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高一数学宝典:函数与导数.ppt

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1、函数与导数,,,,,要 点 回 扣,易 错 警 示,查 缺 补 漏,,,,要点回扣,,1.求函数的定义域,关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根、被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围就完全相同.,问题1函数y 的定义域是________.,,2.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题.,问题2已知f(cos x)sin2x,则f(x)_______________.,1x2(x1,1),3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别。

2、用不同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数.,4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.,f(x)f(x),f(x)为奇函数. 答案奇,5.弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数,则f(x)f(x)f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0,则必有f(0)0. 故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.,解析由题意可知f(0)0,即lg(2a)0。

3、, 解得a1,,函数y1lg(1x)是增函数,函数y2lg(1x)是减函数, 故f(x)y1y2是增函数.选D. 答案D,6.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接,可用“及”连接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.,(,0),,(0,),7.求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法:适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围).,(6)分离常数法:适合于一次分式. (7)有界函数。

4、法:适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域.,,8.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移“左加右减”(注意是针对x而言);上下平移“上加下减”. (2)翻折变换:f(x)|f(x)|;f(x)f(|x|). (3)对称变换:证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上;,函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称; 函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称;函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.,,问题8。

5、函数y|log2|x1||的递增区间是______ ____________.,作图可知正确答案为0,1),2,).,0,1),,2,),10.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式: 一般式:f(x)ax2bxc(a0); 顶点式:f(x)a(xh)2k(a0); 零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0).,(3)一元二次方程实根分布:先观察二次系数,与0的关系,对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号,再根据上述特征画出草图. 尤其注意若。

6、原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,要考虑到二次项系数可能为零的情形.,问题10若关于x的方程ax2x10至少有一个 正根,则a的范围为__________.,(2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特别注意底数的取值对有关性质的影响,另外,指数函数yax的图象恒过定点(0,1),对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0).,问题11函数yloga|x|的增区间为_____________.,答案当a1时,(0,); 当0

7、(x0)图象是除点(0,1)外的直线. 当0<<1时,图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内是上凸的.,当1时,在第一象限内,图象是下凸的. (2)增减性:当0时,在区间(0,)上,函数yx是增函数,当<0时,在区间(0,)上,函数yx是减函数.,,B,13.函数与方程 (1)对于函数yf(x),使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.事实上,函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根. (2)如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数yf(x)在区间a,b内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,此时这个c就是方程f(x)0。

8、的根.反之不成立.,问题13已知定义在R上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4,其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线,则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),解析f(x)(x2)(x1)g(x)3x4, f(1)031410. 又函数yg(x)的图象是一条连续曲线, 函数f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程f(x)0在(1,2)内必有实数根. 答案B,15.利用导数判断函数的单调性:设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果f(x)<0,那么f(x)在该区间内为减。

9、函数;如果在某个区间内恒有f(x)0,那么f(x)在该区间内为常函数. 注意:如果已知f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等式f(x)0恒成立,但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此.,,问题15函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数,则a的取值范围是________.,解析f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1.,16.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数f(x)x3,有f(0)0,但x0不是极值点.,x1,易错点1函数概念不清致误,易错点2忽视函数的定义域致误,易错点3混淆“切点”致误,易错警示,,易错点4极值的概念不清致误,易错点5错误利用定积分求面积,,易错点1。

10、函数概念不清致误,,,函数f(x)的定义域为x|x2或x<2.,,找准失分点,设x23t,则x2t3,,f(x)的定义域为x|x1.,,易错点2忽视函数的定义域致误,,,找准失分点,对函数奇偶性定义理解不够全面,事实上对定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),或f(x)f(x).,即函数的定义域是x|1

11、为切点,则切线的斜率为,,又知切线过点(1,1),把它代入上述方程,得,整理,得(x01)2(2x01)0,,故所求切线方程为y(12)(32)(x1),,即xy20,或5x4y10.,,易错点4极值的概念不清致误,,,例4已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10,则ab________.,错解7或0,,找准失分点,x1是f(x)的极值点f(1)0; 忽视了“f(1)0 x1是f(x)的极值点”的情况.,正解f(x)3x22axb,由x1时,函数取得极值10,得,当a4,b11时, f(x)3x28x11(3x11)(x1) 在x1两侧的符号相反,符合题意. 当a3,b3时, f(。

12、x)3(x1)2在x1两侧的符号相同,,所以a3,b3不符合题意,舍去. 综上可知a4,b11,ab7. 答案7,,易错点5错误利用定积分求面积,,,例5求曲线ysin x与x轴在区间0,2上所围部分的面积S.,,找准失分点,面积应为各部分的绝对值的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而是面积的相反数.所以,不应该将两部分直接相加.,答案4,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,B项,函数y(x1)2在(,1)上为减函数,在1,)上为增函数,故错误;,D项,函数ylog0.5(x1)在(1,)上为减函数,故错误.,答案A,1,2,3,4,5,。

13、6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查缺补漏,,3.下列各式中错误的是() A.0.830.73 B.log0.50.4log0.50.6 C.0.750.1lg 1.4,解析构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于A,构造幂函数yx3,为增函数,故A对; 对于B、D,构造对数函数ylog0.5x为减函数,ylg x为增函数,B、D都正确; 对于C,构造指数函数y0.75x,为减函数,故C错.,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查。

14、缺补漏,,4.函数f(x) log2x的一个零点落在下列哪个区间() A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4),解析根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)<0.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,5.(2014天津)函数f(x) (x24)的单调递增区间是() A.(0,)B.(,0) C.(2,)D.(,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,解析因为y t在定义域上是减函数,,所以求原函数的单调递增区间, 即求函数tx24的单调递减区间, 结合函数的定义域,可知所求区间为(,2). 答案D,1。

15、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,由图象知只有D正确. 答案D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,解析由函数f(x)的导函数的图象可得,函数f(x)是减函数,且随着自变量的增大,导函数越来越大,,即函数f(x)图象上的点向右运动时,该点的切线的斜率为负,且值越来越大,,由此可作出函数f(x)的草图如图所示,,1,2,3,4,5,6,7,8。

16、,9,10,11,12,查缺补漏,,由此可得结论中仅正确,故应选D.,答案D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查缺补漏,,8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(,0上是减函数,且f(2)0,则使得f(x)<0的x的取值范围是________.,解析因为f(x)是偶函数,所以f(x)f(x)f(|x|). 因为f(x)<0,f(2)0.所以f(|x|)

17、6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,解析方程f(x)xa0的实根也就是函数 yf(x)与yax的图象交点的横坐标,如图 所示,,作出两个函数图象,显然当a1时,两个函数图象有两个交点, 当a1时,两个函数图象的交点只有一个. 所以实数a的取值范围是(1,). 答案(1,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查缺补漏,,10.(2014江苏)已知函数f(x)x2mx1,若对于任意xm,m1,都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查缺补漏,,11.f(x)x(xc)2在x2处有极大值,则。

18、常数c的值为________.,解析f(x)x32cx2c2x,f(x)3x24cxc2, f(2)0c2或c6.若c2,f(x)3x28x4,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,x2是极小值点,故c2不合题意, 同样验证可知c6符合题意. 答案6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,因为x0且x1,所以(x)0. 故函数(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,查缺补漏,,(2)若f(x)g(x)(x1)恒成立,求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,查缺补漏,,因为x1,故h(x)0. 所以h(x)在区间1,)上单调递减, 由ln ah(x)maxh(1)0,解得a1. 故实数a的取值范围为1,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,。

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