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《离散数学》第3章 集合.ppt

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《离散数学》第3章 集合.ppt
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集合论简介,内容:,集合,元素,子集,幂集等。,重点:,(1) 掌握集合的概念及两种表示法,,(3) 掌握子集及两集合相等的概念,,(4) 掌握幂集的概念及求法。,第三章 集合,第一节 集合的基本概念,一、集合的概念。,1、集合——一些确定的对象的整体。,集合用大写的字母标记,其中的对象称元素,用小写字母标记,注意:,(2) 集合中的元素均不相同,表示同一个集合。,例如:,2、集合的表示法。,(1) 列举法(将元素一一列出),例如:,(2) 描述法(用谓词概括元素的属性),例如:,一般,用描述法表示集合,3、常见的一些集合。,4、集合间的关系。,5、特殊的集合。,空集,例1、选择适当的谓词表示下列集合。,(1) 小于5的非负整数集,(2) 奇整数集合,(3) 10的整倍数集合,,(4),例2、确定下面命题的真值:,(1),真值,真值,(2),(3),真值,(4),真值,(5),真值,(6),真值,(7),真值,(8),真值,二、幂集。,解:,例5、求以下集合的幂集。,(1),解:,(2),解:,(3),解:,(4),解:,(5),解:,内容:,集合的运算,文氏图,运算律。,重点:,(1) 掌握集合的运算,(3) 掌握基本运算律的内容及运用。,第二节 集合的运算,一、集合的运算。,以上定义加以推广,,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),1、文氏图。,(2) 矩形内的圆表示集合,,(4) 圆中的阴影的区域表示新组成的集合。,2、用文氏图表示集合的有关运算。,例2、用文氏图表示下列集合。,(1),(2),(3),(4),例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。,(1),解:,(2),解:,三 包含排斥定理,设 和 是两个有限集合,则 ,,其中 分别表示 、的元数.,,把包含排斥定理推广到 个集合的情况可用如下定理表述:,设 为有限集合,其元数分别为 ,则,例4,求从1到500之间能被2,3,7任何一个数整除的整数的个数.,例5 有100名程序员,其中47名熟悉FORTRAN语言,35名熟悉PASCAL语言,23名熟悉这两种语言.问有多少人对这两种语言都不熟悉?,第三节 集合的运算性质,9、德摩根律:,10、双重否定律:,以上恒等式的证明思路:,故,除基本运算外,还有以下一些常用性质 (证明略),16、,17、,18、,19、,20、,故,证明:,例7、化简,所以原式化简为,又因为,又,真命题,假命题,真命题,一、笛卡儿积。,第四节 序偶与笛卡儿积,2、有序 元组,是一个有序对,其中第一个元素是一个有序元组,一个有序 元组记作,,,即,2、笛卡儿积。,解:,当且仅当,解:,(2) 笛卡儿积是集合,有关集合的运算都适合。,例3 设,试求:,(1) ;,(2) ;,(3) 。,解:,(1),,(2),},(3),笛卡儿积运算具有以下性质:,1.若 中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,即,2.当 且 都不是空集时,有,3.当 都不是空集时,有,4.笛卡儿积运算对 或 运算满足分配律,即,,,(1),(2),(3),(4),例4、证明:,一、集合的基本概念。,1、基本概念。,2、应用。,(1) 用集合的两种表示法表示集合。,(2) 求给定集合的幂集。,第三章 小结与例题,二、集合的基本运算与性质。,1、基本概念。,2、应用。,(1) 用文氏图表示集合间的相互关系和运算。,(2) 运用基本运算律进行证明,化简等。,三,序偶与笛卡儿积,表示计算机科学系学生的集合,,表示二年级大学生的集合,,表示数学系学生的集合,,表示选修离散数学的学生的集合,,表示爱好文学的学生的集合,,表示爱好体育运动的学生的集合,,用集合交集,并集和包含关系表示:,(1) 所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学,,解:,(2) 数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动,,解:,(3) 数学系一年级的学生都没有选修离散数学,,解:,(4) 只有一、二年级的学生才爱好体育运动,,解:,解:,(1),解:,解:,(4) 若,解:,(1),解:结论不一定成立。,(2),解:结论不一定成立。,(3),解:结论成立。,(1),,有,证明:设,例6、设 为任意集合,证明:,(2),证明:设,,有,例7、求下列集合的基数和每个集合的幂集。,(1),解:基数2,,幂集为:,(2),解:基数3,,幂集为:,(1) {2,4,6,8},解:,(2) {3,6,9},解:,(3) {10},解:,解:,解:,(1) 所有奇数的集合;,解:,(2),解:,(3),解:,(4),解:,
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