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2016届湖南师范大学附属中学高三下学期高考模拟(三)数学(文)试题.doc

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2016届湖南师范大学附属中学高三下学期高考模拟(三)数学(文)试题.doc
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数学(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数对应的点在直线上,则实数的值为( )A.0 B.1 C.-1 D.32.若,则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.3. 的值等于( )A. B. C. D.14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.8 C. D.5.已知点的可行域是如图阴影部分(含边界),若目标函数取得最小值的最优解有无数个,则的取值为( )A.1 B.2 C.6 D.86.如图是双曲线与椭圆的公共焦点,点是在第一象限的公共点,若,则的离心率是( )A. B. C. D.7.直线与椭圆恒有交点,则的取值范围是( )A. B. C. D.8.如图,位于处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救.在处南偏西30且相距20海里的处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往处求助,则( )A. B. C. D.9.设命题,使,则使得为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 10.如图,在等腰直角三角形中,设向量为边上靠近点的四等分点,过点作的垂线,点为垂线上任意一点,则( )A. B. C. D.11.已知正项数列满足,且,不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.12.偶函数满足,且当时,,若函数有且仅有三个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上.13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据,其回归直线方程是,且,请估算时,____________.14.已知立方体分别是棱,中点,从中任取两点确定的直线中,与平面平行的有__________条.15.在数列中,若存在一个确定的正整数,对任意满足,则称是周期数列,叫做它的周期.已知数列满足,当数列的周期为3时,则的前2016项的和___________.16.设函数,记,若函数至少存在一个零点,则实数的取值范围是_____________.三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)某中学的高三一班中男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)在(2)中的实验结束后,第一次做实验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.18.(本题满分12分)已知向量,设函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)在中,角所对的边分别为,且,求的面积的最大值.19.(本题满分12分)在如图所示的几何体中,平面平面,四边形平行四边形,.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.20.(本题满分12分)已知圆,点是圆内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点 .(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹曲线的方程;(2)若直线是过点且相互垂直的两条直线,其中直线交曲线于两点,直线与圆相交于两点,求四边形面积等于14时直线的方程.21. (本小题满分 12分)已知.(1)若是的极值点,讨论的单调性;(2)当时,证明:在定义域内无零点.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知为圆的一条直径,以端点为圆心的圆交直线于两点,交圆于两点,过点作垂直于的直线,交直线于点.(1)求证:四点共圆;(2)若,求外接圆的半径.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 是过点,倾斜角为的直线,以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线的极坐标方程是.(1)求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程;(2)曲线与曲线相交于两点,求的值.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解关于的不等式;(2)若不等式对任意的恒成立,求的取值范围.参考答案一、 选择题题号123456789101112答案1. 【解析】因为,对应的点为,所以,选.2. 【解析】取,排除选项,取,排除选项,取,排除选项,显然,对不等式的两边同时乘成立,故选.3. 【解析】故选.4. 【解析】该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为2的正方形,右侧面是腰长为的等腰三角形,且垂直于底面,由此可得四棱锥的高为2,所以体积,选.5. 【解析】当时,,当时,目标函数在线段上的所有点处都取得最小值,∴,选.6. 【解析】由题意知,,∵,∴,∴,∵,∴的离心率是,选7. 【解析】恒过点,由点在椭圆内或椭圆上得:得且,选.8. 【解析】在中,.由余弦定理,得,所以.10. 【解析】以点为原点建立直角坐标系,所以,不妨设取点,∴,故选.11. 【解析】∵,∴,∴.∴,∵恒成立,∴,故选.12. 【解析】由,可知函数图像关于对称,又因为为偶函数,所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2,要使函数有且仅有三个零点,即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知,,故正确.二、填空题13. 【解析】由题意知,故样本中心为,代入回归直线方程,得.所以时,.14.6【解析】连接,∵,∴四点共面,由,可得平面与平面平行,所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵,∴.16. 【解析】令,∴,设,令,∴,发现函数在上都是单调递增,在上都是单调递减,∴函数在上单调递增,在上单调递减,∴当时,,∴函数有零点需满足,即.三、 解答题17.【解析】(1)由题意可知,抽样比,所以某同学被抽到的概率为.课外兴趣小组中男同学(人),女同学1(人)……………………………………………2分(2)把3名男同学和1名女同学分别记为,则选取两名同学的基本事件有,共12个,其中恰有一名女同学的有6个.所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为…………………………7分(3)由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为:由于,因此,第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分18.【解析】(1)…………………………………3分,即,所以的单调递增区间为…………………………………………6分(2)因为,所以.又因为,所以,故,所以.........................................................8分于是在中,,故,当且仅当时等号成立,所以的面积的最大值为………………………………………………………12分19.【解析】①∵平面平面,且平面平面,∵平面,∴平面……………………………………………………………………………2分平面,∴,……………………………………………3分又,∴,∴………………………………………………………4分且,∴平面……………………………………………6分(2)设的中点为,连接,∵,∴………………………………………………7分∵平面平面,且平面平面,∴平面…………………………………………9分∵平面,所以点到平面的距离就等于点到平面的距离,即点到平面的距离为的长…………………………………………10分∴,∵,………………………………………11分∴,即三棱锥的体积为…………………………………12分20.【解析】(1)连接,∵,∴,故点的轨迹是以点为焦点,为长轴的椭圆,所以,点的轨迹曲线的方程为:…………………………………………………5分(2)①当直线的斜率不存在时,则直线的方程为:,直线的方程为:,故,∴,不合题意,故直线的斜率存在...............6分②当直线的斜率存在时,设直线的方程为:,∴.联立,∴,∴,……………………………………………………8分∴,∴…………………………………………10分∴,∴,此时,直线的方程为或……………………………………12分21.【解析】(1)∵,由是的极值点,知,故,∴,………………………………………………………………2分① 当时,,则,所以在内单调递增;② 当时,,则,所以在内单调递减……………5分(2)因为函数的定义域为,当时,,∴………………………………………6分令,令,∴,∴在上递减,又,,……………………………8分∴在上有唯一的零点,∴,∴…………………………………………9分当时,则,所以在内单调递增;当时,则,所以在内单调递减.∴…………………………………11分故当时,,故,所以当时,在定义域内无零点…………………………………………………12分22.【解析】(1)因为为圆的一条直径,所以. 又,故四点在以为直径的圆上.所以,四点共圆…………………………………………………………4分(2)由题意得与圆相切于点,由切割线定理得,即,所以,又,则,得.连接(图略),由(1)可知,为外接圆的直径.,故的外接圆的半径为………………………………………………………………10分23.【解析】(1)∵,∴,即曲线的普通方程为:,曲线的一个参数方程为:(为参数).......................................5分(2)设,∴.把代入方程中,得:,整理得:,∴,∴......................................................10分24.【解析】(1)由或,∴或,故原不等式的解集为..................................................5分(2)由,得对任意的恒成立,当时,不等式成立;当时,问题等价于对任意的非零实数恒成立,∵,∴,即的取值范围是...............................................10分
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