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基本不等式求最值的策略.doc

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1、例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要基本不等式(当且仅当时等号成立)是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一,也是高考常考的重要知识点。从本质上看,基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系,所以在求取积的最值、和的最值当中,基本不等式将会焕发出强大的生命力,它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。关键字:基本不等式 求和与积的最值 策略 一、 基本不等式的基础知识[1]基本不等式:如果,则,当且仅当时等号成立。在基本不等式的应用中,我们需要注意以下三点:“一正”:、b是正数,这是利用基本不等式求最值的前提条件。

2、。“二定”:当两正数的和是定值时,积有最大值;当两正数的积是定值时,和有最小值。“三相等”: 是的充要条件,所以多次使用基本不等式时,要注意等号成立的条件是否一致。二、 利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法,构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑(凑系数或凑项)后,使原本与基本不等式结构不一致的式子,变为结构一致,再利用均值不等式求解最值。题型一 配凑系数例1 设,求函数的最大值。分析:因为不是个定值,所以本题无法直接运用基本不等式求解。但凑系数将4拆为后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求其最大值。解:因为 ,所以 故当且。

3、仅当即时等号成立.所以原式的最大值为.题型二 配凑项1 配凑常数项例2 已知,求函数的最大值。[2]分析:因,所以首先要“调整”符号。另外,又不是常数,所以对要进行拆、凑项。解:因为,所以 所以 所以当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,y取最大值1.2 配凑一般项例3 (2010年高考四川文科卷第11题)设,则的最小值是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析:如果要利用基本不等式来求和的最小值,就必须出现积的定值。考虑到, 即,所以配凑这两项。解:因为,所。

4、以,,故而,,所以故w==≥2+2=4当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立,如取a=,b=,式子取得最小值4.故选择答案D策略二 遇到分式,可尝试分离后再用基本不等式题型一:配凑分子,分离分式对于分子次数比分母高的分式不等式,可尝试先对分子进行配凑,使之出现与分母相同的项,然后分离得到可用基本不等式求解的结构。例4 求的最小值。[2]分析:可先将分子配凑出含有的项,再将其分离。解:因为,所以所以当且仅当所以的最小值为2.题型二:同除分子,分离分母对于分母次数比分子高的分式不等式,可尝试上下同除以分子,使分母出现互倒。

5、的结构,再用基本不等式求最值。例5 求的值域.分析:题目没有交代的取值范围,此题需要分类讨论。解:当时,分子分母同除以,则(1) 当,所以, 当且仅当(2) 当,故,当且仅当当,=0综上可知,y的取值范围是策略三 遇到根式,可尝试平方后再用基本不等式例6 求函数的最大值.分析:观察式子的结构,可以看到,所以将式子平方后,便可构造出可用基本不等式的结构。解:将两边平方,得又因为y>0,所以当且仅当2,即所以y的最大值是.策略四 利用1的性质,合理代换后再用基本不等式“1”是一个特殊的数,任何式子乘以1,式子仍不变。。

6、所以如果题目条件给出某个式子的值为1,则可在要求最值的式子上乘以这个式子,从而构造出可用基本不等式的形式。例7 设,且,求的最小值.分析:由于,所以=,故可用基本不等式求最值.解:由于,所以=又由于,故所以=,当且仅当所以,原式的最小值为2.总结以上四种策略,是用基本不等式解决最值问题的常用方法。无论是配凑系数与项、分离分子与分母、平方去根号,还是利用“1”整体代换,其目的只有一个,那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项,然后才可用基本不等式。构造可用基本不等式的结构,是解决此类最值问题的根本所在。参考文献[1]人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 数学必修5A版 2004.5第一版 第五章[2] 童其林;毛金才;应用基本不等式求最值的八种变换技巧[J];新高考(语文数学英语);2010年02期[3]段军长;均值不等式的应用[J];数理化解题研究;2012年第5期。

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