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多项式的最大公因式.ppt

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多项式的最大公因式,教学目的与要求:,理解多项式的最大公因式的定义,掌握用辗转相除法求多项式的最大公因式,会求 ,使得,多项式的最大公因式,讲授方式:讲授,§2.3多项式的最大公因式,设 是一个数域, 是 上的一元多项式环,一、 最大公因式的定义及其性质,3. 最大公因式的性质,(因此,当不计常数因子 时, 与 的最大 公因式是唯一的.将 与 的首项系数为1的最大公因式记为 ),证明:,若 为 与 的最大公因式,,则有 ,于是 ,,若 ,则,故 是 与 的公因式,,是 与 的一个最大公因式,若 ,由 是最大公因式 。,为 与 的最大公因式。,且,证明: 由(2)知 ,,故等号成立,证明:若 ,则由①知 ,,故 是 , 的一个公因式,,是 , 的公因式,由此可得,若 有一个最大公因式 ,,则 也是 的一个最大公因式,二、最大公因式的存在性,证明:分三步讨论:,① 假设 ,显然,若 中有一个为0,比如 ,则 ,且,③ 最后假设 ,由带余除法可得,(1),(2),(3),如此继续下去,由于所得余式的次数不断降低,所以经 过有限次后,必有余式为零,可设为,照此继续代入下去.就可以得到所要求的式子:,由性质(1)及(4)知 是 与的一个最大公因式.,又由上面(1)式,有,代入(2)式有,但是下面命题是正确的。,例:,显然 不是 与 的最大公因式,解:利用辗转相除法,有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,用等式写出来,就是,而由,得,选取,三 、多项式互素,注:零多项式与任何多项式都不互素。,3. 性质,即,②,证明:(法一)由 ,有 (1),且,由①知: 即 ,代入(1)有,(法二)由 ,则有,,,结论成立,③,证明:,再由 ,故 ,由 的任意性,,知 为非零常数。,证明:设 是 的最大公因式,,则,由,而,为非零常数,知: ,又,4.最大公因式和互素的推广,易知,如果 的最大公因式存在,,并且 ,使,注:互素不一定两两互素,作业:3、5、6、8、10,
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