,记fx12,f,xyR)(xfyf,则 .12ni naa01(6)ifi3.设 是定义在 上的增函数,且 ,若 ,则()fx,()()xffy(2)1f.8典例剖析:考点1:正比例型抽象函数【例 1】定义在 的函数 满足 ,且当 时,R()fx()()fyfxy(,)R0x. (1)求证: 为奇函数;(2)求证: 是 上的增函数.()0fx f考点2:指数型抽象函数【例 2】定义在 上的函数 满足:对任意实数 ,总有R()fx,mn()fn,且当 时, . (1)试求 的值;(2)求证:对任意()fmn0x(0)f的 ,恒有 ;(3)判断 的单调性,并证明你的结论.x()f ()fx抽象函数的性质 特殊函数模型① ()()fxyfy② 正比例函数 ()0)fxk① ()()fxyfy② 0;()ff指数函数 ()0,1)xfa① (),);fxyfyx② ()0,;ff对数函数 ()log(0,1)afx① ()()fxyfy② 0;()ff幂函数 ()nfx2【变式】在 例 2 条 件 下 若 若 (1) = ,解不等式 (3x-x )> .f21f241考点3:对数型抽象函数【例 3】已知 是定义在 上的函数,并且对任意的 ,)(xf(0,)0,yx总成立,且当 时, . )(yxyf1x()0fx(1)求 的值;(2)求证: 在 上是增函数.f ()f,【变式】已知函数 定义域为(0,+∞)且单调递增,满足 (4)=1,()fx f(1)证明: (1)=0;(2)求 (16);(3)若 + ( -3)()fxyfyff)xf≤1,求 的范围;考点 4:幂函数型抽象函数【例 4】已知函数 对于一切正实数 、 都有 且 >1 时,()fxxy()()fxfyx<1, (2)= (1)求证: >0;(2)求证: 在(0,+∞)上为单调()fxf91()f减函数(3)若 =9,试求 的值。()m小结:1.对于选择、填空题可借助抽象函数的特殊模型进行分析.2.对于抽象函数的单调性的证明要善于挖掘已知条件进行构造,如:①已知 , 的取值情况:需构造 ,其中 .0x()f 21()fx210x②已知 , 的取值情况:需构造 ,其中 . ③已知 , 的取值情况:需构造 ,其中 .1x()f 21()xf21x④常见的构造: , ,112[()]fxfx22[()]ff.221())fxf练习:1.对任意整数 函数 满足: ,若 ,则yx,)(xf1)()(xyfyxf )(f( )A.-1 B.1 C. 19 D. 43)8(f2.定义在区间[-2,2]上的函数 满足: ,且 在[0,2]上为增()fx()fxf()fx函数,若 恒成立,则实数 的取值范围是 . (2)(310fmfm3.已知函数 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数 ,都有x xy成立.则不等式 的解集是___________ .()()fyfy2(log)0fx4.函数 对于 x0 有意义,且满足条件 减函x 1,()(),fyfxyfx是数。 (1)证明: ;(2)若 成立,求 x 的取值范围。;(1)0f()3fx5.已知函数 的定义域为 R,对任意实数 都有 ,且x,mn1()()2fnfmfn3,当 时, 0.(1)求 ;(2) 判断函数 的单调性,并证明.1()02f12x()fx(1)f()fx
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