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高三学生对抗赛.doc

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淮北市天一中学 2014 届 VS 2013 届数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间:120分钟一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。)1.已知 i 是虚数单位,则 在复平面内对应的点位于( )2013iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设 }1|{xRP, }0)1ln(|{xRxQ,则 “ Px”是“ Qx”的 ( )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为 ( )A. 81 B. 81 C. 16 D. 3214.已知点 F1、 F2是双曲线 )0,(2bayx的左右焦点,点 P 是双曲线上的一点,且021P,则 21面积为 ( )A. ab B. ab C. b2 D. a2125.[x]为 x 的整数部分.当 n≥2 时,则 的值为( )A.0 B.1 C.2 D.36.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(﹣4)=﹣1,f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 的取值范围是( )A.B.C. (﹣1 ,10 )D. (﹣∞,﹣1)7.函数 y= 的图象大致是( )A. B. C. D.8.已知函数 f(x)=1+x ﹣ ,设 F(x)=f(x+4) ,且函数 F(x)的零点均在区间[a,b ](a<b,a,b∈Z)内,圆 x2+y2=b﹣a 的面积的最小值是( )A.π B.2π C.3π D.4π9.对任意两个非零平面向量 和 ,定义 .若两个非零平面向量 , 满足 与 的夹A ab角 ,且 和 都在集合 中,则 ( )()42,ab{|}2nZab=A. B. C. D.5311210.若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件:①P 和 Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P 和 Q 关开始 n=1,S=1 S=Scos 7nn≥3 输出 S 结束n=n+1是否于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对 ”([P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”) .已知函数 ,则此函数的 “友好点对”有( )A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对2.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。)11.设 0sinaxd,则二项式 6()ax 展开式的常数项是 12.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积为 13.已知等差数列 的公差 若 则使前 项和 成立的最大正整na,0d,10,29173aan0nS数 是 . n14.如图,将天一中学校训“人生是可以雕塑的”中的八个汉字演入 5x4 的方格内,其中“人”字填入左上角,“的”字填入右下角,将其余 6 个汉字填入方格,要求只能依次向右或向下读成一句原话,图中所示为一种填法,则共有___种不同的填法.(用数字作答)人生 是可 以 雕 塑的15.如图所示,△ABC 是一个边长为 3 的正三角形,若在每一边的两个三等分点中,各随机选取一点连成三角形.下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号)①依此方法可能连成的三角形一共有 8 个;②这些可能连成的三角形中,恰有 2 个是锐角三角形;③这些可能连成的三角形中,恰有 3 个是直角三角形;④这些可能连成的三角形中,恰有 3 个是钝角三角形;⑤这些可能连成的三角形中,恰有 2 个是正三角形.3、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。)16.(本题满分 12 分)已知函数 ()fxmn其中 (sincos,3s),(cosinmxxnx 其中 ,0若 相邻两对称轴间的距离不小于 。()fx2(I)求 的取值范围;(Ⅱ) 中, 分别是角 的对边,ABC,abc,ABC3,,abc当 最大时, =1,求 的面积。()f17.(本小题满分 12 分)“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器.某企业现有 100 万元资金可用于投资,如果投资“传统型”经济项目,一年后可能获利 20%,可能损失 10%,也可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为;如果投资“低碳型”经济项目,一年后可能获利 30%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 a 和 n (其中 a + b =1 )如果把 100 万元投资“传统型”经济项目,用 表示投资收益(投资收益=回收资金一投资资金),求 的概率分布及均值(数学期望) ;(II)如果把 100 万元投资“低碳型”经济项目,预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值,求 a 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1⊥平面 ABC, △ABC 为正三角形,且侧面 AA1C1C,2sin)x是边长为 2 的正方形,E 是 A,B 的中点,F 在棱 CC1上。(I)当 CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积;1CF(II)当点 F 使得 A1F+BF 最小时,求二面角 A-A 1F- B 的余弦值。19.( 本题满分 13 分)已知直线 与椭圆 相交于 A、B 两点.[ 来源:Z+xx+k.Com]1xy )0,(12bayx(Ⅰ)若椭圆的离心率为 ,焦距为 2,求线段 AB 的长;3(Ⅱ)若向量 与向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点),当椭圆的离心率 时,OAB 12[,]e求椭圆的长轴长的最大值.20.(本小题满分 13 分)已知数列{ an}与{b n}满足 bn+1 an+b nan+1 =(-2) n+ 1,b n= ,n∈N *,且 a1=2.3+ - 1n- 12(1)求 a2,a 3 的值;(2)设 cn=a 2n+1 -a 2n-1 ,n∈N *,证明{ cn}是等比数列;(3)设 Sn为{a n}的前 n 项和,证明 + +…+ + ≤n- (n∈N *).S1a1 S2a2 S2n- 1a2n- 1 S2na2n 1321.(本小题满分 13 分)已知定义在实数集上的函数 (),nnfx N *,其导函数记为 ()nfx,且满足22121[()]fax,其中 a、 1x、 2为常数, 12x.设函数 g23)l(),mffR 且 0)m.(Ⅰ)求实数 a的值;(Ⅱ)若函数 gx无极值点,其导函数 (gx有零点,求 m 的值;(Ⅲ)求函数 ()在 [,]a的图象上任一点处的切线斜率 k 的最大值.理科答案 CDACBBCADC11,-160_12 , 30+6 13,18 14,3515①②⑤ 17 解: (Ⅰ) 依题意, 的可能取值为 20,0,—10 ,…………………………1 分的分布列为20 0 —10p351515……………………………………………………………………………………4 分0)1(02E(万元)…………………………….…6 分(Ⅱ)设 表示 100 万元投资投资“低碳型”经济项目的收益,则 的分布列为[来源:学科网 ZXXK] 30 -20pab20530abE……………………………………………….……10 分依题意要求 1, ∴ 13……………………………………….…12 分 注:只写出 5,扣 1 分.18.解析:(Ⅰ) 11140,2,,.233AFCCFACFS直 角 梯 形由已知可得 的高为 且等于四棱锥 的高.AB3B,即多面体 的体积为 ………… 5 分901CFBV 1.9( Ⅱ ) 将 侧 面 展 开 到 侧 面 得 到 矩 形 ,连 结 ,交 于 点 ,此 时 点 使 得11ACAB1C1F最 小 .此 时 平 行 且 等 于 的 一 半 , 为 的 中 点 . ……7 分A1 FC1以 分别为 轴, 轴,过点 A 且与 垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系,则1,ACyzCx1(0,)(3,0)(,2)(0,1)ABAF显然平面 的法向量为1F;n设平面 的法向量为 2(,)xyz∵ ∴ 令 得11(3,)0,ABA320,xyz1,y2(3,1)n设二面角 为 则 ……………… 12 分1F,126cos.4||n19. 解:(Ⅰ) 32,,3ce即2,32caba则∴椭圆的方程为 ……………………… 2 分12yx联立 0365:1232xyxy得消 去121212(,)(,),5AB设 则 211| [()])4xyxx…………………… 6 分538)6(2(II) ),,21yxBA设19【解答】 (1)由 bn= ,n∈N,3+ - 1n- 12可得 bn=Error!又 bn+1 an+b nan+1 =(-2) n+1,当 n=1 时,a 1+2a 2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ;32当 n=2 时,2a 2+a 3=5,可得 a3=8.(2)证明:对任意 n∈N *,a2n-1 +2a 2n=-2 2n-1 +1,①2a2n+a 2n+1 =2 2n+1.②②-①,得 a2n+1 -a 2n-1 =32 2n-1 ,即 cn=32 2n-1 .于是 = 4.cn+ 1cn所以{c n}是等比数列.(3)证明:a 1=2,由(2) 知,当 k∈N *且 k≥2 时,a2k-1 = a1+(a 3-a 1)+(a 5-a 3)+(a 7-a 5)+…+(a 2k-1 -a 2k-3 )=2+3(2+2 3+2 5+…+2 2k-3 )=2+3 =2 2k-1 ,21- 4k- 11- 4故对任意 k∈N *,a 2k-1 =2 2k-1 .由①得 22k-1 + 2a2k=-2 2k-1 +1,所以 a2k= -2 2k-1 ,k ∈N *.12因此,S 2k=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1 +a 2k)= .k2于是,S 2 k-1 =S 2k-a 2k= +2 2k-1 .k- 12故 + = + = - =1- - .S2k- 1a2k- 1 S2ka2k k- 12 + 22k- 122k- 1k212- 22k- 1 k- 1+ 22k22k k22k- 1 14k k4k4k- 1所以,对任意 n∈N *,+ +…+ +S1a1 S2a2 S2n- 1a2n- 1 S2na2n= + +…+(S1a1+ S2a2) (S3a3+ S4a4) (S2n- 1a2n- 1+ S2na2n)= + +…+1- -(1- 14- 112) (1- 142- 24242- 1) 14n n4n4n- 1=n- - -…- + ≤n- =n- .(14+ 112) (142+ 24242- 1) 14n n4n4n- 1 (14+ 112) 1321. 解:(Ⅰ)因为 ,(fxfx,所以211[()]ax,整理得: 12()0,a又 12,所以 .…………………………………………3 分(Ⅱ)因为 23123(),(),()fxfxf,所以 ln0gm.…………………………4 分由条件20,()21mxxx.……………………5 分[来源:学_科_网 Z_X_X_K]因为 g有零点而 g无极值点,表明该零点左右 ()gx同号,又 0m,所以二次方程23有相同实根,即 40,解得 14m.…………………………………………8 分(Ⅲ)由(Ⅰ)知 , 233,()21,2akgxmkx,因为 1(0,]2,所以23x[12,+∞] ,所以①当 60或 时, 0恒成立, 所以 )kgx在(0, ]上递增,故当 1时,k 取得最大值,且最大值为 5,…………10 分②当 6m时,由 0 得 32xm,而 3102.若 3(0,)2x,则 k,k 单调递增;若 1[,],则 0,k 单调递减.故当 32xm时,k 取得最大值,且最大值等于 32216mA.…………………12 分综上, max5,(60)1.k或…………………………13 分
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