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【考前大通关】2013高考数学(理)二轮专题复习《第一讲 直线、平面、棱柱、棱锥、球》.doc

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【考前大通关】2013高考数学(理)二轮专题复习《第一讲 直线、平面、棱柱、棱锥、球》.doc
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一、选择题1.(2010 年高考湖北卷)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题:①若 a∥b,b∥c ,则 a∥c ; ②若 a⊥b,b⊥c ,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b;④若a⊥γ ,b ⊥γ ,则 a∥b.其中真命题的序号是( )A.①② B.②③C.①④ D.③④解析:选 C.由平行公理可知①正确;②不正确,若三条直线在同一平面内,则 a∥c;③不正确,a 与 b 有可能平行,也有可能异面或相交;由 线面垂直的性 质可知④正确.2.(2011 年高考四川卷)l 1,l 2,l 3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l 1⊥l 2,l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2,l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1,l 2,l 3 共面D.l 1,l 2,l 3 共点⇒l 1,l 2,l 3 共面解析:选 B.当 l1⊥l2,l2⊥l3时,l 1 也可能与 l3 相交或异面,故 A 不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l 1⊥l3,故 B 正确;当 l1∥l2∥l3时,l 1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确;l 1,l2,l3 共点时,l 1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一 顶点出发的三条棱,故 D 不正确.3.设 α、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中正确的是( )A.若 a∥α,b∥α,则 a∥bB.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥βC.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥βD.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b解析:选 C.A 选项中,平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以是异面、平行和相交,故 A 错误;B 选项中,平面 α 与 β 还可以相交,故 B 错误 ;经判断可知, 选项 D 也错误;选项 C 中,由面面垂直的判定定理可知正确.4.将边长为 a的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD 等于 a,则三棱锥 ABCD 的体积为( )A. B.a36 a312C. D.3a312 2a312解析:选 D.如图所示,折起后,形成的三棱锥 BACD 中,BC =BD=CD=AD=AB=a.取 BD 的中点 E,AC 的中点 F,连结 EF,则 BD⊥平面 ACE.又 EF⊥AC,且 CE2= a2,FC2= a2,34 24∴EF= = a,EC2- FC212∴VABCD=V BACE+V DACE= S△ACEBD13= a aa= a3.13 12 2 12 2125.如图,平面 α⊥平面 β,α∩β=l,A、C 是 α 内不同的两点,B、D 是 β 内不同的两点,且 A、B、C 、D∉直线 l,M、N 分别是线段 AB,CD 的中点.则下列判断正确的是( )A.当 CD=2AB 时,M、N 两点不可能重合B.M、N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交C.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交D.当 AB、CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行解析:选 B.当 M、N 重合时,四边形 ACBD 为平行四边形,故 AC∥BD∥l,此时直线 AC与 l 不可能相交,B 正确,易知 A、C、D 均不正确.二、填空题6.如图,长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,MN 在平面 BCC1B1 内,MN⊥BC 于 M,则 MN 与平面 AB1 的位置关系是________.解析:∵MN⊥ BC,∴MN∥BB1,而 BB1⊂平面 AB1,∴MN∥平面 AB1.答案:MN∥平面 AB17.在正三棱锥 P-ABC 中,D、E 分别是 AB、BC 的中点,有下列三个结论:①AC⊥PB;② AC∥平面 PDE;③AB ⊥平面 PDE.则所有正确结论的序号是________.解析:取 AC 中点 M,连结 PM、BM.易得 AC⊥PM,AC⊥BM,所以 AC⊥平面 PMB,从而有 AC⊥PB, ①正确;AC∥DE,所以 AC∥平面 PDE,②正确;因为 AB 与 DE 不垂直,所以 AB与平面 PDE 也不垂直, ③不正确.答案:①②8.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题:①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β;②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行;③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直;④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是________( 写出所有真命题的序号) .解析:命题①是两个平面平行的判定定理,正确;命 题②是直线与平面平行的判定定理,正确;命题③中,在 α 内可以作无数条直线与 l 垂直,但 α 与 β 只是相交关系,不一定垂直,错误;命题④中,直线 l 与 α 垂直可推出 l 与 α 内两条直线垂直,但 l 与 α 内的两条直线垂直推不出直线 l 与 α 垂直,所以直线 l 与 α 垂直的必要不充分条件是 l 与 α 内的两条直线垂直.答案:①②三、解答题9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中.PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD.DB 平分∠ADC,E 为 PC的中点,AD=CD.(1)求证:PA∥平面 BDE;(2)求证:AC⊥平面 PBD;证明:(1)设 AC∩BD= H,连结 EH.在△ADC 中,因 为 AD=CD ,且 DB 平分∠ADC,所以 H 为AC 的中点.又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH∥PA.又 EH⊂ 平面 BDE 且 PA⊄平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE.(2)因为 PD⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,所以 PD⊥AC.结合(1) 易知 DB⊥AC.又 PD∩DB=D.故 AC⊥平面 PBD.10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA⊥PD ,底面 ABCD是直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90 ,AD =3BC ,O 是 AD 上一点.(1)若 CD∥平面 PBO,试指出点 O 的位置;(2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.解:(1)因为 CD∥平面 PBO,CD⊂平面 ABCD,且平面 ABCD∩平面 PBO=BO ,所以BO∥CD.又 BC∥AD,所以四 边形 BCDO 为平行四边形,则 BC=DO,而 AD=3BC,故点 O 的位置满足 = ,即在 AD 的 处且离 D 点比较近.ODAD 13 13(2)证明:因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,AB⊂底面 ABCD,且 AB⊥交线 AD,所以 AB⊥平面 PAD,则 AB⊥PD.又 PA⊥PD,且 PA⊂平面 PAB,AB⊂平面 PAB,AB∩PA=A,所以 PD⊥平面 PAB,而 PD⊂平面 PCD,所以平面 PAB⊥平面 PCD.11.如图,已知三棱柱ABC-A 1B1C1 的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由 B 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 A1 的最短路线长为 2 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 D.5(1)求三棱柱 ABC-A 1B1C1 的体积;(2)在平面 A1BD 内是否存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行?证明你的判断;(3)证明:平面 A1BD⊥平面 A1ABB1.解:(1)如图,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B 运动到点 B2 的位置,连结 A1B2,则 A1B2 就是由点 B 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 A1 的最短路线.设棱柱的棱长为 a,则 B2C=AC=AA 1=a.∵CD∥AA1,∴D 为 CC1 的中点.在 Rt△A1AB2 中,由勾股定理得 A1A2+AB =A 1B ,2 2即 a2+4a 2=(2 )2,解得 a=2,5∴S△ABC= 22= .34 3∴VABC-A 1B1C1=S △ABCAA1=2 .3(2)设 A1B 与 AB1 的交点为 O,连结 BB2、OD,则 OD∥BB2.∵BB2⊂平面 ABC,OD⊄平面 ABC,∴OD∥平面 ABC,即在平面 A1BD 内存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行.(3)证明:连结 AD、B1D,∵Rt△A1C1D≌Rt△BCD≌Rt△ACD,∴A1D=BD=B 1D=AD.∴OD⊥A1B,OD⊥AB1.∵A1B∩AB1=O,∴OD⊥平面 A1ABB1.又∵ OD⊂ 平面 A1BD,∴平面 A1BD⊥平面 A1ABB1.
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