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数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013.doc

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数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013.doc
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数值分析 A-第 3 次作业李国轩,机研 113,2011210287,13.11.201311. 用列主元消去法求解 123-0.20.41.785863.9647.x解:由已知可得到增广矩阵为 0. 0.41.825163.967.8Ab消去运算第一步。选 为第一次消去的主元,交换第 1,2 行,得到(1)3a(1).5.24.07836. 0.Ab同时可以得到 5.96.32,25.96.3121 ll做消去运算可以得到 (2)47.1807.02.82.3Ab   消去运算第二步。此时,选主元为 ,再交换第 2,3 行,同时有()3a0496.028.6171l做消去运算可以得到 (3).95.7.18.30094.59Ab   回代运算。通过回代可以得到解为 (1.9273,.685,.)Tx12. 设 ,经过一步 Gauss 消去得到1(),0ijAa,其中(2)120TaA(2)(2)()()2nnaA试证明:(1) 若 A 对称正定,则 A2也对称正定。(2) 若 A 严格对角占优,则 A2也严格对角占优。(1)证明:由已知,A 对称,则 ,如对 A 进行一步高斯消去,有(1)()ijjia31121,,.nalll因此有 (1)(2)(1)(1)()iijijijijjalaa同时有 (1)(2)(1)(1)()jjijijijiila可见有 ,因此 A2的对称性成立。(2)()ijjiaA 对称正定,因此有 ,若对 A2进行 n-1 步高斯消元运算,它变为下面()0,1.kn的形式 (2)()()323()nnaa于是 A2的各顺序主子式, ,因此 A2是正定的。23a0,23,iiD 综上所述,A 2是对称正定矩阵。原题得证。(2)证明:由已知,A 严格对角占优,于是有 (1)(1)i ijnja而 1()(2)(),2,3.)iijij jaain同时1()(2)(),23,.)iii ian那么 1 11 11111() ()(2)() ()2() ()()()()()()()22 2i iij ij j ij ji i iij jiji j innnjj jnnnnj jj jiaaaa11 111()() ()()()() () ()(2)i i i iii ii ii iiaa a 因此可见 A2 也是严格的对角占优阵。13. 用平方根法解 1231648450x解:矩阵 A 是对称正定矩阵,且 164852A有 , , , , , 。因此14l21l31l2l32l3l41L于是,其中yb4310T于是可以容易得到 26T又 ,且其中TLxy4123TL于是可以容易得到 2.54Tx16. 求下面两个方程组的解,并利用条件数估计 ,与实际的 比较。xx1 12 224039.5340393,17. 74x解:通过高斯消元法解两个方程,第一个方程对应的增广矩阵为 (1) .59.40Ab高斯消元,得到 (2)14031.6257求得 12,8,6TTx第二个方程对应的增广矩阵为 (1)24031972Ab类似进行高斯消元,得到 (2) 491020b求得 12,4,3TTxx由于,01972A10.4896.328570A1()(3)()6.14cond同时 0.5 0.5()62.1491.2731Acondx而 ,于是4x5.0932x而由求得的方程可知实际的 418. 给出定理 3.2 和定理 3.3 的证明。 12221 11 23.2,(1))()(),()(),,03(4) (),A()=nn n nARcodcodAncodAcnRUUcodcodA 定 理设 非 奇 异 , 则 有若 为 正 交 阵 , 则若 为 正 交 阵 , 则设 与 为 按 模 最 大 和 最 小 的 特 征 值 , 则 若 对 称 , 则证明:(1)由已知的条件同时根据条件数的定义可知 11()condAA1 ()cond11()cond
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