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专题五:均值不等式与最值、放缩法.doc

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专题五:均值不等式与最值、放缩法.doc
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专题五:均值不等式与最值、放缩法基础梳理1.常用的基本不等式和重要的不等式:(1) 当且仅当取“”号; (2);(3),则。2.均值不等式:两个正数的均值不等式:; 三个正数的均值不等式:;个正数的均值不等式:。3.四种均值的关系:(1)两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:(2)三个正数的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数:小结:“算数平均数几何平均数”的多种表达形式:整式形式根式形式分式形式 倒数形式4.均值不等式求最值:(1)如果(定值),由______________,当时,有____________;如果(定值),由______________,当时,有__________;(2)如果(定值),由______________,当时,有____________;如果(定值),由______________,当时,有___________。利用均值不等式求最值必须注意:“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!能力巩固考点一:均值不等式与最值1.已知,,则的最小值______________。2.设,最大值是( )A. 1 B. C. D. 3.已知,且,若,则的最大值为_____________。4.已知都在区间内,且,则函数的最小值是( )A. B. C. D.5.若是与的等比中项,则的最大值为( )A. B. 1 C. D.6.设是定义其中分别是的面积,的最小值是_______________。7.若a,b均为正实数,且恒成立,则m的最小值是______________。变式:(1)若不等式对任意正实数、都成立,则的最大值是( )A.1B.2C.3D.5(2)若对于任意的实数且,不等式恒成立,则实数的最大值是___________。8. 设都是整数,且满足,则的最大可能值为( )A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函数的值域为( )A. B. C. D.练习:使关于的不等式有解的实数的最大值是( )A. B. C. D.10.已知且,则的最小值为( )A. B. C. D. 练习:若且,则的最小值为_______________。考点二:放缩法与不等式例1. (1)求证: ;变式:。(2);(3);(4);(5)(其中)。(6)求证:;(7)证明:当时,。例2.www.ks5u.com设各项为正的数列满足:令(Ⅰ)求(Ⅱ)求证:例3.在数列中,已知,,。(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求证:,。例4.在数列中,,设数列,的前项和为。(1)若对任意的正整数n恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:对任意的整数,;(3)是否存在实数M,使得对任何的,恒成立,如果存在求出最小的,如果不存在请说明理由。例5.已知数列满足=-1,,数列满足。(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求证:当时,;(3)求证:当时,。
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