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二元一次方程组复习学案(经典全面).doc

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二元一次方程组复习学案一、等式、方程1.等式性质[等式两边加(或减)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.2.方程 (1)含有未知数的等式叫做方程.(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.(3)解方程:求方程解的过程叫做解方程.二、一元一次方程1.只含有______未知数,并且未知数的最高次数都是____,系数不等于零的______方程叫做一元一次方程,其标准形式为__________,其解为x=______.2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)________;(3)移项;(4)____________;(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程(1)概念:含有______未知数,并且未知数的项的次数都是____,这样的整式方程叫做二元一次方程.(2)一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0).(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.(4)解的特点:一般地,二元一次方程有无数个解.由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集.2.二元一次方程组(1)概念:具有相同未知数的______二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.(2)一般形式: (a1,a2,b1,b2均不为零).(3)二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的________,叫做二元一次方程组的解.四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有______消元法和__________消元法.1.用代入消元法---不要漏掉括号(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示出y(或x),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;(4)把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中,求y(或x)的值.2.用加减消元法---不要漏乘(1)在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可以直接相减(或相加),消去一个未知数;(2)在二元一次方程组中,若不存在(1)中的情况,可选一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数;(3)解这个一元一次方程;(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内,求出另一个未知数.考点一 :二元一次方程概念 与解法例1.已知是二元一次方程组的解,则2m-n= .例2.小明和小佳同时解方程组,小明看错了m,解得,小华看错了n,解得,你能知道原方程组正确的解吗? 总结分析:灵活学会“方程解”概念解题.【巩固】已知方程组和方程组的解相同,求的值.【变式】已知关于x,y的二元一次方程组的解为,你能求得关于x,y的二元一次方程组的解吗?★剖析总结★:灵活学会“方程解”概念解题,利用解相同,可以将方程重新组合,换位联立;在解题过程中,常常运用类比的思想【巩固2】.考点二:解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审:有什么,求什么,干什么;2、设:设未知数,并注意单位;3、找:等量关系;4、列:用数学语言表达出来;5、解:解方程(组);6、验:检验方程(组)的解是否符合实际题意.7、答:完整写出答案(包括单位).列方程组思想:找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程----解决实际问题类型:(1)行程问题:(2)工程问题;(3)销售中的盈亏问题;(4)储蓄问题;(5)产品配套问题;(6)增长率问题;(7)和差倍分问题;(8)数字问题; (9)浓度问题; (10)几何问题; (11)年龄问题;(12)优化方案问题.一、 行程问题(1) 三个基本量的关系: 路程s=速度v时间t 时间t=路程s速度V 速度V=路程s时间t(2) 三大类型:① 相遇问题:快行距+慢行距=原距 ② 追及问题:快行距-慢行距=原距,③ 航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度顺速–逆速 = 2水速;顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。 【变式】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度.  【变式】学校组织学生乘汽车去自然保护区野营,先以60km/h的速度走平路,后又以30km/h的速度爬坡,共用了6.5h;原路返回时,汽车以40km/h的速度下坡,又以50km/h的速度走平路,共用了6h,则平路和坡路分别多远?二、 工程问题三个基本量的关系:工作总量=工作时间工作效率;工作时间=工作总量工作效率;工作效率=工作总量工作时间甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,注:当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?   总结升华:工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 三:商品销售利润问题利润问题:利润=售价—进价=进价利润率,利润率=(售价—进价)进价100%=利润进价100%  有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?  【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表: AB进价(元/件)12001000售价(元/件)13801200求该商场购进A、B两种商品各多少件;  四、银行储蓄问题银行利率问题:免税利息=本金利率时间,税后利息=本金利率时间—本金利率时间税率4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税=利息金额20%,教育储蓄没有利息所得税)  总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?  五、生产中的配套问题产品配套问题:加工总量成比例某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?   总结升华:生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条.现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?能配多少张方桌?  六、增长率问题增长率问题:原量(1+增长率)=增长后的量原量(1+减少率)=减少后的量 某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元? (1)若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?    思考:本问题还有没有其它的设法?【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口.  七、和差倍分问题和差倍总分问题:较大量=较小量+多余量,总量=倍数倍量“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?   【变式】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗?  八:数字问题首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.  【变式】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?  【变式】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数. 九:浓度问题溶液浓度=溶质现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1,今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少? 总结升华:解这类问题常用的相等关系是:混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。有时候需要设间接未知数,有时候需要设辅助未知数。【变式】一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,才能配成1.75%的农药800千克?  十、几何问题必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?                      总结升华:几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中,解答这类问题时应注意认真分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解.【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上去,则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?  总结升华:解题的关键找两个等量关系,最关键的是本题设的未知数不是该题要求的,本题要是设正方形的面积比矩形面积大多少,问题就复杂了.设长方形的长和宽,本题就简单多了,所以列方程解应用题设未知数是关键.十一、年龄问题人与人的岁数是同时增长的今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少? 总结升华:解决年龄问题,要注意一点:一个人的年龄变化(增大、减小)了,其他人也一样增大或减小,并且增大(或减小)的岁数是相同的(相同的时间内).【变式1】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄. 【变式2】一名学生问老师:“您今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时你才1岁;你到我这么大时,我已经37岁了.”请问老师、学生今年分别多大了?十二、优化方案问题:某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨;如果进行细加工,每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案  方案一:将蔬菜全部进行粗加工;  方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;  方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成  你认为选择哪种方案获利最多?为什么?    总结升华:优化方案问题首先要列举出所有可能的方案,再按题的要求分别求出每个方案的具体结果,再进行比较从中选择最优方案.【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场的进 货方案;(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元,在以上的方案中,为使获利最多,你选择哪种进货方案?【变式】某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包的单价也相同,随身听和书包的单价之和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.(1)该同学看中的随身听和书包的单价各是多少?(2)某一天该同学上街,恰好赶上商家促销.超市A所有商品打八折销售,超市B全场购物每满100元就返购物卷30元(不足100元不返卷,购物卷全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的这两样物品,你能说出他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?
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