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2016年江苏省高考数学热身卷(解析版).doc

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2016年江苏省高考数学热身卷 一、填空题:本题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设集合A={x|>1},B={x|y=},则A∩(∁RB)等于      .2.若复数(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为      .3.已知平面向量的夹角为60,=(2,0),||=1,则|﹣2|的值为      .4.已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为      .5.如图是一个算法的伪代码,其运行的结果S 为      6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是      .7.已知双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于2,则该双曲线的方程为      .8.已知数列{an} 满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a1a2a3…a2010 的值为      .9.已知函数(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m=      .10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且=4,则△ABC的面积等于      .11.已知函数f(x)及g(x)(x∈D),若对于任意的x∈D,存在x0,使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)恒成立且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知函数f(x)=x2+px+q(p,q∈R),g(x)=是定义在区间[,2]上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间[,2]上的最大值为      .12.已知定义在(﹣∞,+∞) 上的函数f(x)=,则方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是      .13.在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=﹣x+2的距离之和为,则a2+b2的最大值为      .14.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最大值时,的最大值为      . 三、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.(I)求y=f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c•cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状.16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥底面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.17.某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90,经测量得到AE=10m,EF=20m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m)(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.18.已知A(x0,0),B(0,y0)两点分别在x轴和y轴上运动,且|AB|=1,若动点P(x,y)满足.(I)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;(Ⅱ)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程;(Ⅲ)直线l2:x=ty+1与曲线C交于A、B两点,E(1,0),试问:当t变化时,是否存在一直线l2,使△ABE的面积为?若存在,求出直线l2的方程;若不存在,说明理由.19.已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).(Ⅰ)当数列{an}是常数列(各项都相等的数列),且b1=时,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列,求证:数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定;(Ⅲ)设an+1=,Sn=,求证:2<<6.20.已知函数f(x)=lnx﹣x﹣,a∈R.(1)当a=0时,求函数f(x)的极大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a>1时,设函数g(x)=|f(x﹣1)+x﹣1+|,若实数b满足:b>a且g()=g(a),g(b)=2g(),求证:4<b<5. 附加题21.选修4﹣2:矩阵与变换已知曲线C:y2=2x,在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程.22.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=,曲线C的参数方程为.(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点,若|MA|•|MB|=,求点M轨迹的直角坐标方程.23.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要经过相互独立的工序检查,且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产品才完全合格,.经长期监测发现,该仪器第一道工序检查合格的概率为,第二道工序检查合格的概率为,已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.(I)求本月恰有两台仪器完全合格的概率;(Ⅱ)若生产一台仪器合格可盈利5万元,不合格则要亏损1万元,记该厂每月的赢利额为ξ,求ξ的分布列和每月的盈利期望.24.如图,已知定点R(0,﹣3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使,且.(1)求动点M的轨迹C1;(2)圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:为定值. 2016年江苏省高考数学热身卷参考答案与试题解析 一、填空题:本题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设集合A={x|>1},B={x|y=},则A∩(∁RB)等于 (0,1) .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】由题意,可先解分式不等式和指数不等式,化简集合A,B,再求出B的补集,再由交的运算规则解出A∩(∁RB)即可得出正确选项.【解答】解:由>1即为﹣1>0,即>0,即为x(x﹣1)<0,解得0<x<1,∴A=(0,1),由2x﹣16≥0,即2x≥16=24,解得x≥4,∴B=[4,+∞),∴∁RB=(﹣∞,4),∴A∩(∁RB)=(0,1) 故答案为:(0,1) 2.若复数(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为 3 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值.【解答】解:∵===是纯虚数,∴,解得:a=3.故答案为:3. 3.已知平面向量的夹角为60,=(2,0),||=1,则|﹣2|的值为 2 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出.【解答】解:∵平面向量的夹角为60,=(2,0),||=1,∴|﹣2|===2.故答案为:2. 4.已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 \frac{7}{10} .【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】求出从6瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数,取出的2瓶不是果汁类饮料的种数,利用对立事件的概率可求得所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率.【解答】解:从5瓶饮料中随机抽出2瓶,所有的抽法种数为=10(种),取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=3(种).所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1﹣=.故答案为:. 5.如图是一个算法的伪代码,其运行的结果S 为 25 【考点】伪代码.【分析】根据题意,可知该循环变量的初值为3,终值为9,步长为2,代入模拟程序的运行过程,即可得出答案.【解答】解:由于循环变量的初值为3,终值为9,步长为2所以该程序运行后输出的是算式S=1+3+5+7+9=25.故答案为:25. 6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是 ①③ .【考点】平面的基本性质及推论.【分析】直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,当α∥β有l⊥m,当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,当l∥m有α⊥β,当l⊥m有α∥β或α∩β,得到结论【解答】解:直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,当α∥β有l⊥m,故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,故②不正确当l∥m有α⊥β,故③正确,当l⊥m有α∥β或α∩β,故④不正确,综上可知①③正确,故答案为:①③ 7.已知双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于2,则该双曲线的方程为 x2﹣\frac{y^2}{3}=1 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】先求出抛物线的焦点坐标,求出a=1,结合离心率求出,c,b的值即可得到结论.【解答】解:抛物线线y2=﹣4x 的焦点坐标为(﹣1,0),∵双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合,∴a=1,∵双曲线的离心率等于2,∴=2,则c=2,b2=c2﹣a2=4﹣1=3,则双曲线的方程为:x2﹣=1,故答案为:x2﹣=1 8.已知数列{an} 满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a1a2a3…a2010 的值为 ﹣6 .【考点】数列递推式.【分析】根据递推公式依次求出a2、a3、a4、a5,归纳出规律求出数列的周期,根据数列的周期性求出式子的值.【解答】解:∵a1=2,an+1=(n∈N*),∴a2==﹣3,同理可求a3=,a4=,a5=2…,∴数列{an}的周期为4,且a1a2a3a4=1,∴a1a2a3a4…a2009a2010=a1a2=2(﹣3)=﹣6,故答案为:﹣6. 9.已知函数(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】先把函数变形为,令,可判断函数g(x)的奇偶性,据此找到g(x)的最大值与最小值之间的关系,在有f(x)=1+g(x),求出f(x)的最大值与最小值之和.【解答】解:函数可变形为令,则=﹣g(x),∴g(x)为奇函数.设当x=a时g(x)有最大值g(a),则当x=﹣a时,g(x)有最小值g(﹣a)=﹣g(a)∵f(x)=1+g(x),∴当x=a时f(x)有最大值g(a)+1,则当x=﹣a时,f(x)有最小值﹣g(a)+1即M=g(a)+1,m=﹣g(a)+1,∴M+m=2故答案为2 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且=4,则△ABC的面积等于 2\sqrt{3} .【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理.【分析】利用已知表达式,通过余弦定理求出cosA,求出sinA,通过向量的数量积求出bc的值,然后求出三角形的面积.【解答】解:因为b2+c2=a2+bc,所以cosA==,∴sinA=.因为,所以,bccosA=4,∴bc=8,△ABC的面积:S===2.故答案为:2. 11.已知函数f(x)及g(x)(x∈D),若对于任意的x∈D,存在x0,使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)恒成立且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知函数f(x)=x2+px+q(p,q∈R),g(x)=是定义在区间[,2]上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间[,2]上的最大值为 2 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】化简g(x)=x+﹣1,从而由基本不等式可判断g(x)在x=1处取得最小值1;从而可知f(x)在x=1处取得最小值1,再由二次函数的顶点式写出f(x)=(x﹣1)2+1,从而求函数的最大值.【解答】解:∵g(x)==x+﹣1≥2﹣1=1;(当且仅当x=,即x=1时,等号成立)∴g(x)在x=1处取得最小值1;又∵f(x)与g(x)是定义在区间[,2]上的“兄弟函数”,∴f(x)在x=1处取得最小值1;∴f(x)=x2+px+q=(x﹣1)2+1;又∵|﹣1|<|2﹣1|,∴fmax(x)=f(2)=1+1=2;故答案为:2. 12.已知定义在(﹣∞,+∞) 上的函数f(x)=,则方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是 6 .【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】在同一坐标系中作出y=f(x),及y=log4|x|﹣1的图象,根据图象交点的个数,即可得出结论.【解答】解:在同一坐标系中作出y=f(x),及y=log4|x|﹣1的图象,如图所示,方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是6故答案为:6. 13.在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=﹣x+2的距离之和为,则a2+b2的最大值为 18 .【考点】点到直线的距离公式.【分析】利用点到直线的距离公式可得:|a﹣b|+|a+b﹣2|=4.通过分类讨论可知:点(a,b)是如图所示的正方形的4条边.即可得到最大值.【解答】解:∵动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=﹣x+2的距离之和为,∴,化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4.分为以下4种情况:或或或.可知点(a,b)是如图所示的正方形的4条边.可知:当取点A时,取得最大值=.∴a2+b2的最大值为18.故答案为:18. 14.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最大值时,的最大值为 3 .【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入,利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件,用x,z表示y后利用配方法求得的最大值.【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z为正实数,∴=+﹣3≥2﹣3=1(当且仅当x=2y时取“=”),即x=2y(y>0),取得最大值1.z=x2﹣3xy+4y2=2y2,∴=﹣++2=﹣(﹣1)2+3∴y=1时,的最大值为3.故答案为:3. 三、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.(I)求y=f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c•cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状.【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.【分析】﹙Ⅰ﹚由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2ωx﹣),由题意可得周期T=π,可得ω=1,进而可得f(x)=sin(2x﹣),根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间;(Ⅱ)由由正弦定理以及角的和差公式,求出,即C=,根据正弦函数的性质,求出,即△ABC为等边三角形.【解答】解:(Ⅰ)∵,=,∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为,∴T=π,∴,∴ω=1,∴.∵得:,∴函数f(x)单调增区间为;(Ⅱ)∵(2b﹣a)cosC=c•cosA,由正弦定理,得(2sinB﹣sinA)cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB,∴sinB(2cosC﹣1)=0,∴,∵0<C<π,∴,∴,∴.∴,根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值ymax=1,此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形. 16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥底面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.【分析】(1)由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC,由此利用线面垂直的性质能证明BD⊥OE.(2)由已知得=2,由AB∥CD,AC与BD交于点O,得,从而利用平行线分线段成比例定理得OE∥PC,由此能证明EO∥平面PBC.【解答】(1)证明:在四棱锥P﹣ABCD中,∵AC⊥BD,且平面PAC⊥底面ABCD,BD∩AC=O,∴BD⊥平面PAC,∵OE⊂平面PAC,∴BD⊥OE.(2)证明:∵AB=2CD,AE=2EP,∴=2,∵AB∥CD,AC与BD交于点O,∴△AOB∽△COD,∴,∴,∴OE∥PC,∵EO⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,∴EO∥平面PBC. 17.某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90,经测量得到AE=10m,EF=20m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m)(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)作GH⊥EF,垂足为H,过M作MT∥BC交CD于T,求出,可得SMBCDW=SMBCT+SMTDN=,从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值.【解答】解:(1)作GH⊥EF,垂足为H,因为DN=x,所以NH=40﹣x,NA=60﹣x,因为,所以,所以…过M作MT∥BC交CD于T,则SMBCDW=SMBCT+SMTDN=,所以=…由于N与F重合时,AM=AF=30适合条件,故x∈(0,30],…(2),…所以当且仅当,即x=20∈(0,30]时,y取得最大值2000,…所以当DN=20m时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为2000m2.… 18.已知A(x0,0),B(0,y0)两点分别在x轴和y轴上运动,且|AB|=1,若动点P(x,y)满足.(I)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;(Ⅱ)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程;(Ⅲ)直线l2:x=ty+1与曲线C交于A、B两点,E(1,0),试问:当t变化时,是否存在一直线l2,使△ABE的面积为?若存在,求出直线l2的方程;若不存在,说明理由.【考点】平面向量数量积的运算;轨迹方程.【分析】(Ⅰ)根据向量的坐标运算,以及|AB|=1,得到椭圆的标准方程为.(Ⅱ)直线l1斜率必存在,且纵截距为2,根据直线与椭圆的位置关系,即可求出k的值,问题得以解决.(Ⅲ)根据直线和椭圆额位置关系,以及三角形的面积公式得到S△ABE=,令==2,则不成立,问题得以解决.【解答】解:(Ⅰ) 因为,即,所以,所以又因为|AB|=1,所以,即:,即,所以椭圆的标准方程为.(Ⅱ) 直线l1斜率必存在,且纵截距为2,设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程,得:(3+4k2)x2+16kx+4=0,由△>0,得(*),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 (1)以PQ直径的圆恰过原点,所以OP⊥OQ,,即x1x2+y1y2=0,也即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,将(1)式代入,得﹣+4=0,即4(1+k2)﹣32k2+4(3+4k2)=0,解得,满足(*)式,所以.所以直线方程为y=x+2(Ⅲ)由方程组,得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以,因为直线l:x=ty+1过点F(1,0),所以S△ABE=|EF|•|y1﹣y2|=2=令==2,则不成立故不存在直线l满足题意. 19.已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).(Ⅰ)当数列{an}是常数列(各项都相等的数列),且b1=时,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列,求证:数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定;(Ⅲ)设an+1=,Sn=,求证:2<<6.【考点】数列与不等式的综合;数列递推式.【分析】(I)设an=a>0,利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*),可得bn+1+bn=2n,(n∈N*),于是当n≥2时,bn+bn﹣1=2(n﹣1).于是bn+1﹣bn﹣1=2.可知:数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列,利用等差数列的通项公式即可得出;(II)设{an}、{bn}公差分别为d1、d2,可得其通项公式,代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).可得[a1+(n﹣1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1)d2]=2n(a1+nd1),对于任意n恒成立,可得,解出即可;(III)利用,可得an+1﹣an=﹣an=,于是an<an+1.利用anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得2n<bn+1+bn.又anbn+1=(2n﹣bn)•an+1>0,an+1>0,可得2n﹣bn>0.可得,进而得出.【解答】(I)解:设an=a>0,∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*),∴bn+1+bn=2n,(n∈N*),于是当n≥2时,bn+bn﹣1=2(n﹣1).∴bn+1﹣bn﹣1=2.∴可知:数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列,又,b1+b2=2,可得.∴=, =,即(n∈N*).(2)证明:设{an}、{bn}公差分别为d1、d2,则an=a1+(n﹣1)d,bn=b1+(n﹣1)d2,代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).可得[a1+(n﹣1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1)d2]=2n(a1+nd1),对于任意n恒成立,可得,解得,可得an=na1,bn=n.∴只有取a1>0可得数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定;(3)证明:∵,∴an+1﹣an=﹣an=,∴an<an+1.∴anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得2n<bn+1+bn.因此=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n﹣1+b2n)>2[1+3+…+(2n﹣1)]=2n2.又anbn+1=(2n﹣bn)•an+1>0,an+1>0,∴2n﹣bn>0.∴=2n(1+2n)=4n2+2n,∴,∴. 20.已知函数f(x)=lnx﹣x﹣,a∈R.(1)当a=0时,求函数f(x)的极大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a>1时,设函数g(x)=|f(x﹣1)+x﹣1+|,若实数b满足:b>a且g()=g(a),g(b)=2g(),求证:4<b<5.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求导数,利用极值的定义,可得函数f(x)的极大值;(2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;(3)先证明(a﹣1)(b﹣1)=1,进而可得b﹣1=.令b﹣1=t(t>1),整理,得t3﹣3t2﹣t﹣1=0.记h(t)=t3﹣3t2﹣t﹣1,h(t)在(1,1+)单调减,在(1+,+∞)单调增,又因为h(3)<0,h(4)>0,即可得出结论.【解答】解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).(1)当a=0时,f(x)=lnx﹣x,f′(x)=﹣1,令f′(x)=0得x=1. …列表:x(0,1)1(0,+∞)f′(x)+0﹣f(x)↗极大值↘所以f(x)的极大值为f(1)=﹣1. …(2)f′(x)=.令f′(x)=0得﹣x2+x+a=0,记△=1+4a.(ⅰ)当a<﹣时,f′(x)<0,所以f(x)单调减区间为(0,+∞); …(ⅱ)当a=﹣时,导数为零的根是,函数在(0,+∞)单调减(iii)当a>﹣时,由f′(x)=0得x1=,x2=,①若﹣<a<0,则x1>x2>0,由f′(x)<0,得0<x<x2,x>x1;由f′(x)>0,得x2<x<x1.所以,f(x)的单调减区间为(0,),(,+∞),单调增区间为(,); …②若a=0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞);③若a>0,则x1>0>x2,由f′(x)<0,得x>x1;由f′(x)>0,得0<x<x1.f(x)的单调减区间为(,+∞),单调增区间为(0,). …(3)g(x)=|ln(x﹣1)|(x>1)由g()=g(a),得ln||=|ln(a﹣1)|.∵1<a<b,∴b﹣1=a﹣1(舍),或(a﹣1)(b﹣1)=1.∴b>2. …由g(b)=2g()得|ln(b﹣1)|=2|ln [(a﹣1)+(b﹣1)](*)因为≥=1,所以(*)式可化为ln(b﹣1)=2ln [(a﹣1)+(b﹣1)],即b﹣1=. …令b﹣1=t(t>1),整理,得t4﹣4t3+2t2+1=0.记h(t)=t4﹣4t3+2t2+1,h′(t)=4t(t2﹣3t+1),令h′(t)=0得t=(舍),t=,列表:t(1,)(,+∞)h′(t)﹣+h(t)↘↗所以,h(t)在(1,)单调减,在(,+∞)单调增,又因为h(3)<0,h(4)>0,所以3<t<4,从而4<b<5. … 附加题21.选修4﹣2:矩阵与变换已知曲线C:y2=2x,在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程.【考点】旋转变换.【分析】设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P′(x′,y′)为曲线y2=2x上与P对应的点,根据矩阵变换得出 结合P′是曲线C1上的点,求得C2的方程即可.【解答】解:NM==设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P′(x′,y′)为曲线y2=2x上与P对应的点,=,得 ∴∵P′是曲线C1上的点,∴C2的方程(﹣x)2=2y.即y= 22.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=,曲线C的参数方程为.(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点,若|MA|•|MB|=,求点M轨迹的直角坐标方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线l的普通方程,消去参数可得曲线C的直角坐标方程;(2)设点M(x0,y0)以及平行于直线l1的直线参数方程,直线l1与曲线C联立方程组,通过|MA|•|MB|=,即可求点M轨迹的直角坐标方程.通过两个交点推出轨迹方程的范围,【解答】解:(1)直线l的极坐标方程为θ=,所以直线斜率为1,直线l:y=x;曲线C的参数方程为.消去参数θ,可得曲线…(2)设点M(x0,y0)及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得: ,即:,x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得:3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧… 23.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要经过相互独立的工序检查,且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产品才完全合格,.经长期监测发现,该仪器第一道工序检查合格的概率为,第二道工序检查合格的概率为,已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.(I)求本月恰有两台仪器完全合格的概率;(Ⅱ)若生产一台仪器合格可盈利5万元,不合格则要亏损1万元,记该厂每月的赢利额为ξ,求ξ的分布列和每月的盈利期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(I)求出每生产一台合格仪器的概率,利用独立重复试验的概率公式求本月恰有两台仪器完全合格的概率;(II)根据题意得到变量的可能的取值,根据变量对应的事件,利用独立重复试验的概率公式得到概率,写出分布列,根据做出的变量的分布列,代入求期望值的公式做出期望值【解答】解:(Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为A,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为…所以…(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为3,2,1,0四种所以赢利额ξ的数额可以为15,9,3,﹣3…当ξ=15时,当ξ=9时,当ξ=3时,当ξ=﹣3时,…每月的盈利期望所以每月的盈利期望值为10.14万元… 24.如图,已知定点R(0,﹣3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使,且.(1)求动点M的轨迹C1;(2)圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:为定值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用.【分析】(1)设M的坐标,表示出P,Q的坐标,可得的坐标,利用数量积公式,可得轨迹方程,从而可得轨迹;(2)由题意, =AB•CD,AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1,CD=y2,设出直线方程代入抛物线方程,利用韦达定理,即可得到结论.【解答】(1)解:设M(x,y),则由,可得∴∵,∴∴x2=4y∴动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线;(2)证明:由题意, =AB•CD,圆C2:x2+(y﹣1)2=1的圆心即为抛物线C1的焦点F设A(x1,y1),D(x2,y2),则AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1,同理CD=y2,设直线的方程为x=k(y﹣1)代入抛物线方程可得k2y2﹣(2k2+4)y+k2=0∴=AB•CD=y1y2=1. 2016年7月15日第25页(共25页)
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