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天津理工电路习题及答案第八章相量法.docx

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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第八章相量法8.1学习指导8.1.1学 习 要 点(1) 正 弦量及 其三要 素 。(2) 相 位差的 概念。(3) 相 量的概 念及其 性 质。(4)KCL 、 KVL 的相 量 形式。(5)R 、 L 、 C元 件 VAR 的相量形式。8.1.2 内容 概 述1 . 正 弦量1) 正弦量 的时域 表达式 ( 以 i 为例 ) :iI m cos( t)①2) 正弦量 的三要 素、有 效值的定 义(1) 角 频率、 频率、 周期 ( 要素之 一 )d( t)量单位时间内变 化的电 角度,角频 率:,即正弦dt单位:rad / s(弧度 / 秒 )。频率 : f — 单位时间内正弦量变化的 周波数 ,单位:H Z周期 : T — 正弦波变化一次所需要的 时间, 即一个完整周波 在时间 轴上的宽度 ,单位 : s、 ms 、 s、 f 、 T 之间的关系:2 f1或1fTTf(2) 最大值、有效值 (要素之二 )式①中:I m — 最大值; I — 有效值。有效值的定义:若i 为周期性电流函数( 不一定是正弦量),则 i 有效值的定义式为1Ti2dtIT0上式可写成:含义是:对同一电阻R ,在周期 T 内, i 通过 R 时产生的热量与恒定电流I 通过 R 时产生的热量相等。正弦量:I m2 I对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i 的定义式相同。(3) 相位角、初相角 (要素之三 )相位角:t,单位:rad 或 (o )(弧度或度) 。初相角:,单位:rad 或 (o )( 弧度或度) 。注意:正弦量的一个周期对应的相位角为2rad或 360 o3) 相位差相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念,设两个正弦量分别为f1f 1 m cos( t1 )f 2f 2m cos( t2 )则 f 1 与 f 2 之间的相位差定义为12(t1 ) - (t2 ) =12②1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设12则:(1) 当12> 0时,称f 1越前 (超前 )f 2 ( 12 角 ),或 f 2 滞后 f1( 12 角 )。(2) 当12< 0时,称f 1滞后 f 2 (12 角 ) ,或 f 2 越前 f 1 ( 12角 )(3) 特例:当 12 =0 o 与 f 2 同相。当12=90 o时,称f 1 与 f 2 正交。当12=180 o 时,称f 1 与 f2 反相。注意: (1) 一般情况下只有两个正弦量同频时,求相位差或进行相位比较才有实际意义。(2) 利用式②求相位差时,两个正弦量的表达形式要一致,同为正弦形式或余弦形式,且f1 m > 0, f 2m > 02.相量法的基本概念线性动态电路的描述方程是微分方程,求解微分方程的正弦稳态解(特解 ),在高等数学微分方程求解中是通过待定系数法进行的。这种方法非常繁琐,为此,电路中引入相量概念,通过相量法使常微分方程的正弦稳态求解问题变为复数的代数方程求解问题,这不仅计算简化,书写方便,而且使正弦稳态电路物理概念更加突出。1) 正弦量的相量设正弦量:u2U cos( tu )将 u 的有效值作为幅值,,u 的初相角作为辐角所构成的复数:Ue j u 简记为.UU ∠ u②.则称 U 是正弦量u 的有效值相量,简称相量。U 上加相量是一个特殊的复数,它与一个正弦量相对应,其代表符号为在对应正弦量有效值.“”2) 相量的正弦量.设相量 UU ∠u ,正弦量u 的角频率为(已知 ) 。..若将 U 的幅值 U 作为正弦量u 的有效值,U 的轴角u 作 u 的初相角而构成的正弦量:u2U cos( tu )③.则称 u 是相量 U 对应的正弦量。M 变换。可以将正弦量与相量的关系看成是一种数学变换。为了叙述方便,将这种变换称为正 弦 量相 量 是 M 正 变换;相量正弦量是 M 反变换。.3) u 与 U 关系.u 与 U 的关系式为.2Ue j ( tu )uRe 2e j t URe2U cos( tu )④式中: Re— 表示取实部。.2e j t.Ue ju 是复指数函数2e j t .Ue jUU ∠ u 是复指数函数u 复常数部分,而u 的实部。4)M 变 换 ( 正 弦 量相量 )的性质表 8— 1列 出 了 M 变 换 ( 正 弦量相量 )的几条常用性质,这些性质可以用式④证明。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯表 8 — 1性质名称正弦量相量假设条件df.微分性质jF.dtf2 F cos(t)FF ∠u积分性质f ( t )dt1 .jF.F1 ∠f12 F 1 cos(t1 )F 11叠加性质f1 f 2F 1 F 2k、k1、 2 — 实常数.比例性质kfk Fk线性性质k1 f 1 k2f 2..k1 F1 k2 F 23、电路定律的相量形式R、L、C的伏安关基尔霍夫定律(KCL 、 KVL ) 的时域形式与相量形式(频域形式)和元件系 (VAR) 的时域形式与相量形式如表8-2所示。表中的相量形式可用M 变换 (正弦量相量 )的性质 证明。表 8-2KL 和元件 VAR 的时域形式与相量形式定律时域形式相量形式KCLi0i0KLu0.KVLU0RuRRi R 或 iGGuG....U RR I R或 I GGU Gdi L1...1.元件的LuL或 iLuL dtU Lj L I L 或 I LU LLj LVARdtLduC.1...C1 i C dt或 i CU CI C或 I Cj C U CuCj CC8.2Cdt例题8.2.1正弦量例题 8-1已知正弦电流的I=2 A ,i =30o, f =50H Z ,求 该正弦量的最大值、角频率;写出该电流的正弦量函数式;画出其波形图。解:最大值:I m2 2 A角频率:=2πf ≈314rad/si =π /6正弦量函数式:i2 2 cos(314t/ 6 )Ai 波形图如图L8-1 所示。图 L8-1例题 8-2求下面各组正弦量的相位差,并说明越前、滞后的关系。( 1 ) u1220 2 cos(t 120 0 )Vu2220 2 cos( t120 0 )V( 2 ) i 10 cos(t130 0)Au200 sin( t )V( 3 ) i130 sin(t20 0)Ai 240 sin( 3t50 0 ) A解:( 1)12 =- 120 o - 120 o=- 240 o将 12 转化为: 0~180 o 范围,则有:12 =360 o- 240 o =120 o所以 u1 越前 u2 120 o,或者说u2 滞后 u1 120 o。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( 2 )计算相位差前,应先将两正弦量统一成余弦或正弦形式;u200 sin(t )200 cos(t900 ).=i —u = - 130 o-( — 90o ) =— 40oI U所以 i滞后 u 40o 。( 3 )由于 i 的角频率为=,而 i 2 的角频率为=3, i 1 与 i2 的频率不同,相位差是一个时间函数,不能判定越前、滞后。8.2.2相量例题 8-3求下列正弦量的相量;画出相量图;根据相量求其相位差,并说明越前、滞后的关系。i114.14 cos(t30 0 )A ;u12 20 sin(t30 0)V解:(1 ) u12 20 sin(t30 090 0)V=2 20 cos(t60 0)Vi1 的相量式.( 14.14 / 1.414 ) ∠ 30 oA=10 ∠ 30 oAI 1u1 的相量式.20 ∠ -60 oVU1..( 2) I 1 、 U 1 的相量图如图L8-3所示。( 3) i1 与 u1 的相位差为=30 o-( -60o ) =90 o图 L8-3所以 i 1 越前 u1 90 o,或者说u1 滞后 i 1 90o。例题 8-4在图 L8-4 所示电路中,已知u s1200 sin(t10 0 )V , u s1 300 sin( t)V ,试求:( 1)30 0 时的 u AB ;( 2)在可调时, AB 两端电压为最大值和最小值时的值及相应的电压幅值 uABm 。解:( 1 ) uABus1us2用相量计 算.200.300300 VU s1 m100V ,U s2 m...U ABmU s1mU s 2m=200 ∠ -10 o+300 ∠ -30 o=197+j17.4+259.8-j150=456.8-j132.6o( V )=475.8 ∠ -16.2图 L8-4uAB = 475.8 sin(t16.2 0 )V( 2)当 us1 与 us2 同相位时,即10 0 时, AB 间电压最大,其幅值为uABm = U S 1mU S 2 m( 200300 )V500V当 us1 与 us2 反相位时,即 10 o -180 0 ,170 0 时, AB 间电压最小,其幅值为uABm = U S2 mU S 1m( 300300 )V 100V3. 电路定律的相量形式例题 8-5在图 L8-5所示的 RL 串联电路中,已知:i 2 2 cos( t 30 0 ) A , R=100Ω , L=0.5H,f =50H Z。求 总电压: uuRuL 。解:由 KVL 得uuRuL = RiL didt利用相量概念及性质:4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.oI2 ∠ — 30 V....U = R Ij L I( R j L ) I=( 100+j3140.5 ) Ω2 ∠ — 30o A=186.14 ∠ 57.5 o2∠ — 30 o V=372.3 ∠ 27.5oV所以u2 372.3 cos(314t 27.5 0 )V例题8-6 在图 L8-6( a)所示电感元件的正弦交流电路中,L=200Mh ,f =50H Z:( 1)已知 i7 2 sin t ,求电压 u ;.254 ∠ — 30 oV ,求电流.( 2)已知 UI,并画出相量图解:( 1)当f =50H Z 时X L =2πfL=2 3.14 500.2 Ω =62.8 Ω..oU jX L I =j62.8 Ω7A=439.6 ∠ 90 V所以u = 439.62 sin(t90 0 )V.( 2 ) U 254 ∠ — 30 oV.0.I = U25430V4.04120 0 AjX Lj62.8相量图如图 L8-6( b)所示。例题 8-7已知图 L8-7 ( a)电路中,各并联支路中电流表的分别为第一只25 A :( 1) 求图示电路中电流表A 的读数( 2) 画出电压电流相量图.0 0 V ,则解: 设 R的电压 UU..UUIL =jj 20 AjLL。。I CjC UjCUj 25 A...II RI LI C5j 20j 25 A= 5+ j5A=52 ∠ 45 oA≈ 7.07∠ 45 oA所以电流表 A 的读数为 7.07A( 2 )相量图如图L8-7 ( b)。也可先画出相量图,由相量图可知:II 2 R( I L225 25 2 A 7.07 AI C )图 L8-5图 L8-65A, 第二只 20 A, 第三只图 L8-7典型习题8-1、图示电路中,已知电流表A 1读数为 10A ,电压表 V 1 读数为 100V ,试用相量图求电流表A 2和电压表 V 2读数。(答案:电流表 A 2读数为 10A ,电压表 V 2 读数为 100 2 V )5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8-2 、 图 示 电 路 中 , 试 确 定 方 框 内 最 简 单 串 联 组 合 和 并 联 组 合 元 件 值 。 已 知 u( t ) 10 cos2tV , i( t ) 2 cos(2t 600 )A 。 [ 答案: Y0 ( 1.39 j0.92 ) S , G =1.39S,L=0.543H]8-3、如图所示,已知 U=380V , f=50H Z, 取 C使开关 K 闭合与断开时电流表读数均为0.5A ,求 L 。(答案: L=1.2H )8-4、图示电路中,1>C , I1=4A , I2=5A ,则 I= ?(答案: I=1A )L18-5、已知u1502 cos(t30 0)V ,u2302 cos(t )V ,u3402 sin(t600)V用相量法求 uu1u2u3[ 答案: u21.92 2 cos(t166.81 0 )V ]8-6、 RLC 串联电路如图所示,u为正弦电压,设电路已处于稳态,求各元件电压有效值之间的关系式。(答案: UU 2 R(U LU C )2 ,上述关系也可从相量图得出)6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8-7、图示电路中, R1=6Ω,L=0.3H ,R2=6.25Ω,C=0.012F , u 10 2 cos(10 t ) ,求稳态电流 i1 、 i 2 和 i 3 ,并画出电路的相量图。(答案: i 1 =2 cos(10t )A , i2 = 0.8 2 cos(10t36.87 0 ) A , i 3 = 0.6 2 cos(10 t53.13 0 ) A ;相量图:8-8、图示电路, 已知 us ( t ) 200 2 cos(100 t)V ,电流表的读数为2A ,两个电压表的读数均为200V ,3试求元件参数 R、L 和 C。(答案: R=86.603 Ω, L=0.159H ,C=31.831F )7
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