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音乐背后的数学张慧芳(教育部北师大课程中心数学工作室)数学家莱布尼兹(Leibniz , 1646-1716)说:“音乐是一种隐藏的算术练习,透过潜意识的心灵跟数目在打交道。 ” 近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky,1882-1971)说:“音乐的形式较近于数学而不是文学,音乐确实很像数学思想与数学关系。 ”他特意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。音乐为何悦耳、调和、美呢?可否说出一些道理?田野中昆虫啁啾的鸣叫,枝头鸟儿清脆的叫声, 《牧笛》优美动听的旋律,贝多芬令人振奋的交响曲……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系?人们对数学与音乐之间联系的研究和认识,可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循,并且努力去追寻出音律,这在历史上最早且最著名的当推毕达哥拉斯学派(约公元前 5-6 世纪) 。而中国古代的 “三分损益法” 就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。一 音律背后的比例和分数乘法音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律,即定出音阶:的频率比?这是音乐的根本问题。1.毕达哥拉斯琴弦律毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口,被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引(笔者在家乡小城镇曾见识过打铁店,现在已不多见了) 。他感到很惊奇,于是走入店中观察研究,参见图 1。他发现有四个铁锤的重量比恰为 12:9:8:6,将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音,分别是:12:6=2:1 的一组,12:8=9:6=3:2 的一组,12:9=8:6=4:3 的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证,参见图 2。对于固定张力的弦,利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度,一面弹,一面听。毕达哥拉斯经过反复的试验,终于初步发现了音乐的奥秘,归结出毕达哥拉斯的琴弦律:(1) 当两个音的弦长成为简单整数比时,同时或连续弹奏,所发出的声音是和谐悦耳的;(2) 两音弦长之比为 4:3,3:2 及 2:1 时,是和谐的,并且音程分别为四度、五度及八度。也就是说,如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是 2 : 1, 同时或连续弹奏,就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是 3 : 2 时, 就会发出另一种谐音,短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。物理学家伽利略(1564-1642) 发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此,我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是:两音的频率比为 1:2,2:3 及 3:4 时,分别相差八度、五度及四度音。例如,频率为 200 与 300 的两音恰好相差五度音。图 1图 2 单弦琴毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例,形成令人喜悦的和谐音乐,这就是一种特别的数学表现。不仅如此,和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比,它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。开普勒(1571-1630)从音乐长久为人所尊敬的神奇比例中,发现天上行星运行的规则:从太阳的位置观察,土星在近日点时,是以每天 135 秒速度移动一个弧度距离,在远日点则只需 106 秒,这两个数字之比约为 5:4,恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比例;而木星会产生一个小三度音程;火星则是完全五度音程。这样,每个星球似乎都会产生一个音乐上的比例数字。博伊西斯(475-524)则将和谐分为三个等级:最初级的是乐器的音乐,包括歌唱及乐器演奏出来的音乐;其次是人类的音乐,讲究身体与灵魂的调和、平衡与恰当的比例;最完美的调和是世界的音乐,包括行星的井然有序之运行、元素的适当比例混合、四季的循环以及大自然、宇宙的和谐。2、 “三分损益法”定音阶定音阶的频率比就是要在 1 与 2 之间插入六个简单整数比:,并使其中含有四度音 及五度音 。18765432 rrr 342毕达哥拉斯通过单弦琴的实验,调整弦的长度成特定整数比,就能够产生全部的音阶,即毕达哥拉斯音律的频率比如下:事实上,毕达哥拉斯音律可以采用“三分损益法” (又叫 “管子法” ) 。公元前 4 世纪,管子一书的地圆篇记载有此法。所谓“三分损益法”就是交互使用了“三分损一法” (即去掉三分之一的长)以及“三分益一法” (即将所剩在增加三分之一的长) 。即为:由一个音出发,其频率为 1, “三分损一法”就是 1 乘以 (长度之比 的倒数) , “三分益一法”就是将 乘233223以 ,如此交互相生,得到43由小排到大就得到所谓的“五声音阶”再补上及第四音 就得到毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶) :34二 乐谱上的分数在乐谱中, 我们可以找到拍号、 单纯音符、附点音符等,莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如 , 或 等, 这些分数是用来表示不同拍子的符号,即拍号。4386其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目,分母表示以几分音符为一拍。如 ,4/4 表示以四分音符 为一拍,每小节 4 拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如和就符合由拍号 4/4 和 3/4 分别所确定的拍数。因为1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;而和不符合由拍号 4/4 和 3/4 分别所确定的拍数,因为1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。 (刘卫锋、王尚志,2005:20)关于识读乐谱, 《义务教育音乐课程标准》 (实验稿)中 3-6 年级的教学目标提出:“结合所学歌曲认识音名、音符、休止符及一些常用记号。 ”并且在教学建议中提到“乐谱是记载音乐的符号,是学习音乐的基本工具。要求学生具有一定的识谱能力,有利于进行音乐表演和创造等教学活动。 ”因此,学生学习了一定的乐谱基础知识,那么其背后的数学也是能够引导学生领略到的。事实上,随着对数学与音乐关系之认识的不断加深,以数学计算代替作曲,已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化,把音程、节奏、音色等素材都编成数码,然后按照需求发出指令,以计算器的功能进行选择,再将其结果编写成乐曲并演奏出来。除了上述数学与音律、乐谱的明显联系外, 音乐还与指数、 曲线、 周期函数以及计算机科学等相关联。如今,在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面,都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以,对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学,必然能更好地为从事音乐事业作预备。
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