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指、对数函数典型例题.doc

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指、对数函数典型例题.doc
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题型一 指数、对数的运算1.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.2.对于底数相同的对数式的化简,常用的方法:(1)“收” ,将同底的两对数的和( 差)收成积(商) 的对数.(2)“拆” ,将积(商)的对数拆成对数的和(差) .例 1 (1)化简: 293258)(10)+(2)计算:2log 32-log 3 +log 38- .329 5log3解 (1)原式= 2()10)=2 -1 ×103× =2 -1 × = .52102(2)原式=log 34-log 3 +log 38-329 52log3=log 3 -(4×932×8) 5log9=log 39-9=2-9=-7.跟踪训练 1 计算 80.25× +( × )6+log 32×log2(log327)的值为________.42 32 3答案 111解析 ∵log 32×log2(log327)=log 32×log23= × =1,lg 2lg 3 lg 3lg 2∴原式= +2 2×33+1=2 1+4×27+1=111.4题型二 数的大小比较数的大小比较常用方法:(1)比较两数(式 )或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为 “小于 0”, “大于等于 0 小于等于 1”, “大于 1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.例 2 比较下列各组数的大小:(1)40.9,80.48, -1.5 ;(12)(2)log20.4,log 30.4,log 40.4.解 (1)4 0.9=2 1.8,80.48=2 1.44, -1.5 =2 1.5,(12)∵y=2 x在(-∞,+∞)上是增函数,∴4 0.9 -1.5 80.48.(12)(2)∵对数函数 y=log 0.4x 在(0,+∞)上是减函数,∴log 0.44log0.23,即 log0.22log0.049.(3)∵函数 y=a x(a0 且 a≠1),当底数 a 大于 1 时在 R 上是增函数;当底数 a 小于 1 时在R 上是减函数,而 1.21 时,有 a1.2a1.3.(4)∵y=x 3 在 R 上是增函数,且 0.210,且 a≠1,试讨论函数 f(x)= 的单调性.2617xa+解 设 u=x 2+6x +17=(x + 3)2+8,则当 x≤-3 时,其为减函数,当 x-3 时,其为增函数,又当 a1 时,y=a u是增函数,当 01 时,原函数 f(x)= 在( -∞,-3]上是减函数,在( -3,+∞)上是增函2617xa+数.当 00 得函数的定义域为{x|x1 或 x0,a≠1),对数函数 y=log ax(a0,a≠1,x0)的图象和性质都与 a 的取值有密切的联系.a 变化时,函数的图象和性质也随之变化.(2)指数函数 y=a x(a0,a≠1)的图象恒过定点(0,1) ,对数函数 y=log ax(a0,a≠1,x 0)的图象恒过定点(1,0).(3)指数函数 y=a x(a0,a≠1)与对数函数 y=log ax(a0,a≠1,x0)具有相同的单调性.(4)指数函数 y=a x(a0,a≠1)与对数函数 y=log ax(a0,a≠1,x0)互为反函数,两函数图象关于直线 y=x 对称.例 4 已知函数 f(x)=lg 在 x∈( -∞,1]上有意义,求实数 a 的取值范围.1+ 2x+ a·4x3解 因为 f(x)=lg 在( -∞,1]上有意义,1+ 2x+ a·4x3所以 1+2 x+a·4 x0 在( -∞,1]上恒成立.因为 4x0,所以 a- 在(-∞,1] 上恒成立.[(14)x+ (12)x]令 g(x)=- ,x ∈(-∞,1].[(14)x+ (12)x]由 y=- x与 y=- x在(-∞,1] 上均为增函数,可知 g(x)在( -∞,1]上也是增函数,(14) (12)所以 g(x)max=g(1) =- =- .(14+ 12) 34因为 a- 在(-∞,1]上恒成立,[(14)x+ (12)x]所以 a 应
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