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高等数学知识点最全汇总.pdf

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考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 1 一. 函数的概念 1.用变上、下限积分表示的函数 (1)()dttfy x ∫ = 0 ,其中()tf连续,则()xf dx dy = (2)() () () dttfy x x ∫ = 2 1 ϕ ϕ ,其中( )x 1 ϕ,()x 2 ϕ可导,( )tf 连续, 则()[]() ()[]()xxfxxf dx dy 1122 ϕϕϕϕ ′−′= 2.两个无穷小的比较 设() 0lim =xf,() 0lim =xg,且 () () l xg xf =lim (1)0=l,称()xf是比( )xg高阶的无穷小,记以 () ()[]xgxf 0=,称()xg是比()xf低阶的无穷 小。 (2)0≠l,称()xf与()xg是同阶无穷小。 (3)1=l,称()xf与()xg是等价无穷小,记以 () ()xgxf ~ 3.常见的等价无穷小 当0→x时 xx ~sin,xx ~tan,xx ~arcsin,xx ~arctan 2 2 1 ~cos1 xx−,xe x ~1−,()xx ~1ln +, () xx α α ~11 −+ 二.求极限的方法 1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2.两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 (1)若 nn xx ≤ +1 (n为正整数)又mx n ≥(n为正 整数),则Ax n n = ∞→ lim存在,且mA≥ (2)若 nn xx ≥ +1 (n为正整数)又Mx n ≤(n为正 整数),则Ax n n = ∞→ lim存在,且MA≤ 准则2.(夹逼定理)设() () ()xhxfxg ≤≤ 若() Axg =lim,() Axh =lim,则() Axf =lim 3.两个重要公式 公式1.1 sin lim 0 = → x x x 公式2.e n n n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim;e u u u = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim; ()ev v v =+ → 1 0 1lim 4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和 数学二) 当0→x时,() n n x x n xx xe 0 !!2 1 2 +++++=Λ () () () 12 1253 0 !12 1 !5!3 sin + + + + −+++−= n n n x n xxx xx Λ () () () n n n x n xxx x 2 242 0 !2 1 !4!2 1cos +−+−+−=Λ () () () n n n x n xxx xx 01 32 1ln 1 32 +−+−+−=+ + Λ () () 12 12 1 53 0 12 1 53 arctan + + + + + −+−+−= n n n x n xxx xx Λ () ( ) () ( )[ ] ( ) nn xx n n xxx 0 ! 11 !2 1 11 2 + −−− ++ − ++=+ ααααα α α Λ Λ 6.洛必达法则 法则1.( 0 0 型)设(1)() 0lim =xf,( ) 0lim =xg (2)x变化过程中,()xf ′,()xg′皆存在 (3) ( ) () A xg xf = ′ ′ lim(或∞) 则 ( ) () A xg xf =lim(或∞) (注:如果 ( ) ()xg xf ′ ′ lim不存在且不是无穷大量情形,则 不能得出 ( ) ()xg xf lim不存在且不是无穷大量情形) 法则2.( ∞ ∞ 型)设(1)() ∞=xflim,( ) ∞=xglim (2)x变化过程中,()xf ′,()xg′皆存在 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 2 (3) () () A xg xf = ′ ′ lim(或∞) 则 () () A xg xf =lim(或∞) 7.利用导数定义求极限 基本公式: ()() () 0 00 0 lim xf x xfxxf x ′= ∆ −∆+ →∆ [如果 存在] 8.利用定积分定义求极限 基本公式 () ∫ ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞→ 1 0 1 1 lim dxxf n k f n n k n [如果存在] 三.函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类: (1)第一类间断点 设 0 x是函数()xfy =的间断点。如果()xf在间断点 0 x处的左、右极限都存在,则称 0 x是()xf的第一类间断 点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 (2)第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四.闭区间上连续函数的性质 在闭区间[]ba,上连续的函数()xf,有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理1.(有界定理)如果函数()xf在闭区间[ ]ba,上 连续,则()xf必在[]ba,上有界。 定理2.(最大值和最小值定理)如果函数()xf在闭 区间[]ba,上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和 最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下: 定义 设()Mxf = 0 是区间[]ba,上某点 0 x处的函数 值,如果对于区间[ ]ba,上的任一点x,总有( ) Mxf ≤, 则称M为函数( )xf在[ ]ba,上的最大值。同样可以定义最 小值m。 定理3.(介值定理)如果函数()xf在闭区间[ ]ba,上 连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m 和M之间的任何实数c,在[]ba,上至少存在一个ξ,使 得 () cf =ξ 推论:如果函数( )xf在闭区间[]ba,上连续,且( )af 与( )bf异号,则在( )ba,内至少存在一个点ξ,使得 () 0=ξf 这个推论也称为零点定理 五.导数与微分计算 1.导数与微分表 () 0= ′ c ( ) 0=cd ( ) 1 − = ′ αα α xx(α实常数)( ) dxxxd 1 − = αα α(α实常数) () xx cossin = ′ xdxxd cossin = () xx sincos −= ′ xdxxd sincos −= () xx 2 sectan = ′ xdxxd 2 sectan = () xx 2 csccot −= ′ xdxxd 2 csccot −= () xxx tansecsec = ′ xdxxxd tansecsec = () xxx cotcsccsc −= ′ xdxxxd cotcsccsc −= () ax x a ln 1 log = ′ ( )1,0 ≠> aa ax dx xd a ln log = ( )1,0 ≠> aa () x x 1 ln = ′ dx x xd 1 ln = ( ) aaa xx ln= ′ ( )1,0 ≠> aa adxada xx ln= ( )1,0 ≠> aa 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 3 () xx ee = ′ dxede xx = () 2 1 1 arcsin x x − = ′ dx x xd 2 1 1 arcsin − = () 2 1 1 arccos x x − −= ′ dx x xd 2 1 1 arccos − −= () 2 1 1 arctan x x + = ′ dx x xd 2 1 1 arctan + = () 2 1 1 cot x xarc + −= ′ dx x xdarc 2 1 1 cot + −= ( )[] 22 22 1 ln ax axx + = ′ ++ ( ) dx ax axxd 22 22 1 ln + =++ ( )[] 22 22 1 ln ax axx − = ′ −+ ( ) dx ax axxd 22 22 1 ln − =−+ 2.四则运算法则 () ()[]() ()xgxfxgxf ′′= ′ () ()[]()() () ()xgxfxgxfxgxf ′+′= ′ ⋅ () () ()() () () ()xg xgxfxgxf xg xf 2 ′−′ = ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ () 0≠xg 3.复合函数运算法则 设()ufy =,()xu ϕ=,如果()xϕ在x处可导,( )uf 在对应点u处可导,则复合函数()[]xfy ϕ=在x处可导, 且有 ()[]()xxf dx du du dy dx dy ϕϕ ′′== 对应地() ()[]()dxxxfduufdy ϕϕ ′′=′= 由于公式()duufdy ′=不管u是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4.由参数方程确定函数的运算法则 设()tx ϕ=,()ty ψ=确定函数()xyy =,其中( )tϕ′, ( )tψ′存在,且( ) 0≠′ tϕ,则 ( ) ()t t dx dy ϕ ψ ′ ′ = ( )( )0≠′ tϕ 二阶导数 () () () () ()[] 32 2 1 t tttt dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx yd ϕ ϕψϕψ ′ ′′′−′′′ =⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5.反函数求导法则 设( )xfy =的反函数()ygx =,两者皆可导,且 ( ) 0≠′ xf 则 () () ()[]ygfxf yg ′ = ′ =′ 11 ( )( )0≠′ xf 二阶导数() ()[] () dx dy dx xf d dy ygd yg 1 1 ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ = ′ =′′ ( ) ()[] ( )[ ] ()[]{} 33 ygf ygf xf xf ′ ′′ −= ′ ′′ −= () 0≠′ xf 6.隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0, =yxF所确定,求y′的方 法如下: 把( ) 0, =yxF两边的各项对x求导,把y看作中间变 量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允 许出现y变量) 7.对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导 方法得出导数y′。 对数求导法主要用于: ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数()[] ()xg xfy =常用的一种方法 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 4 () ()xfxg ey ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8.可微与可导的关系 ()xf在 0 x处可微()xf⇔在 0 x处可导。 9.求n阶导数(2≥n,正整数) 先求出,,, Λyy ′′′总结出规律性,然后写出 ( )n y,最后 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 (1) x ey = () xn ey = (2)()1,0 ≠>= aaay x () () nxn aay ln= (3)xy sin= () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 sin πn xy n (4)xy cos= () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 cos πn xy n (5) xy ln= ( ) ()( ) nnn xny −− −−= !11 1 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式 ()()[] () () () () () ∑ = − = n k knkk n n xvxuCxvxu 0 其中 ()!! ! knk n C k n − =, () () ( )xuxu = 0 , () () ()xvxv = 0 假设()xu和()xv都是n阶可导。 微分中值定理 一.罗尔定理 设函数()xf满足 (1)在闭区间[]ba,上连续; (2)在开区间()ba,内可导; (3)() ()bfaf = 则存在()ba,∈ξ,使得() 0=′ξf 二.拉格朗日中值定理 设函数()xf满足 (1)在闭区间[ ]ba,上连续; (2)在开区间( )ba,内可导; 则存在( )ba,∈ξ,使得 ( ) ( ) ()ξf ab afbf ′= − − 或写成( ) ( )()()abfafbf −′=− ξ ( )ba <<ξ 有时也写成( )() ( ) xxxfxfxxf ∆⋅∆+′=−∆+ θ 000 ( )10 <<θ 这里 0 x相当a或b都可以,x∆可正可负。 推论1.若( )xf在( )ba,内可导,且( ) 0≡′ xf,则( )xf 在( )ba,内为常数。 推论2.若( )xf,()xg在()ba,内皆可导,且 ( ) ( )xgxf ′≡′,则在( )ba,内() () cxgxf +=,其中c为 一个常数。 三.柯西中值定理(数学四不要) 设函数( )xf和( )xg满足: (1)在闭区间],[ ba上皆连续; (2)在开区间( )ba,内皆可导;且( ) 0≠′ xg 则存在( )ba,∈ξ使得 ( ) ( ) () () ( ) ()ξ ξ g f agbg afbf ′ ′ = − − ()ba <<ξ (注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特 殊情形( ) xxg =时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理。) 四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二) 定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式) 设( )xf在 0 x处有n阶导数,则有公式 () ( ) ( ) () ( ) () () ( ) ()()xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n n n +−++− ′′ +− ′ += 0 02 0 0 0 0 0 !!2!1 Λ 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 5 () 0 xx → 其中() ( )[ ] n n xxxR 0 0 −= () 0 xx →称为皮亚诺 余项。 () () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − → 0lim 0 0 n n xx xx xR 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不 同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如 ()xxxe x +1ln,cos,sin,和() α x+1(α为实常数)等的n 阶泰勒公式都要熟记。 定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式) 设()xf在包含 0 x的区间()ba,内有1+n阶导数,在 []ba,上有n阶连续导数,则对[ ]bax ,∈,有公式 () ( ) () () () () () () ()()xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n n n +−++− ′′ +− ′ += 0 02 0 0 0 0 0 !!2!1 Λ 其中() () () () () 1 0 1 !1 + + − + = n n n xx n f xR ξ ,(ξ在 0 x与x之 间) 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以 0 x为中心的n阶泰勒公式。当 0 0 =x时,也称为n阶麦克劳林公式。 如果() 0lim = ∞→ xR n n ,那么泰勒公式就转化为泰勒级 数,这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用: 一.基本知识 1.定义 设函数()xf在()ba,内有定义, 0 x是()ba,内的某一 点,则 如果点 0 x存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点 () 0 xxx ≠,总有() ( ) 0 xfxf ,则称() 0 xf为函数( )xf 的一个极小值,称 0 x为函数()xf的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。 2.必要条件(可导情形) 设函数( )xf在 0 x处可导,且 0 x为( )xf的一个极值 点,则( ) 0 0 =′ xf。 我们称x满足( ) 0 0 =′ xf的 0 x为()xf的驻点可导函 数的极值点一定是驻点,反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点 中进一步去判断。 3.第一充分条件 设( )xf在 0 x处连续,在δ<−′ xf,而在( )δ+ 00 , xx内的任一点x处,有 ( ) 0<′ xf,则( ) 0 xf为极大值, 0 x为极大值点; 2 如果在( ) 00 , xx δ−内的任一点x处,有 ( ) 0′ xf,则( ) 0 xf为极小值, 0 x为极小值点; 3 如果在( ) 00 , xx δ−内与()δ+ 00 , xx内的任一点 x处,( )xf ′的符号相同,那么() 0 xf不是极值, 0 x不是 极值点。 4.第二充分条件 设函数( )xf在 0 x处有二阶导数,且( ) 0 0 =′ xf, ( ) 0 0 ≠′′ xf,则 当( ) 0 0 ′′ xf时,() 0 xf为极小值, 0 x为极小值点。 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 6 二.函数的最大值和最小值 1.求函数()xf在[]ba,上的最大值和最小值的方法 首先,求出()xf在()ba,内所有驻点和不可导点 k xx ,, 1 Λ,其次计算() ( )()()bfafxfxf k ,,,, 1 Λ。 最后,比较() ()( )()bfafxfxf k ,,,, 1 Λ, 其中最大者就是()xf在[]ba,上的最大值M;其中最 小者就是()xf在[]ba,上的最小值m。 2.最大(小)值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间, 然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。 三.凹凸性与拐点 1.凹凸的定义 设()xf在区间I上连续,若对任意不同的两点 21 , xx, 恒有 () ()[] () ()[] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 21 21 21 21 2 1 22 1 2 xfxf xx fxfxf xx f 则称()xf在I上是凸(凹)的。 在几何上,曲线()xfy =上任意两点的割线在曲线下 (上)面,则()xfy =是凸(凹)的。 如果曲线()xfy =有切线的话,每一点的切线都在曲 线之上(下)则()xfy =是凸(凹)的。 2.拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。 3.凹凸性的判别和拐点的求法 设函数()xf在()ba,内具有二阶导数()xf ′′, 如果在()ba,内的每一点x,恒有() 0>′′ xf,则曲线 ()xfy =在()ba,内是凹的; 如果在()ba,内的每一点x,恒有() 0 aa Cedxe xx += ∫ 4. ∫ += Cxxdx sincos 5. ∫ +−= Cxxdx cossin 6.Cxdx x xdx +== ∫∫ tan cos 1 sec 2 2 7.Cxdx x xdx +−== ∫∫ cot sin 1 csc 2 2 8.Cxxdxx += ∫ secsectan 9.Cxxdxx +−= ∫ csccsccot 10.Cxxdx +−= ∫ coslntan 11.Cxxdx += ∫ sinlncot 12.Cxxxdx ++= ∫ tanseclnsec 13.Cxxxdx +−= ∫ cotcsclncsc 14. ∫ += − C a x xa dx arcsin 22 ()0>a 15.C a x axa dx += + ∫ arctan 1 22 ()0>a 16.C xa xa axa dx + − + = − ∫ ln 2 1 22 ()0>a 17.Caxx ax dx ++= ∫ 22 22 ln ( )0>a 二.换元积分法和分部积分法 1.第一换元积分法(凑微分法) 设() () CuFduuf += ∫ ,又()xϕ可导,则 ()[]() ()[]() () ()duuf xu xdxfdxxxf ∫∫∫ = =′ ϕ ϕϕϕϕ 令 () ()[]CxFCuF +=+= ϕ 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”,也就 是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式: (1)() ()() ∫∫ ++=+ baxdbaxf a dxbaxf 1 ( )0≠a (2)( ) ()( ) ∫∫ ++=+ − baxdbaxf na dxxbaxf nnnn 1 1 ( )0,0 ≠≠ na (3)() ()()xdxf x dx xf lnlnln ∫∫ = (4) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫∫ x d x f x dx x f 111 2 (5)( ) ()() ∫∫ = xdxf x dx xf 2 (6)( ) ()() ∫∫ = xxxx adaf a dxaaf ln 1 ( )1,0 ≠> aa ( )()() ∫∫ = xxxx edefdxeef (7)( )()( ) ∫∫ = xdxfxdxxf sinsincossin (8)( )()( ) ∫∫ −= xdxfxdxxf coscossincos (9)( )()( ) ∫∫ = xdxfxdxxf tantansectan 2 (10)( )()( ) ∫∫ −= xdxfxdxxf cotcotcsccot 2 (11)( )()( ) ∫∫ = xdxfxdxxxf secsectansecsec (12)( ( ) ∫∫ −= xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc (13) ( ) ()() ∫∫ = − xdxfdx x xf arcsinarcsin 1 arcsin 2 (14) ( ) ()() ∫∫ −= − xdxfdx x xf arccosarccos 1 arccos 2 (15) ( ) ()() ∫∫ = + xdxfdx x xf arctanarctan 1 arctan 2 (16) ( ) ()() ∫∫ −= + xarcdxarcfdx x xarcf cotcot 1 cot 2 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 8 (17) ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x d x fdx x x f 1 arctan 1 arctan 1 1 arctan 2 (18) ( )[ ] ( )[]( )( ) ∫∫ ++++= + ++ 2222 22 22 lnln ln axxdaxxfdx ax axxf ()0>a (19) ( )[ ] ()[]() ∫∫ −+−+= − −+ 2222 22 22 lnln ln axxdaxxfdx ax axxf ()0>a (20) () () () Cxfdx xf xf += ′ ∫ ln () 0≠xf 2.第二换元积分法 设()tx ϕ=可导,且() 0≠′ tϕ,若 ()[]() () CtGdtttf +=′ ∫ ϕϕ, 则 () () ()[]() () ()[ ] CxGCtGdtttf tx dxxf +=+=′ = ∫∫ −1 ϕϕϕ ϕ令 其中()xt 1− =ϕ为()tx ϕ=的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数,通过 换元把根式去掉,其常见的变量替换分为两大类: 第一类:被积函数是x与 n bax+或x与 n dcx bax + + 或 由 x e构成的代数式的根式,例如bae x +等。 只要令根式() txg n =,解出()tx ϕ=已经不再有根 式,那么就作这种变量替换( )tx ϕ=即可。 第二类:被积函数含有()0 2 ≠++ ACBxAx, 如果仍令tCBxAx =++ 2 解出()tx ϕ=仍是根号,那 么这样变量替换不行,要作特殊处理,将0>A时先化为 ()[] 22 0 lxxA −,0
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