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《点集拓扑学》第5章 &amp#167;5.3 Lindeloff空间.doc

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《点集拓扑学》第5章 &amp#167;5.3 Lindeloff空间.doc
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5.3 Lindeloff空间  本节重点:  掌握Lindeloff空间的定义;  掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系;  掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性.  我们先引进一些术语.  定义5.3.1 设A*是一个集族,B是一个集合.如果则称集族A*是集合B的一个覆盖,并且当A*是可数族或有限族时,分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖.  设集族A是集合B的一个覆盖.如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖,则称集族是覆盖A(关于集合B)的一个子覆盖.  设X是一个拓扑空间.如果由X中开(闭)子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖,则称集族A是集合B的一个开(闭)覆盖.  在数学分析中读者所熟知的Heine-Borel定理告诉我们:实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖.因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性.对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论.但是另一方面,正如所知,连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中.这使我们有必要放松一点限制.  定义5.3.2 设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间.  包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间.这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.  定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间.  证明 设拓扑空间X满足第二可数性公理,B是它的一个可数基.  设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头).对于每一个A∈A,由于A是一个开集,所以存在,使得AB令由于是B的一个子族,所以是一个可数族.并且   这就是说,也是X的一个覆盖.如果B∈,则存在A∈A使得B∈,因此BA.于是对于每一个B∈;我们可以选定某一个记,它是A的一个子族,并且     所以是A的一个子覆盖.此外由于是可数的,所以也是可数的.于是开覆盖A有一个可数子覆盖.这证明X是一个Lindefoff空间.  推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间.  特别,n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间.  例5.3.1,定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立.  考虑包含着不可数多个点的可数补空间X.例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理,所以它也不满足第二可数性公理.  以下证明它是一个Lindeloff空间.设A是它的一个开覆盖.任意在A中取定一个非空集合A.对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集,所以A的子族也是可数的,易见它也覆盖X.因此,包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子.  也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间.(请读者自补证明)因此,包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子.  定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理.  证明 设(X,d)是一个Lindeloff的度量空间.  对于每一个k∈,集族={B(x,1/k)|x∈X}是X的一个开覆盖.由于X是一个Lindeloff空间,所以有一个可数子覆盖,设为,从而开集族是一个可数族.以下证明它是X的一个基.  x∈X和x的任何一个邻域U,令k为任何一个大于2/ε的正数.由于 是X的一个覆盖,      根据定理2.6.2可见B是X的一个基.因此X满足第二可数性公理.  例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子.  设X是一个不可数集,z∈X.令=X-{z},  T 是一个可数集}  容易验证T是X的一个拓扑.(请读者自己验证.)  拓扑空间(X,T)是一个Lindeloff空间.因为如果A是X的一个开覆盖,则存在A∈A使得z∈A.于是是一个可数集.对于每一个x∈,选取∈A使得x∈.易见是A的一个可数子覆盖.  另外,容易验证T .这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间.所以不是一个Lindeloff空间.  此外,两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间.有关的例子可见习题第4题.  尽管Lindeloff性质不可遗传,但它对于闭子空间却是可遗传的.我们证明:  定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间.  证明 设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间,A是子空间Y的一个开覆盖.则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A.于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖,它有一个可数子覆盖,设为(即使可以找到一个子覆盖不包含,但添上一个元素也无何不可.)这时易见,{,…},其中  ,便是A的一个(关于子空间Y的)可数子覆盖.  定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间.如果AX是一个不可数集,则A中必定包含A的某一个凝聚点,即 .  特别,如果X是一个满足第二可数性公理的空间,则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点.  证明 设AX是一个不可数集.如果A中没有A的凝聚点,则对于每一个a∈A,存在a在X中的一个邻域,这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集.从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间,它必然不是一个Linde1off空间,这与定理的条件矛盾.  我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表  作业:  P149 1.  本章总结:  (1),Lindeloff空间是重点.  (2)掌握,Lindeloff,可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质.  (3)掌握这些空间之间的关系(上述关系图).  (4)掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用.
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