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浙江大学高级宏观经济学详细公式推导(上).pdf

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1. BBK模型-无生产的交易经济 1.1 最优问题 21012112212max,0ttitititsttt tttcssst c s c s z s y z s ycs cs\ES\f ­½ªº°°¬¼®¾¯¿d t¦¦¦1.2 一阶条件 建立拉格朗日函数: 2112 21 210 0tttitit ttttttit tsscsLs szsyzsycscs\ES O\ff ªº¬¼ªº    ¬¼¦¦¦ ¦¦ 1111=0ttt tttLscs scs\ES Owªº ¬¼w① 1222=0ttt tttLscs scs\ES Owªº ¬¼w②1.3 均衡消费 由①、②可得: 1112 2=ttcscs\ªº«»¬¼,连列 121122=ttt tcs cs zsy zsy可得: 1112221122=1+1=1+ttttttcs zsy zsycs zsy zsy­*§·ªº¨¸°*°©¹®§·°ªº¨¸¬¼°*©¹¯,其中(111-2=\§·*¨¸©¹) 2. BBK模型 2.1 AD最优问题 国家1: 1011 11001111111111 11 1 11max,,10ttttttt stttt ttssttttcssst m s a s P s b s m s z s ycs Gas bsGab wa w bcs\VVVVES\f ff ­½ªº°°¬¼®¾¯¿ªºd¬¼ ªº «»¬¼t¦¦¦¦ ¦¦2.2 AD一阶条件 对国家1建立拉格朗日函数: 111 1 11000tttttt t t t t t tssscsLs mszsymsasPsbs\ES O\fff ªº­½¬¼ªº ®¾¬¼¯¿¦¦ ¦¦ ¦¦首先求两个偏导数:11caww、11cbww: 11111 11111111 1111111 1111cwc aacwa wbcwc bbVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 111111111=0tt t t t ttLscs wcs as msas\VVES Owªº ¬¼w① 1111111111=0tt t t t t ttLscs wcs bs msPsbs\VVES Owªº  ¬¼w② 11111 1 111,1 ,1 ,1 ,1 ,1=0,1tt t t t ttLst cst wcst ast mstast\VVES Owªº   ¬¼w③2.3 AD均衡价格 由①、②可得: 1111 11tAD ttbswPsw asVªº§·«» ¨¸©¹¬¼由①、③可得: 111111111111,1,1 ,1 ,1 ,1tt t tAD tAD ttt t tscs cs asmsmstst cst cst ast\VV\VVSESªº¬¼ ªº  ¬¼2.4 SM最优问题 国家1: 1011 11111111111111 11 1 111101max, 1 , 1,,1,100tttttt sttt t t t tttsttttttcssst a s P s b s Q s t B s t z s y B scs Gas bsGab wa w bBst BBscs\VVVVES\f ­½ªº°°¬¼®¾¯¿d ªº «»¬¼t t¦¦¦2.5 SM一阶条件 对国家1建立拉格朗日函数: 1011 1 1 11210+,1,1ttttttt stttt t t t tttt sscsLssas Psbs Qst Bst zsyBs\ES\Of f ªº¬¼ ­½ ®¾¯¿¦¦¦¦ ¦首先求两个偏导数:11caww、11cbww: 11111 11111111 1111111 1111cwc aacwa wbcwc bbVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 111111111=0tt t t t ttLscs wcs as sas\VVES Owªº ¬¼w① 1111111111=0tt t t t t ttLscs wcs bs sPsbs\VVES Owªº  ¬¼w② 1111,1 ,10,1tt ttttLsQst stBstOOw  w③2.6 SM均衡价格 由①、②可得: 1111 11tSM ttbswPsw asVªº§·«» ¨¸©¹¬¼由①、③可得: 1111111111111=,1,1 ,1 ,1 ,1tt t tttt t ttscs cs asQstst cst cst ast\VV\VVSESªº¬¼ªº  ¬¼2.7 综合讨论 综合AD和SM市场均衡价格讨论: AD t SM tPsPs 、 1,1 ,1AD tAD t ttmsmst Qst 3. BBK模型-社会计划者问题 3.1 最优问题 210121112 221111111 11 111112222 22 22max,0,1,1ttitititsttttttit itcssst a s a s z s ybs bs zsyas bscGab wa wbcGab wb wa\VVVVVVVVES\f ­½ªº°°¬¼®¾¯¿  tªº «»¬¼ ¦¦¦3.2一阶条件 建立拉格朗日函数: 210111 2 111 200ttttitititsat t t bt t tsscsLszsy as as zsy bs bs\ES\OOf ffªº¬¼ ªºªº¬¼¬¼¦¦¦¦¦ ¦¦首先求四个偏导数:11caww、11cbww、22caww和22cbww: 11111 11111111 1111111 1111cwc aacwa wbcwc bbVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 11222 21121222 2211222 2211cwc bbcwb wacwc aaVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 111111111+=0tatLcwcaa\VVES Ow w① 11122 22221+=0tLawcaa\VVES Ow w② 11111 11111+=0tbtLcwcbb\VVES Ow w③ 111222222+=0tbtLcwcbb\VVES Ow w④ 3.3 稳定均衡 由①、②可得: 11122221112111111=cwcacwca\VV\VV⑤ 由③、④可得: 1112222111211111=1cwcbcwcb\VV\VV⑥ 由⑤、⑥可得: 11 112222222111 1121111 1 1 11==1cwca cwcbcwca c wcb\\VV VVVV VV 所以 212211 21=11awwbba wwVªº«»¬¼连列限制条件1211aazy ⑦、 12 22bb zy ⑧,可以解出:1a、2a、1b、2b。 2211=abba§·*¨¸©¹⑨,其中 1221=11wwwwVªº«»*¬¼。 由⑧、⑨可得: 1212211tabs zya§· *¨¸©¹,122211=1aabzyaa§·**¨¸©¹。 由⑦可得:2111azya 将以上三式代入⑥可得: 11111 111211 1 2 2211 11121111211111 1 2211 1111=1111zy aawzy a w zyzy awzyaaawwa w zyzy aa\VVVVVVVVVVV§·¨¸©¹­½ªº§·°°*«»¨¸*¨¸§·©¹¬¼*®¾¨¸ ©¹ªº§·«»¨¸°°*¨¸©¹¬¼¯¿4. BBK模型-带有贸易费用 4.1 最优问题 国家1: 1011 11 1 11 1 111111111111 1 111101max ln, 1 , 1,,1,100tttt tt stt t t t tab t asttttttscsst qa s qb s Q s t B s t q z s y B scs Gas bsGab wa wbBst BBscsVVVVESf ­½ªº®¾¬¼¯¿  d  ªº «»¬¼t t¦¦¦国家2: 2022 22 2 2 2 212222111222 2 221202max ln, 1 , 1,,1,100tttt tt stt t t t tab t a tsttttttscsst qa s qb s Q s t B s t q s y B scs GasbsGab wa wbBst BBscsVVVVESf ­½ªº®¾¬¼¯¿  d  ªº «»¬¼t t¦¦¦4.2 一阶条件 对国家1建立拉格朗日函数: 11011111 1 1 110ln,1 ,1ttttt tt stt t t t t tatab tt ssLscssqzsyBs q s q s Qst BstESOf f ªº ¬¼«»¦¦¦¦ ¦首先求两个偏导数:11caww、11cbww: 11111111111 111111111cwc aacwa wbcwc bbVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 11111110tt taLswc a sqaVVES Ow  w 111111110tt tbLswcb sqbVVES Ow   w对国家2同理有: 112122 22210tt taLswca sqaVVES Ow   w 112122 2220tt tbLswc b sqbVVES Ow  w4.3 稳定均衡 由国家1的一阶条件可得: 11 1111abq waqwbV§· ¨¸©¹由国家2的一阶条件可得: 12 2221abwqaqwbV §· ¨¸©¹又因为稳定均衡时不存在套利机会,所以12=aaqqW、12=bbqqW,所以12212=aabbqqqqW 所以, 111221=1wwa awb w bVVW§· §·¨¸ ¨¸©¹ ©¹⇒-212121=ab wba wVW§·¨¸©¹由于我们考虑的是对称国家,所以均衡时:12=ab、21=ab 所以,-121=awawVW§·¨¸©¹由于均衡时市场出清,所以12+=1aaW( =1itizsy) 由此可以推出: -12-1==1+wwabwwVVWWW§·¨¸©¹§·¨¸©¹,21-1==1+abwwVWW§·¨¸©¹4.4 国家1进口GDP占比 11-11 21+baqbqa a wwVWWWW  §·¨¸©¹4.5 推导真实汇率 国家1: 最优化问题:^ ` 111111111 1 1min1 , 1apbst G a b w a w bVVVVªº «»¬¼对国家1建立拉格朗日函数: 11111111 1 1Lapb wa wbVVVVO­½ªº°°    ®¾«»¬¼¯¿ 11111111 1 110Lwa w b waaVVVVOªºw    «»w¬¼ 111 11111 1 1 110Lpwa wb wbbVVVVOªºw    «»w¬¼由此可得:11111=1wapwbV§·§·¨¸¨¸©¹©¹⇒1111 wabpwV§· ¨¸©¹代入 11111wa w bVVVVªº «»¬¼可得: 111111wbw wpwVVVªº§· «»¨¸©¹¬¼所以 111111 1,11+1ctwwPapb pw wpw pwVVVVªºª º§· §·  «»« »¨¸ ¨¸©¹ ©¹¬¼¬ ¼国家2: 最优化问题:^ ` 222111222 2 2min1 , 1apbst G a b w a w bVVVVªº «»¬¼对国家1建立拉格朗日函数: 11122222 2 211Lapb wa wbVVVVO­½ªº°°     ®¾«»¬¼¯¿ 111 121222 2211 0Lwa wb waaVVVVOªºw     «»w¬¼ 111 12122 2 2 2210LpwawbwbbVVVVOªºw    «»w¬¼由此可得:122211=wapwbV§·§·¨¸¨¸©¹©¹⇒ 2221wabpwVªº «»¬¼代入 1112211wa wbVVVVªº  «»¬¼可得: 112211wbw wpwVVVªºªº«»  «»¬¼所以, 112222 2,22+111ctwwPapb p w wpw pwVVVV­½­ ½ªº ªº°°° °   ®¾® ¾«» «»¬¼ ¬¼¯¿¯ ¿所以, 112222,11,1111+1+1ctctwwpw wpw pwPRERPwwpw wpw pwVVVVVVVV­½­ ½ªº ªº°°° °®¾® ¾«» «»¬¼ ¬¼¯¿¯ ¿ ªºª º§· §·«»« »¨¸ ¨¸©¹ ©¹¬¼¬ ¼4.6 社会计划者问题 21012112 21111111 1 11112222 2 2max ln,0,1,1ttitititsttttttit itscsst a s a s z sbs bs zsas bscGab wa wbcGab wb waVVVVVVVVESWWf ­½ªº®¾¬¼¯¿  tªº «»¬¼ªº «»¬¼¦¦¦建立拉格朗日函数: 210111 2 111 200lnttttitititsat t t bt t tssLscszsy as as zsy bs bsESOWOWf ffªº ¬¼ªºªº¬¼¬¼¦¦¦¦¦ ¦¦首先求四个偏导数:11caww、11cbww、22caww和22cbww: 11111 11111111 1111111 1111cwc aacwa wbcwc bbVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 11222 21121222 2211222 2211cwc bbcwb wacwc aaVVVVVVVV­ w °ªº° w  Ÿ®«»w¬¼° °w¯ 11111111+=0tatLwc aacVVES Ow w① 112222211+=0tatLwc aacVVES OWw w② 111111111+=0tbtLwc bbcVVES OWw w③ 11222221+=0tbtLwc bbcVVES Ow w④ 由①、②可得: 112211121=wc awc aVVVVVVW⑤ 由③、④可得: 11221112=1wc bwc bVVVVVVW⑥ 由⑤、⑥可得: 11 1122 22111 11211==1wc a wc bwc a w c bVV VVVV VVWW所以22211=1awbbawVW§·§·¨¸¨¸©¹©¹连列限制条件121aazW ⑧、 12 2bb zW  ⑨,可以解出:1a、2a、1b、2b。 由⑦、⑧可得:12211awbzawVWWªº§·§· «»¨¸¨¸©¹©¹¬¼,1222211=aw awbzaw awVVWWWªº§· §·§· §·«»¨¸ ¨¸¨¸ ¨¸©¹ ©¹©¹ ©¹¬¼。 由⑧可得:11 2az aW 将以上三式代入⑥可得: 1+1112212222111121212121 212 2111=11aw awwzwaaw awwaawwz a w zawVVVVVVVVVVVVVVWWWWWW§·ªº§·§· §·¨¸«»¨¸ ¨¸¨¸©¹ ©¹©¹ ©¹¬¼§·¨¸©¹§·ªº§·§·¨¸«»¨¸¨¸©¹©¹¬¼5. 简单小型开放经济交易模型 5.1 最优问题 01100max ln10ttttt t ttttcst c b y r bbBcbbEf ­½®¾¯¿dtt ¦5.2 一阶条件 建立拉格朗日函数: 100ln 1ttttttttttLcyrbcbEOff ªº¬¼¦¦0ttttLccEOw  w① 11110tt ttLrbOOw   w② 5.3 稳定均衡 由①可以推出:+1+1=ttttccOOE由②可以推出:11=1tttrOO 所以+11=1tttccrE由约束条件可得: 112111=1 11tt tt t t tt t t ttcy rbb y rb c b yr     ⇒ 1211+= =1ttttcbcccyrbrrE ⇒ 2 31212 1 12+=1 +11 1 11ttttttt tttt t ttbyycccy rbrr r rrEE  ªº «»  ¬¼… ⇒ -+11+1 +1111TTTttt ttTtstscy rbb yrrWWWWWWWE    ¦¦––又因为+1+111TTtbrWW –⇒ -1 +1111TTttt ttstscy rb yrWWWWWE   ¦¦–⇒ 111111Ttttt stscyrbyrWWWE  ªº   «»¬¼¦ –5.4 经常账户 1tt tttttCA b b rb y c   111111Tttt t t ttt stsCA rb y y r b yrWWWE  ªº   «»¬¼¦ –年金价值111sttsstryyrrf §· ¨¸©¹¦,t期财富折现值: 111sttt sstWrb yrf §·  ¨¸©¹¦⇒1tttWybrr 11ttttCA y y WrE§·  ¨¸©¹6. 带有生产的小型开放经济交易模型 6.1 最优问题 100211 1 1111211max11 121ln ln0,ttttttt tt t t tt tttttddttttthcEst r d c k k k d y kyAkhrr eAANIIDJZDDHZEJIG\UHHVf   ­½ªº§·°°«»¨¸©¹®¾«»¬¼¯¿    ¦6.2 一阶条件 建立拉格朗日函数: 121011011112ttttt ttt t t t t t t tthcLE d Akh k rd ck k kJZDDZ IEOGJf   ­½§·°°¨¸ªº©¹  ®¾«»¬¼¯¿¦ 2111 1 111 02ttttt t tt tt t ttLdAkh k rd ck k kDDIEGO  wªº    «»w¬¼① 0t tttthLccJZEOZªº§·w«»  ¨¸w©¹¬¼② 110t ttt ttthLch AkhhJZZDDEDOZ­½§·w°°   ®¾¨¸w©¹¯¿③ 1110tttt t ttLErdEO E Owªº   ¬¼w④ 11111 2110ttttttt tttLkk E Akh kkkDDEO I E O D G Iwªº   ªº¬¼¬¼w⑤ 6.3 稳定均衡 均衡时:1ttkk k ,1ttyy y ,1tthh h ,1ttOO O ,1ttAA A ,d、r外生给定。6.3.1 利用②tLcww、③tLhww、⑤1tLkww推出h、k 由⑤可以推出: 111-1-11hkADDEGDEªº *«»¬¼由②、③可以推出: 11111-11hhA AkDZ DZDDD ªºªº§·   *«»¨¸ « »©¹ ¬¼¬¼所以, 11111- 1- 1-1kh ADZDDDDªº *  * *«»¬¼6.3.2 利用11ln lntttAAUH 推出A ln lnAAU ⇒ 1A 6.3.3 利用①tLOww推出c 2111 1 111 02tttt t tt tt t tdAkh k rd ck k kDDIG    ⇒1cAkh rd kDDG  6.4 Log线性化 6.4.1 11ttttkhAhDZD§· ¨¸©¹ 111ˆ ˆˆˆ ˆˆ111111ˆ ˆˆ1tttt tttttthAkh Aktt tkhAhkhe Ae keh e Ak ehA kDZZD DZD DZD DZDDDDDZD D §· ¨¸©¹    6.4.2 ttthcJZOZ§· ¨¸©¹ 1ˆˆˆ 11ˆˆ1ttttttchhchh hcccchhhh he c c ce c c h he hhh hccccJZJJ JZZ ZZJJ JZZ ZO ZJJ JZZ ZOZOJ JOJOO J J   §· ¨¸©¹§·§· §·      ¨¸¨¸ ¨¸©¹©¹ ©¹§·§· §·      ¨¸¨¸ ¨¸©¹©¹ ©¹§·§· §·     ¨¸¨¸ ¨¸©¹©¹ ©¹ 11111111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆttt tttth hhhhc cc c h hhhh hcccchhcc h h cZJJZZZJZZ ZZZZOO J JOO J JOJZ  §· §·    ¨¸ ¨¸©¹ ©¹ªº§·§· §·     «»¨¸¨¸ ¨¸©¹©¹ ©¹¬¼§·   ¨¸©¹6.4.3 11tttrEOE O  ^ ` 11ˆ ˆˆ11111ˆ ˆˆ1111ˆ ˆˆ ˆ111 1ˆ ˆˆ 1ttttrttttttttttttrEe re E errErrE rrrr E rOOOE OOE OOE OOE OOE O     ªº¬¼    ªº¬¼ªº  ¬¼6.4.4 11111 210ttttttt ttkk E yk kkEO I E O D G Iªº  
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