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2.1角平分线模型.ppt

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2.1角平分线模型.ppt
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角平分线模型,五种不同的类型:,1、类型一:角平分线+平行型。,2、类型二:角平分线+等腰型。,3、类型三:角平分线+对称型。,4、类型四:角平分线+垂直型。,5、类型五:角平分线+互补型。,1、类型一:角平分线+平行型。,已知:如图,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC和AB的平行线,交AB于点E,交AC于点F。求证:四边形AEDF是菱形。,,,,,1,2,,,3,角平分线 + 平行,,等腰三角形,已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分外角∠EAC。求证:AD//BC。,2、类型二:角平分线+等腰型。,,,,,角平分线 + 等腰,,平行,1,已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB,∠A+∠C=180°, BD平分∠ABC。求证:AD=DC。,3、类型三:角平分线+对称型。,,,,,,,,E,F,,,,已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB,∠A+∠C=180°, BD平分∠ABC。求证:AD=DC。,3、类型三:角平分线+对称型。,,,E,,,,角平分线+对称,,折叠、全等,,,1,2,如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC于D。 求证:点D是BC的中点。,4、类型四:角平分线+垂直型。,角平分线+垂直,,等腰三角形,,,,,,,,(1)模型一: 如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?,5、类型五:角平分线+互补型。,,,1,2,,∠1+ ∠2=900,和为1800,(2)模型二: 已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E、F、G、H。 求证:四边形EFGH是矩形。,5、类型五:角平分线+互补型。,,,,,角平分线+互补,,直 角,1、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,连接AE 求证:AE=EC,,,F,,,二、实际综合运用:,思路一:观察角平分线模型的类型,,角平分线+垂直型,,延长两边→构造等腰三角形,,FE=EC,,观察AE、EC所在的新结构,,AE正好是直角三角形斜边上的中线,,1、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,连接AE 求证:AE=EC,,F,二、实际综合运用:,思路二:仅有角平分线,添加平行,,等腰BF=EF,,∠2 = ∠3,,观察∠2、 ∠3分别所在的结构,,余角为∠4,,EF=FC,G,,,,余角为∠5,,=,,,G为AC中点,得垂直,只需证G为AC中点,1、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,连接AE 求证:AE=EC,,F,二、实际综合运用:,思路三:仅有角平分线,添加等腰,,取BC中点F,则BF=EF,,AB//EF,,G为AC中点,且EF ⊥AC,G,,,,,1、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,连接AE 求证:AE=EC,,F,二、实际综合运用:,思路四:观察两个直角三角形有公共斜边,,取BC中点F,连接AF、EF,,BF=AF=EF=FC,,要证AE=EC,,,,找AE、EC所在的结构△AEF、 △CEF,,AF=FC,,EF=EF,,∠AFE= ∠CFE,,,,,,,1、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,连接AE 求证:AE=EC,F,二、实际综合运用:,思路五:观察两个直角三角形有公共斜边,,A、B、C、E四点共圆,,要证AE=EC,,,只需证明弧AE=弧EC,,只要∠1= ∠2,2、已知:如图,ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,过点P作AD的平行线,交AB于点Q。 (1)求证:AP⊥PB;,,,,二、实际综合运用:,类型五,角平分线+互补,,直 角,,,,,,,,,,2、已知:如图,ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,过点P作AD的平行线,交AB于点Q。 (1)求证:AP⊥PB; (2)如果AD=5cm,AP=8cm,那么PB的长是多少?,二、实际综合运用:,,,角平分线 + 平行,,等腰三角形,类型一,3、已知:如图,在直角梯形ABCD中,∠D=900,AE平分∠BAD,交DC于点E,BE平分∠ABC,交DC于点E。 (1)求证:DE=EC。 (2)求证:AB=AD+BC,,,,,,,,F,二、实际综合运用:,思路一:由“角平分线+对称型”作垂直,,DE=FE,,FE=EC,,DE=EC,,AD+BC=AB,AD=AF,BC=BF,,,BC=BF,3、已知:如图,在直角梯形ABCD中,∠D=900,AE平分∠BAD,
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