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大学物理课件-波动部分.ppt

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1、5.5 波动的基本特征 平面简谐波的波函数 (The basic character of wave motion and wave function of simple harmonic plane wave),5.5.1 波的产生与传播 5.5.2 波动的几何描述 5.5.3 描述波动的物理量 5.5.4 平面简谐波的波函数,(1),5.5.1 波的产生与传播 (The form and propagation of wave),1.机械波的产生与传播,机械波产生与传播的条件: 波源(source of waves) 媒质(medium),(2),所谓波动就是。

2、振动在空间的传播, 波传播到的空间称为波场(wave field), 波场中任意点的物理状态随时间作周期性的变化。,弹性媒质中,机械振动由近及远地传播出去,形成机械波。,横波 质点振动方向 波的传播方向(仅在固体中),注意,波的传播是振动状态或相位、能量(而不是质点)的迁移,横波与纵波(transverse and longitudinal waves ),(3),纵波 质点振动方向 // 波的传播方向 (固液气中),1.波面(wave surface)和波前(wave front): 在波场中某一时刻, 振动相位相同的点形成的曲面称 为波面, 最前面的波面称为波前(也叫波阵面)。,2.波线(。

3、wave line): 波的传播方向称为波射线, 简称波线。,各向同性均匀媒质中波线总是垂直于波面,5.5.2 波动的几何描述 (Geometrical description of wave motion),(4),平面波,波线,,,球面波,柱面波,波面,波线,波面,波线,,,,,,,,波面,,1.波长(wavelength): 同一波线上相位差为 2 的两点 之间的距离。,2.周期T: 波传播一个波长距离所需的时间 或一个完整波通过波线上某一点所用时间,(5),5.5.3 描述波动的物理量 (The physical quantum of describing 。

4、wave motion),3.频率 :单位时间内波所传播距离中所含完整波的数目 或单位时间内通过波线上某一点完整波的数目,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4.波的传播速度(velocity of wave) : u,波速:振动状态在空间中传播速度或相速(phase velocity),机械波的波速决定于媒质特性: 惯性: 弹性: 弹性模量(线变,切变等),线变模量(又叫杨氏模量)(Y),(6),l/l: 线应变,F/S: 应力,固体中纵波的波速:,胡克定律,2) 波速 u 与振动速度 dy/dt 的区别。,3) 波速 u 仅与媒质的性质有关, 而与波。

5、源无关。,4) 频率 与波源的性质有关, 而与媒质无关。,5) 波长 = u/ 与波源和媒质有关。,注意,(7),1) 波长反映了波的空间周期性。 周期表征了波的时间周期性。,,(8),5.5.4 平面简谐波的波函数(重点) (The wave function of simple harmonic plane wave),,,1.平面简谐波的波函数,空间中任意点的位移随时间的变化称为波函数。,其数学函数为,波线,波线,简谐振动在空间的传播所形成的波, 称为简谐波(simple harmonic wave) 。,波面为平面的简谐波称为平面简谐波。,(2) 平面简谐波各处振幅相同。,说明,(1。

6、) 复杂的波可分解为一系列简谐波;,,u,P(x),(1)沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数:,y波射线上某质元离开平衡位置的位移,设己知O点振动方程,P点振动方程:,(9),约定:,O点振动状态传到P点,需时间:,波函数或波动表达式,,,或,角波数(angular wave number),角波数的意义:1)2长度内所含完整波长的数目; 2)相间单位长度的二个质元的相位差。,或,(10),波函数中, 和 kx + 的物理意义?,时间周期性的量,空间周期性的量,每经过一个周期T, 波就向前推进一个波长 。,形象地说:波动是许多质元以一定的相位关系进行 的集体振动。,(2)沿。

7、x轴负方向传播平面简谐波的波函数:,设己知O点振动方程,P(x),,u,(11),或,或,P点振动方程:,P点振动状态比O点超前时间:,波函数或波动表达式,波函数给出x = x0位置的质元振动方程 , 即 y = y(x0 , t),(2)当 t = t0 取一定值时,,已知任意点 x0 的振动方程 y = Acos(t + ), 波函数为,波函数给出波线上任意 x 处质元在t = t0时刻的位移, 即y = y(x, t0) 波形方程, 可绘出波形图(y-x图)。,2.讨论波函数的意义: (1)当 x = x0 取一确定的值时,,(12),(3)更一般的平面简谐波的波函数,(3) x, t 。

8、均为变量时,波函数给出波线上任一质元在任一时刻的位移。,t 时刻x处相位:,t + t 时刻 x + x 处相位:,说明经历 t 某相位从 x 处传到 x + x 处。,可见振动状态(相位)沿波线在向前传播, 所以称为行波(traveling wave),(13),1.己知波函数1)求: A、、、u; 2)画任一时刻波形图; 3)画任一质元振动图。,2.己知某时刻波形图 1)能写出波函数; 2)画出另一时刻波形图。,3.己知某质元振动图 1)可写出该质元振动方程; 2)写出波函数。,(14),4.求相位差,熟练掌握,(15),例1:己知。

9、x = 1m处质元的振动方程: y = Acos(t + /2) 波速为u, 求:沿x轴正(负)方向传播的波的波函数?,解:用相位传播和相位差概念写出任意质元的振动方程,1,P,,u,P点比x=1m点的相位落后(x1)/u,即1P=(x1)/u,2)波沿x轴负方向传播,1,P,,P点比x=1m点的相位超前(x1)/u,u,波源在什么位置? 若波源在 x=1m处, 如何?,1)沿x轴正方向传播的波,1 P,例2: 一根很长的弦线中传播的横波,波函数为: y = 6.0cos(0.02x + 4t)式中x , y 单位:cm t 单位:s 求1) A, , , u; 2) t = 4.2s时各波。

10、峰位置的坐标, 计算此时离原点最近一个波峰的位置, 该波峰何时通过原点? 3)写出质元振动速度表达式; 4) t = 2s 时的波形图。,解: 1) 与y = Acos(t + 2x/)比较,得,(16),A=6.0cm, 2/= 0.02 = 100cm =/2 =2Hz u = = 200cm/s,2) t = 4.2s时各波峰位置由位移y = 6.0cm决定,即,0.02x + 44.2= 2k,x =100k840 k=0,1,2,,k = 8时, x = 40cm离原点最近。,设此波峰在t 时通过原点, 即 0.020 + 4t = 28,t=4s,3)位于x处的质元的振动速度为,。

11、4) t = 2s时,(17),t=2s,,或用旋转矢量法:, = 0,由y = 6.0cos(0.02x),例3: 一列波, = 500Hz, u = 350m/s 求1)同一时刻相位差为/2的二个质元最近距离; 2)同一质元相间10-3s的二个位移的相位差是多少?,2),(18),解:1),例4:平面简谐波沿x轴负向传播,图为 t = 0 时的波形图 己知u=12m/s,求1)A, , T; 2)波函数; 3) t = 1/60s 波形图,解:1) A= 5cm,2),,,,y,(19),x = 0的振动方程:,波函数:,,(20),3) t = 1/60 s时波形图:,,,t = 0。

12、,t =1/60s,,,,或利用行波的概念, 波形曲线向左移动的距离为,x = u t = 20 cm,例5:一简谐波沿x轴正向传播, T = 4s, = 4m, x = 0 处 质元振动曲线如右图, 求: (1)写出x = 0处质元振动方程 (2)写出波动表达式 (3)画出t = 1s时刻波形图,,,y,,,解:(1),(2),(3) t = 1s时方程,(21),,,,5.6 波的能量(energy of wave),目的: 讨论波是如何传播能量的?,5.6.1 波的能量传播特征 5.6.2 波的能流与能流密度,(22),棒上取小质元ab:长 dx (小质元的自然长度),某时刻 t , a。

13、离开其平衡位置 x 处的位移: y b离开其平衡位置 x + dx 处的位移: y + dy,ab质元的伸长量: dy; ab质元的线应变: y/x,1.波的能量(wave energy),以平面简谐纵波为例,细棒:截面: S 质量密度: ,纵波沿棒长度方向传播,(23),5.6.1 波的能量传播特征 (The transmitting character of wave energy),(1),(2),(3),由(1)得:,由(2)得:,由(3)得:,(24),因质元ab很小,ab上各点振动速度视为相等(设为v),ab质元中能量:,,,代入上式得:,(25),注意: 质元的势能由质元。

14、的线应变决定,1)波动过程中,质元中的动能与势能总是“相等且同相”, 即同时达到最大, 又同时达到最小。,定量分析:,速度最大时:,质点过平衡位置时动能最大!,此时的线应变(决定势能):,也最大!,同理可证: 质元动能最小时, 势能也最小。,注意,(26),2)质元中的机械能(是否守恒?),每个质元不断地从前方吸收能量, 向后方放出能量, 随波形的传播伴随着能量传播。,质元中的能量随时间周期性变化;,注意:波动中质元的动能和势能的这种关系不同 于孤立的振动系统。,(27),2.波的能量密度(energy density of wave),波的能量密度: 波场中单位体积内的能量,平均能量密。

15、度:,弹性波均成立,(28),(29),5.6.2 波的能流与能流密度 (The energy flow and energy flow density of wave),(u与S垂直),平均能流 :,能流在一个周期内平均值,波的能流P: 单位时间内通过媒质中某面积(S)的能量称为通过该 面积的能流。,1.波的能流与平均能流 (energy flow and average energy flow of wave),2.波的能流密度与平均能流密度(energy flow density and average energy flow density of wave),能流密度:通过垂直于波。

16、动传播方向单位面积的能流,平均能流密度或波的强度(wave intensity) I,定义:能流密度在一个周期内的平均值,(30),各类波都适用(如机械波,电磁波等),波的强度为通过垂直波动传播方向单位面积的功率,单位: W/m,例6: 试证明在均匀无吸收的媒质中传播,球面波的振幅 满足: A1r1= A2r2 ; 其中A1表示离波源的距离为r1处的 振幅, A2表示离波源的距离为r2处的振幅。,证: 由能量守恒,可知在一个周期内通过S1和S2面的能量相等。,设I1为r1处的平均能流密度, I2为r2处的平均能流密度, 则,I1S1T = I2S2T,(31),说明: 均匀无吸收媒质中,平面波。

17、振幅满足: A1=A2,设r1=1m时,振幅为A1,则球面简谐波的波函数为,5.7 波的叠加(superposition of waves),(32),5.7.1 惠更斯原理 5.7.2 波的叠加原理 5.7.3 波的干涉 5.7.4 驻波 5.7.5 半波损失,(33),5.7.1 惠更斯原理(Huygens principle),惠更斯(C.Huygens, 1629-1695)荷兰人,球面波,,平面波,惠更斯原理: 波的传播过程中,波阵面(波前)上的每一点 都可看作是发射子波的波源, 在其后的任一时刻, 这些 子波的包迹面(即子波的共切面)就成为新的波阵面。,,,,,,t+t 波面,t+。

18、t 波面,t 时刻波面,t 时刻波面,(34),用惠更斯原理解释波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物时,能够绕过障碍物边缘而传播的现象称为波的衍射(diffraction of wave)。,5.7.2 波的叠加原理 (superposition principle of waves),波的独立性: 一列波的振幅、频率、波长、振动方向和传播方向, 不因其它波的存在而有所改变。,波的叠加原理: 几列波在传播过程中相遇时, 相遇点的振动位移为各波单独引起振动位移的矢量和。,波的叠加原理对强度很大的波不适用。,注意,(35),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5.7.3 波的干涉(inter。

19、ference of wave),(36),1.干涉现象: 两列波在空间相遇处合振动出现 稳定的加强或减弱的现象,2.相干波源(coherent wave sources):,相干波源s1,s2振动方程:,(37),3.相长干涉和相消干涉:,二列波单独在P点引起的振动分别为:,P点合振动:,(38),注意,1),最大, 相长干涉(constructive interference),最小, 相消干涉(destructive interference),如: A1 = A2 则 A = 0,(39),相位差是波强分布的关键,2)如1 = 2,波程差(wave path difference。

20、),最大,最小,(40),例7:s1,s2为均匀无吸收的同一媒质中的二个平面简谐相 干波源1=2=100Hz, A1=A2=10cm, 波速均为u=20m/s , s1较s2超前/2 求: 1)两列波在p1点的分振动方程及合振 幅; 2)两列波在p2点的分振动方程及合振幅。,解:=2=200, 设: 1=/2, 2=0,1)s1:,s2:,(41),2)s1:,(42),s2:,(43),例8: 有二个相干波源s1和s2,振幅相等且不随距离变化, 频率均为100Hz , 相位差为 , 二者相距30m, 波速均为 400m/s, 求:s1、s2连线之间静止各点的位置?,解: 设s1 、s2之间静。

21、止的点为x,首先写出s1和s2的波函数:,Example: What is the smallest radius r that results in an intensity minimum at the detector.,Solution:,For r = rmin,we have D = p, which is the smallest phase difference for a destructive interference to occur. Thus,(44),5.7.4 驻波(standing wave),1.何谓驻波,两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇。

22、叠加而形成的波。,(47),演示1,演示2,驻波表达式,2.驻波分析,合成波:,(48),,驻波的振幅随x作空间周期性变化, 但不随时间而变。,3.驻波的特征,1)驻波各点的振幅特征:,波腹坐标:,波节坐标:,2)驻波各点的相位特征:,,,,相邻两节点间的所有质点同相,节点两侧质点反相。,(49),3)驻波各点的能量特征:,(50),当介质中质点的位移最大时,质点的能量都是势能。,势能曲线,动能曲线,当质点到达平衡位置时,质点的能量都是动能。,,势能集中在波节附近,,动能集中在波腹附近,,驻波能量转化,(51),5.7.5 半波损失 (half-wave loss),对于机械波, 设、u分别为。

23、介质的密度和波在介质中传播的速度, u 的大小决定是波密还是波疏介质。,对于电磁波, 设n为介质的折射率, n 的大小决定是波密还是波疏介质。,一般言之, 当波在两种媒质界面上反射时,,设1、2、u1和u2分别为两种媒质的密度和波在两种媒质中传播的速度。,若1u1<2u2(从波疏介质进入波密介质),且垂直入射或 掠入射时, 反射波中产生“半波损失”(half-wave loss), 界面出现节点, 称为半波反射。,若1u12u2(从波密介质进入波疏介质), 且垂直入射 或掠入射时, 反射波中无“半波损失”, 界面出现腹点, 称为全波反射。,(52),两端固定拉紧的弦线上的驻波:,驻波频率:,解。

24、: 1),入射波的波函数:,反射波在反射点c处(有半波损失)的振动方程:,(53),反射波的波函数:,(54),2)利用相位差求合振动的极大值与极小值,波节位置:,波腹位置:,波动基本要求,1.理解机械波产生的条件和相位传播的概念;了解波 长、波速和波频率的意义、相互关系和决定因素。 2.理解波函数及波形曲线的意义,熟练掌握用相位传播 的概念写出平面简谐波的波函数。 3.理解平面简谐波中质元动能与弹性势能的关系;理解 波的能量密度、能流、能流密度及波的强度的概念。 4.了解惠更斯原理及其对波的传播方向的说明。 5.理解波的叠加原理和相干条件,理解干涉现象;熟练掌 握干涉强弱的计算及其分布规律。 6.理解驻波特点和形成条件; 知道半波损失。,(55),(56),(57),。

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