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黎曼关于几何基础中的假设原文.doc

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黎曼关于几何基础中的假设原文.doc
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黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(1)研讨的方案 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)大 家知道,几何学事先设定了空间的概念,并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念,只有叙述性的定义,重要的特性则以公设的形态出现。这些假设(诸 如空间的概念及其基本性质)彼此间的关系尚属一片空白;我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联,相关到什么地步,甚至不知是否能导出任何的相关 性。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记: 典型的数学思维方法:遇到问题,首先将问题中涉及的概念进行分类,那些概念数学给了明确、严谨的定义,那些没有。那些没有给出明确严谨的定义的概念,往往是创新突破口。黎曼可能是发现“空间”概念“只有叙述性的定义”或是“仅给出它们名称上的定义”,还没有明确严谨的数学定义。这样,在当时的几何学“空间”中的一切建构就都不可靠了。由此,黎曼就从此点入手准备大动干戈了。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)从欧几里德(Euclid)到几何学最著名的改革家雷建德(Legendre),无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于「多元延伸量」(multiply extended quantities)(包括空间量)的概念仍一无所知。因此我首先要从一般「量」(quantity) 的概念中建立「多元延伸量」的概念。我将指出,「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然 会发觉,几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出,而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1.首先明确前人“从欧几里德(Euclid)到几何学最著名的改革家雷建德(Legendre)”都没有搞清楚此问题。2. 于是黎曼抛出自己的思想方法。重点在于,黎曼的思想方法是怎样产生的:这一段张、李译的“多元延伸量”似乎比方、胥译的“多重广义尺度”好些。黎曼“多元延伸量”思想方法的产生——猜测:a). 从纯数学的“数量”的角度关心涉及“空间的大小观念”的“度量”,可发现不同维空间的“度量”仅仅是“度量”的维数不同而已(黎曼称之为“量”的“多元”)。空间中的“度量”是一个纯数学内核,在数学上给出严谨定义容易。b). 如果不考虑欧氏空间坐标轴相互呈垂直状态,而是仅仅考虑“度量”的维数(黎曼称之为“多元”),则就抽象出了“多维度量”概念。而度量的垂直仅仅是其特例。c). 再进一步抽象,空间中的每一个点的度量维数由空间的维数可知是确定的。既然每一点的维数都是确定的,则从一点连续地(或离散地)到另一点,点的维数就可以不依赖空间是否平直(欧氏空间是平直空间)。抽象出这种从一点滑向另一点(黎曼称之为“延伸”)过程中点的维数变化不依赖空间性质,就可将这一特性用于非欧空间。d). 再进一步抽象,既然每一点的维数都一样,那从一点连续地(或离散地)到另一点,就可看成是一个相同的点在“流动”,其点的形状(即维数)保持不变,即流动中形状不变。这样,就可看成是一个点、更准确地说是一个形状在流动,这样叫“流形”就更加直观、合理了。e). 上述抽象结果来源于欧氏空间,包含欧氏空间,与欧氏空间无矛盾。所以,“「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间(欧氏空间)也不过是三元延伸量的一种特例。”“而那些通常空间的不同于”上述抽象结果“所能得到的性质只能来自经验。”这些没有严谨数学定义的“性质”恰好是我们数学要摈弃的。3. 黎曼的这种思想方法是典型的从数学角度处理客观事物的方法。数学就是这样从客观事物中产生的。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)因 而有了一个问题,即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题 看,最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义,它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可,是一个假说。因此,我们能够做的 是研究这类数据关系的可靠性(在我们的观察范围内当然相当可靠)。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外,亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/) 学习笔记:1。接下来就是寻找数学表达方式了。有许多,其中用欧氏体系表达当然应该可以,但用它不是必然的,用它“仅仅具有由经验上得到的确定性。”2。黎曼头脑很清醒。虽然他认为上述抽象工作能推广到欧氏体系以外,但推广应用时绝对不是放之四海而皆准,在那些范围内能用他不好确定。但他给出了一个简单的判断和推广方法:即首先要判断可靠性。“(在我们的观察范围内当然相当可靠)。然后再考虑是否能够延伸到观察范围之外,亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。”I. n 度广义流形的概念 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)在尝试解决第一个问题── n 元延伸量概念的建立之前,我恳求大家多批评指教,因为在这种哲学性质的工作上,观念比理论建构还难,而我在这方面所受的训练甚少。过去所学,除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示,他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲学研究外,也少能派上用场。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:此文是1854年,生活清贫的黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格作的演讲,讲演时高斯就坐在旁边。可以说高斯十分看好黎曼,给了他许多帮助。但从文中可看出黎曼对高斯的工作作了恰如其分的评价,不卑不亢。我一直不明白,中国的学术界为何会流行一种通病:为讨好上司、权威,能像太监一样极尽谄媚之能事;对同事、对他人的学术成果,能像文革中的政工嘴脸一样,极尽诬蔑打击之能事,这些病毒是从哪里来传染来的?从黎曼的为人来看不像是从西方传染过来的。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选) 要了解「量」必须先有一个关于「量」的普遍观念和一些能体现它的特殊事例 (instance)。这些事例形成了所谓的流形:任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此,是连续流形,否则为离散流形。个别事例在前者中称为「点」(point),在后者称为「元素」(element)。构成离散流形的例子很多,至少在较高等的语言中一定可以找得到──只 要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了(在离散量的研究中,数学家可以毫不迟疑地假设所有的东西」都是同类的)。反过来说,连续流形的例子在日常生活中 很少,大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. 明确提出“流形”概念。并将流形分为连续和离散两种。连续流形中元素称之为“点”(point),离散流形中的元素称之为“元素”(element)。2. 从黎曼认为现实空间中离散普遍存在,而连续不多见来看,黎曼非常注意新生数学的应用性。我认为,不能应用的数学是游戏。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选) 利 用标记或圈围取出流形的某些部分,称为「量」。对「量」的定量比较工作,在离散的情形可以用数的,在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量迭 合;因此必须选出一个量,充当其它量的测量标准。否则,我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较,只能谈「较多」(more)、「较 少」(less),而不知绝对的「大小」(how much)。以这种的方式进行,形成了对 「量」研究的一个部门。其中「量」的观念独立于测距(measurement),而相依于位置;不以单位表示,而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学 许多部门而言是必要的(例如多变量解析函数的处理 ),而这种研究的缺乏,正是阿贝尔 (Abel)的著名定理及拉格朗吉(Lagrange)、发府(Phaff)和亚各比(Jacobi)等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥 的主要原因。从「延伸量」的科学的这个部门出发,不需借助任何其它的假设,我们首需强调两点,以澄清「n元延伸量」的基本性质。第一点是关于「多元延伸量」这种概念的建立,而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题 。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. 利用标记或取出流形一个范围来进行分析讨论,离散情形可以用数数,连续时——猜想:黎曼可能此时头脑中是在用极限概念,即:任意小范围。理由:只有极限概念的任意小范围才能避免空间弯曲等影响,使其满足“独立于测距(measurement),而相依于位置;不以单位表示,而是必须视为流形上的区域。”2. 此段还表达了黎曼另一思想:需要一个“标准的量”。此思想来源——猜测:我们大脑讨论人,就会想到一个脑袋和两只灵活上肢、两只行走的下肢组成的立式行走的动物;讨论狗,就会想到四肢爬行的动物。总之,我们考虑任何事物,头脑中都会有一个该事物的粗犷的标准模式。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选) 在一个概念下的事例如果构成连续流形,则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时,中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是, 从其中任一点出发,则只有两个方向可供连续移动:亦即非往前则往后。现在,我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形,以致于旧流形 上每一点都确定的走向新流形上的对应点,则仿前述,这样的例子便构成了一个二元延伸流形。以此类推,我们可以想象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形,不难看出如何继续这个建构。如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的,而非固定的概念,则这种建构可以看成是融合 n 维和一维的变动度 (variability) 而得到 n+1 维的变动度。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. "从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时,中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是,从其中任一点出发,则只有两个方向可供连续移动:亦即非往前则往后。"表示当一n维流形沿着"以确定的方式移动"时,此n维流形与其移动轨迹上所有n维流形组成了一个多了一个可以“两个方向可供连续移动”的维数。即组成了一个n+1维流形。同理,当这个n+1维流形按上述方法移动时,我们就可得到一个n+2维流形。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)反之,我现在要说明怎样 将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。考虑流形上沿一个一维向度的分解,固定其中之一,使其分解上的点得以相互比较。沿这 个向度上的每一点都给定一个值,值随着点的不同而连续变化。换句话说,我们可以在这个给定的流形上定出一个连续的位置函数,使在流形上的任一区,函数的值 绝非常数。则当此函数的值固定时,共享此值的所有原流形上的点,便形成了一个较低维的连续流形。函数值改变时,这些流形便分解而连续地从一个变为另一个; 我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换,而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到第二个子流形上的每一点。也有些例外的情形,它们 相当重要,在此略过。这样,流形上点的位置,便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。我们不难发现,原流形若是 n 维,则分解后所得到的子流形必有 n - 1 维,这个过程重复 n 次以后,一个 n 元流形上的位置关系便可化为 n 个数字;任一个流形若可依此法予以化简,则化简的结果必然是有限个数字。不过也有些较特殊的流形,其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。这流形的例子有:某一区域上的所有函数、一个实体的所有形状等等。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(3)II. 能适用于 n 元量的度量关系(假设线的长度独立于其形状,每一条线都可以拿另一条线来量度) 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选) 在建立了 n 元 流形的观念,并将其中位置决定问题转化成为数值决定问题的基本性质确立之后,我们接着要讨论第二个问题,亦即研究能适用于流形的度量关系,及决定这些关系 的条件。这些度量关系只能以抽象方式表示,而它们之间的关连只能藉公式表达。然而在某些假设之下,我们可以把它们化成能独立地以几何方式表现的关系,也因 而可以将数量运算的结果以几何表示。因此,虽然无法完全避免抽象公式化的研究,但其结果可用几何方式表出。这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名 论文中。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. n维流形可以用n个点的数组表示,其中数组中每一个点都分别归属于一个维度、且仅仅归属于它所对应的一个维度。2. 我们下面讨论流形上的度量关系和确定度量关系的充分条件。这只能通过一些抽象的尺度观点来讨论,并且还需要用一些公式。“虽然无法完全避免抽象公式化的研究,但其结果可用几何方式表出。” 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)测量,需要先让量独立于位置而存在;有很多方法可以办到这一点。这正是我在此所要提出的假说,亦即线的长度与其形状无关,每条线都能以另一条线测距。位置化简为数量,则 n 元流形中的点的位置可用 x1, x2, x3 直到 xn 等 n 个变量表示;如此,则只要 X(X=x1, x2 … xn)能表为参数 t 的函数,便能定出直线。所以我们的主题是,为线的长度定出一个数学式;为此,所有的 X 要有共同的单位。我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。首先我要规定我所讨论的线,其 dxi(xi 的微变化量)间的比值呈连续变化。如此,我们可以把线分割成许多小段的「线元素」(line element),使得「线元素」上 dx(即 dx1, dx2, dx3,...... ,dxn 间)的比为定值,我们的问题则是,如何为每一点找出一个 ds 的一般式,其中 ds 必须以 x 和 dx 表示。再则,我要假设,当「线元素」上每一点都产生相同的微量移动时,「线元素」的长度 ds 一阶不变;也就是说,如果所有的 dx 都以同一比例放大,则「线元素」亦以该比例放大。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. 黎曼思想——猜测:为了保证流形在非欧体系中的应用,n维流形的测量结果要不受所在位置的影响。这是黎曼建立流形的目的之一。2. 为了做到这一点,黎曼采用极限思想的任意小区域,即增量:“dxi(xi 的微变化量)”,用充分小的思想方法来使得流形避免空间曲直的影响。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)在这些假设之下,「线元素」可以是 dxi 的一个一次齐次函数,其中 dxi 全变号时「线元素」不变,且一次齐次式的系数都是 x 的函数。举一个最简单的例子:先找一个式子来代表与这个「线元素」的起点等距的所有点所形成的 n-1 维流形;亦即找到一个位置的连续函数,使得上述各等距 n-1 维流形代入之值都不同。则向各个方向远离起点时,函数的值必须越来越大,或越来越小。我要假设在其往各方向远离起点时,函数值越来越大,而在起点产生最小值。因此函数的一次与二次微分系数如为有限,则一次项系数须为零,而二次项系数为非负;在此假设二次项系数恒正。当 ds 固定时,这个二次微分式亦固定;当 ds 以同一比例放大时(dx 亦然),它以平方的关系放大。因此,它等于 ds2 乘以一个常数,而 ds 也因而等于一个以 x 的连续函数为系数的 dx 的正二次齐次式的方根。在物理空间中,如用直角坐标,则物理空间是我们这个「最简单的例子」中的特例。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:3. 为了保证这一点,必须保证流形函数是连续的,并且有一阶、二阶导数。欧氏空间是一个最简单的特例。4. 流形函数是非线性的。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)下一个次简单的例子应该算是以四次微分式的四次方根来表示线元的流形了。研究这种更一般的情形并不需要新的原理,然而非常费事,且对物理空间的研究帮助不多,特别是因为其结果无法以几何形式呈现。我因此只打算研究「线元素」能表为二次微分式方根的这种流形。若以 n 个新的独立变量的 n 个函数,代替原有的 n 个函数,则可将原来的式子转换成一个类似的式子。然而我们并不能这样任意地用此法把一式变成另一式,因为这样的式子有个系数是独立变量的任意函数 。引进新变量时只能满足 n 个条件,因此只能将 n 个系数的值求出。还剩下个系数,完全取决于所代表的流形,而需要 个位置函数来定出它的度量关系。因此,像平面和物理空间这样子,线元素可写成 的流形,构成了一种特殊情形,是我们正要探讨的。他们需要一个名称;因此我想把这种线元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫做「平」(flat)的流形。为了分析上述流形的主要差别,必须除去依赖于表现方式的那些特性。为了达到这一点,我们要依据一定的原理来选择变量。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:5. 如果仅仅考虑n维流形的“二次微分式方根的这种流形”,则流形函数共有n*(n+1)/2个系数。n维变量只能求出n个系数,剩下的n*(n-1)/2个系数“完全取决于所代表的流形”。欧氏空间那样的流形仅仅是流形的一个特例。即:剩下的n*(n-1)/2个系数决定着不同的流形。黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(4)方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)基于以上的目的,我们要建立一个自一原点出发的测地线或最短曲线系统。如此,任意点可经由两个条件而确定其位置:连接该点与原点的最短曲线长度,以及此线在原点的初始方向。也就是说,找出 dx0(起始点上沿最短曲线的 dx)的比值,及此线的长度 s,就可得所求点的位置了。我们现在引进一组线性表示da 来代替 dx0,使得在原点线元素的平方等于这些 dai的平方和,因此独立变量便成了 s,以及诸 da的比。最后,找 x1, x2, x3, …,xn 使其与dai成正比,且平方和等于 s2。引入这个量之后,对于微量的 x,线元素的平方会等于。但它的展式中的下一级则是一个有 项的二次齐次式: (x1dx2 - x2dx1), (x1dx3 - x3dx1), ......,形成了一个四次的微量;我们若将它除以(0,0,0......),(x1,x2,x3,......),(dx1,dx2,dx3,......)三点为顶点的三角形的平方,将得到一个有限值。此值在 x 和 dx 同属一个二元线性式时,或当由原点到 x 及由原点到 dx 这两条线属同一面元素时,是不会变的,因此视面元素的位置和方向而定。很显然,若我们的流行是「平」的,它会等于 0;此时线元素的平方可以化为 ;因而可以将该值视为在此面元素的方向上与「平」之偏差的一个指标。将它乘以-3/4,则便成了枢密顾问高斯所称的面曲率。张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. 这一段开头写的有些混沌, 看不懂, 是翻译有误? 其中,这里顶点(dx1,dx2,dx3,......)表示方法可能不确切,可能改为(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3,......)更为恰当些。2. 黎曼给出了一种求流形上每一点的曲率的方法,它反映了流形在该点的弯曲程度,是内蕴性质,也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)先前提过,需要有 n(n-1)/2个位置函数才能确定上述 n 元流形的度量关系。因此,每点若给定 n(n-1)/2个 面方向的曲率,便可以定出流形的度量关系;但有个条件:这些曲率值之间不能有恒等式的关系,而确实如此,一般不会发生这种情形。这样一来,这种能以微分平 方式的方根表线元素的这种流形,其度量关系因此以完全独立于变量的选择表示。我们也可以用同样的方法处理一种线元素表现的稍微复杂的情形──线 元素表成微分的四次方根。在这种更一般的情形下,线元素无法化成微分式的平方和的根号,因此线元素平方与「平」的偏差度将会是二阶的微量,而非如其它流形 是四阶微量。这种特性,不妨叫做最小部份的平面性。然而就目前而言,这些流形最主要的特性,也是我们之所以要加以研究的原因,是二维流形的度量关系可以用 几何上的「曲面」来代表,而多元流形的度量关系可以化为自身所包含的「曲面」。我们将再做讨论。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. "先前提过,需要有 n(n-1)/2个位置函数才能确定上述 n 元流形的度量关系。因此,每点若给定 n(n-1)/2个面方向的曲率,便可以定出流形的度量关系(曲率)。2. “这些流形最主要的特性,也是我们之所以要加以研究的原因,是二维流形的度量关系可以用几何上的「曲面」来代表,而多元流形的度量关系可以化为自身所包含的「曲面」。”黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(5) 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)在曲面的了解上,内在的 度量关系,虽然只和曲面上路径的长度相关,却往往和曲面与其外部点之相对位置扯上关系。然而我们可以自外在关系中把曲面抽出,方法适用一种不改变面上曲线 长度的弯曲;亦即曲面只能加以弯曲,而不能伸缩,因弯曲而产生的各种曲面都视为相同。因此,任何的圆柱面和圆锥面和平面是相同的,因为只要将平面弯曲便可 形成锥和柱,而内在度量关系不变,所有关于平面的定理──整个平面几何学,都仍然有效。反过来说,球和上述的三种面则根本上不 同,因为由球面变成平面势必要伸缩。根据前面的研究,二元量的线元素若能表为微分平方式的方根,如曲面,则其每一点的内在度量关系决定于(面)曲率。就曲 面而言,这个量可以想象成曲面在这点的两个曲率积;或者由另一角度看:这个量乘以一个由测地线形成的无限小三角形(随着其直径的缩小),会等于内角和减去 两直角(用弪度量表示即内角和减π)的一半。第一个定义预设了两个曲率积在曲面弯曲下不变的定理。第二个定义则假定一个无限小三角形,其内角和减去两直角会正比于面积。为了在n元流形中给定点的一个面方向(surface direction)上,替曲率下一个可以理解的定义,我们先提过,发自一点的最短曲线决定于其初始方向。同理,如果将所有起自一点而处在面元上的向量延长成最短曲线,则可定出曲面;而这曲面在这定点上有一定的面曲率,此面曲率等于此点的n元流形沿曲面方向的曲率。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1. 黎曼用“曲面只能加以弯曲,而不能伸缩,因弯曲而产生的各种曲面都视为相同”为基准,将曲面进行分类,视“任何的圆柱面和圆锥面和平面是相同的”,“因为只要将平面弯曲便可形成锥和柱,而内在度量关系不变,所有关于平面的定理──整个平面几何学,都仍然有效。反过来说,球和上述的三种面则根本上不同,因为由球面变成平面势必要伸缩。”2. 这个工作的基础是欧拉完成的。曲面上的曲率:曲面可以弯曲成任意形式,因而曲率k在曲面上每一点都可能是不同的。对于正则曲面,欧拉发现有简单法则。法曲率:反应曲面弯曲程度的一种几何量。曲面S每一点都有切平面。过曲面S上任一固定点P,设n为S在P点的法向量,t 是S在P点的任一切向量(在切平面内)。过P点及方向 t 作曲面S的法平面Q,称Q与曲面S的交线C为曲面在P点沿方向 t 的法截线。C在P点的曲率称为曲面S在P点沿方向t的法曲率,记为Kn。当 t 在切平面上变动时,法曲率Kn也随之变化。法曲率取极值的方向称为主方向,沿主方向的法曲率称为主曲率。欧拉证明:若P点不是脐点,在曲面的每个点处存在着这样两个方向: a). 它们相互垂直; b). 向着这两个方向的法截线的曲率k1,k2是所有法截线的曲线中的极大值和极小值。特别当k1=k2时,所有法截线的曲率都相同(例如在球的情形); c). 设 t 与对应于曲率k1的主方向之间的夹角为b,则沿方向 t 的法曲率Kn=k1*cos(b)+k2*sin(b),称为计算法曲率的欧拉公式。3. 高斯定义曲面上任一点的曲率为:k1*k2。4. 综上所述,对于“任何的圆柱面和圆锥面和平面”,根据欧拉的工作,可知k1,k2中至少有一个是零,故根据高斯曲率可知它们的曲率都是零,所以它们“是相同的”。5. 黎曼此段思想精华之一在于,他对高斯曲率作了新的解释:既“或者由另一角度看:这个量乘以一个由测地线形成的无限小三角形(随着其直径的缩小),会等于内角和减去两直角(用弪度量表示即内角和减π)的一半。”。这样,他就完全从欧氏体系中脱身了,即“第二个定义则假定一个无限小三角形,其内角和减去两直角会正比于面积。”黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(5) 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)把这些结果应用到空间几何上之前,我们还需要对「平」的流形(亦即,线元素平方可以表为全微分的平方和的流形)做一些通盘的考虑。 在一个「平」的n元流形上,每一点,每一方向的曲率皆为0;然根据前面的研究,如果要决定其度量关系,必须知道每一点上有n(n-1)/2个独立曲面方向,其曲率为0。曲率处处为0的 流形,可以看成是曲率处处为定值的流形的一种特例。曲率为定数的流形,其共同特征如下:其上的图形可移动而不必伸缩。很显然,每一点为每一方向的曲率如果 不全相同,图形便无法自由地平移、旋转。反过来说,流形度量的性质完全由曲率决定;因此在任一点的每个方向上的值与在另一点每个方向上的值完全相同,因此 可以从任何一点开始。所以在曲率固定的流形上,图形可以摆在任何位置。这些流形的度量关系仅决定于曲率之值;顺便由解析的观点看,此值若记为 a,则线元素可表为 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:黎曼思想——猜测:“曲率为定数的流形,其共同特征如下:其上的图形可移动而不必伸缩。”即:曲率为定数的流形,其上每一点图形相同。 方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)常曲率的曲面可用来做几何的例证。我们不难看出,常曲率为正的曲面,必可滚贴到半径为该曲率倒数的球上。为了了解这种曲面的各种变化,我们取一个球,以及在赤道与球相切的旋转面。 常曲率比球大的这类曲面,会从球的内部与赤道相切,类似轮胎面的外侧;它们也可以滚贴上半径较小的球带,但可能不止一层。曲率比球小,而仍为正的曲面,可由下面的方法得到:用两个大半圆切割较大半径的球面,再把切割线贴合起来。曲率为0的曲面,是一个在赤道与球相切的圆柱;若曲率为负,则类似轮胎面的内侧,在赤道与球外切。如果把这些曲面看成面块(pieces of surface)在其中移动的所有可能位置,正如空间是物体的位置一般,则小面块可在曲面上自由移动而不必伸缩。曲率为正的曲面可以让面块自由移动而不必弯曲,如球面,但曲率为负就不行了。除了这种小面块对位置的独立性之外,在曲率为0的曲面中,有一种其它曲面没有的特性,即方向独立于位置。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(7)III. 物理空间中的应用方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)研究了 n 元量的度量关系的决定方式之后,我们可以给出决定物理空间的度量关系的充要条件;但大前提是,先假设线长是独立于其形状,且线元素可表成微分平方式的方根──因此极微小的状态可视为「平」的。 首先,这些条件可以表成为在每一点有三个面方向,它们的曲率为0;因此,只要三角形三内角和等于两直角,物理空间的度量关系便确立了。 但其次,如果我们跟欧几里德一样,假设不止线独立于形状,而体亦然,则结果将是曲率处处为定数;而知道一个三角形的内角和,便知道所有三角形的内角和。 第三,也是最后,与其假设线的长度独立于位置、方向,亦可假设长度与方向独立于位置。基于这个观念,位置的差或变化,是用三个独立单位表示的复数。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:黎曼这里所说的“物理空间”就是欧氏空间。它满足:“在每一点有三个面方向,它们的曲率为0;因此,只要三角形三内角和等于两直角,物理空间的度量关系便确立了。”方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)在前述讨论中,我们先将延展性(extension)或区域性(regionality) 的观念和度量关系分开,然后发现同一个延展关系下可以容许不同的度量关系;我们选择了一套特殊的度量,使得物理空间的度量关系得以由此确定,而所有相关的 定理可由此推得。接下来要讨论的是,这些假设的产生,是如何依赖经验。在这里,延展关系和度量关系差别就大了:前述第一种情形的可能状态是离散的,其得自 经验的理解虽未必完全确定,却是准确的;而第二种可能状态是连续的,经验的取决准确率再高,仍是不准的。这种分别,在将经验扩充到观察所不能及的大范围和 小范围时,会特别重要,后者会在观察能力之外越来越模糊,但前者不会。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记:1。黎曼这里叙述了他的科研思想方法:“先将延展性(extension)或区域性(regionality)的观念和度量关系分开,然后发现同一个延展关系下可以容许不同的度量关系;我们选择了一套特殊的度量,使得物理空间的度量关系得以由此确定,而所有相关的定理可由此推得。”2。 接下来黎曼谈了理论推导与所依赖的经验数据之间关系:“在 这里,延展关系和度量关系差别就大了:前述第一种情形的可能状态是离散的,其得自经验的理解虽未必完全确定,却是准确的;而第二种可能状态是连续的,经验 的取决准确率再高,仍是不准的。这种分别,在将经验扩充到观察所不能及的大范围和小范围时,会特别重要,后者会在观察能力之外越来越模糊,但前者不会。”指出经验数据受观察、理解等因素干扰会“不准”;理论则有其茫然性,尤其是“扩充到观察所不能及的大范围和小范围时”。3。总结黎曼的科研思想方法:将各种关联或不关联的概念仔细分开,分别抽象,逐个解决。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)物理空间的建构推广到超乎量度之大时,注意「无界」与「无 限」之别,一个是延展关系的,一个是度量关系的。空间是一个无界的三元流形这件事,是一个被用于所有的对外在世界的理解的一个假设。扩充感官认知时要用到 它,探索物体的可能位置时也要用到它;从这些用途中不断肯定这个假设。空闲无界的性质,其确切性比任何一种外在的经验都强,但无限性却无法由此得到;恰恰 相反的是,如果假设物体独立于位置,因而给定一个固定的正曲率(不管多小都可以),则物理空间必属有限。如果在一个曲面方向把初始向量沿长成最短曲线,可 以得到一个正常曲率的无界曲面,因而该曲面若在平的三元流形内,必为一球面,因而是有限的。 张海潮 李文肇译(http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(8)方为民 胥鸣伟译(数学珍宝__历
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