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概率论与数理统计(复旦大学出版社)第2章习题详解.doc

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概率论与数理统计(复旦大学出版社)第2章习题详解.doc
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1习题二1.一袋中有 5 只乒乓球,编号为 1,2,3,4,5,在其中同时取 3 只,以 X 表示取出的 3只球中的最大号码,写出随机变量 X 的分布律.【解】 352435,1()0.C.()0.6XPX故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品,在其中取 3 次,每次任取 1 只,作不放回抽样,以 X 表示取出的次品个数,求:(1) X 的分布律;(2) X 的分布函数并作图;(3).133{},},{1},{12}222PXPX【解】 315231350,.C()().CPX故 X 的分布律为X 0 1 2P 235235135(2) 当 xa 时,F (x )=1即分布函数80,0()1,xFxaa18.设随机变量 X 在[2,5] 上服从均匀分布 .现对 X 进行 3 次独立观测,求至少有 2 次的观测值大于 3 的概率.【解】X~U[2,5] ,即 1,25()30xfx其 他53()dPX故所求概率为 233120C()()7p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务,若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次,以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出 Y 的分布律,并求 P{Y≥1}.【解】依题意知 ,即其密度函数为1~()5XE51e,0()xf该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律为2~(5e)Yb225525()C(e),1,3410(e)0.67kkYP20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间 X服从 N(40,10 2) ;第二条路程较长,但阻塞少,所需时间 X 服从 N(50,4 2).(1) 若动身时离火车开车只有 1 小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2) 又若离火车开车时间只有 45 分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】 (1) 若走第一条路,X~N (40,10 2) ,则406(6) (2)0.971xPX9若走第二条路,X~N(50,4 2) ,则++506(60) (2.5)09384XP故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若 X~N(40,10 2) ,则 05(45) (0.5)6911X若 X~N(50,4 2) ,则 4() (.2)XP1(.25)0.16故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 X~N(3,2 2) ,(1) 求 P{20;xae(2) f(x)= .,0,212他b试确定常数 a,b,并求其分布函数 F(x).【解】 (1) 由 知()dfx| 02ed2edxaa故 即密度函数为 e,2()0xf当 x≤0 时 1()()de2xxxFf当 x0 时 00dx121e2x故其分布函数 1e,02(),xFx(2) 由 12011()ddbfbx得 b=1即 X 的密度函数为 2,01(),fxx其 他当 x≤0 时 F( x)=0当 00 时, (e)(ln)xyPXyln)dyXf故 2/ln(11()(ln)e,0πyYYxFffy(2) 2(1PX当 y≤1 时 ())0YFPy当 y1 时 2(1)Xy2 12yyP(1)/2dyXfx故 d11()()42YY XyyfyFffy(1)/412e,π(3) (0)PY当 y≤0 时 ()0YFPy当 y0 时 )|()XXy15()dyXfx故 d()()YYXfyFffy2/e,0πy31.设随机变量 X~U(0,1) ,试求:(1) Y=eX 的分布函数及密度函数;(2) Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解】 (1) (01)P故 eX当 时y())0YFy当 10 时, )(2ln)Xz/2(lnezP/21/2edzzx16即分布函数 -/20,()1eZzF故 Z 的密度函数为 /2,0()zZf32.设随机变量 X 的密度函数为f(x)= 2,0π,.x其
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