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高一数学宝典:数形结合思想.ppt

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1、,专题八 数学思想方法,第 2讲 数形结合思想,,,,,思 想 方 法 概 述,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,,,,思想方法概述,,1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价。

2、的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.,(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.,3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并。

3、结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.,(5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等.,4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.,(2)用图象法讨论方程(特别是含参。

4、数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.,热点一 利用数形结合思想讨论方程的根,热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围,热点三 利用数形结合思想解最值问题,热点分类突破,,热点一 利用数形结合思想讨论方程的根,,,解析先作出函数f(x)|x2|1的图象, 如图所示, 当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1,,当直线g(x)kx过A点时斜率为 ,,故f(x)g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为( ,1).,答案B,变式训练1,解析由f(4)f(0),f。

5、(2)2,,解得b4,c2,f(x),作出函数yf(x)及yx的函数图象 如图所示,,由图可得交点有3个. 答案C,,例2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0,xR,且在(0,)上单调递增,若f(1)0,则满足xf(x)<0的x的取值范围是____________.,热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围,,,由图可知xf(x)<0的x的取值范围是 (1,0)(0,1).,解析作出符合条件的一个函数图象 草图即可,,(1,0)(0,1),,(2)若不等式|x2a| xa1对xR恒成立,则a的取值范围是________.,解析作出y|x2a|和y xa1的简图,,依题意知应有2a22。

6、a,故a .,,变式训练2,(1)设A(x,y)|x2(y1)21,B(x,y)|xym0,则使AB成立的实数m的取值范围是_______.,解析集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合, 集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合,,要使AB,则应使圆被平面区域所包含 (如图),,即直线xym0应与圆相切或相离 (在圆的下方),,,,例3(1)已知P是直线l:3x4y80上的动点,PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________.,热点三 利用数形结合思想解最值问题,,,解析从运动的观点看问题,当动点P沿 直线3。

7、x4y80向左上方或右下方无穷 远处运动时,,当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小, 显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,,解析画出可行域如图,所求的x2y2 6x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上 的点的距离的平方,,由图形知最小值为Q到射线xy10 (x0)的距离d的平方,最大值为|QA|216.,取值范围是2,16. 答案B,,变式训练3,(1)(2013重庆)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点,Q是直线x3上的动点,则|PQ|的最小值为() A.6 B.4 C.3 D.2,解析由题意,知圆的圆心坐标。

8、为(3,1),圆的半径长为2, |PQ|的最小值为圆心到直线x3的距离减去圆的半径长, 所以|PQ|min3(3)24.故选B.,B,,又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点 连线的斜率k.,解析可行域如图所示.,由图知,过点A的直线OA的斜率最小.,答案2,,,1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的.,本讲规律总结,2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形。

9、结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象.,4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直线的距离公式等.,真题感悟,押题精练,真题与押题,,1,2,真题感悟,,,,3,4,解析设P(x,0),设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2,3),,1,2,真题感悟,,,,3,4,答案A,1,2,真题感悟,,,,3,4,解析AOB90,点O在圆C上. 设直线2xy40与圆C相切于点D, 则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离, 点C在以O为焦点,以直线2xy40为准线的抛物线上, 当且仅当O,C,D共线时,圆的直径。

10、最小为|OD|.,1,2,真题感悟,,,,3,4,1,2,真题感悟,,,,3,4,答案A,1,2,真题感悟,,,,3,4,解析函数y|f(x)|的图象如图. 当a0时,|f(x)|ax显然成立. 当a0时,只需在x0时, ln(x1)ax成立. 比较对数函数与一次函数yax的增长速度. 显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立.,1,2,真题感悟,,,,3,4,当a<0时,只需在x<0时,x22xax成立. 即ax2成立,所以a2. 综上所述:2a0.故选D. 答案D,1,2,真题感悟,,,,3,4,,4.(2014天津)已知函数f(x)|x23x|,xR.若方程f(x)a|x1|0恰有。

11、4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.,1,2,真题感悟,,,,3,4,解析设y1f(x)|x23x|,y2a|x1|,,在同一直角坐标系中作出y1|x23x|, y2a|x1|的图象如图所示.,由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时,,1,2,真题感悟,,,,3,4,消y得x2(3a)xa0,故a210a90, 且x1x2a3<2,x1x2a<1,联立可得0

12、10a90, 且x3x4a32,x3x4a1,联立可得a9, 综上知,09. 答案(0,1)(9,),,押题精练,,,1,2,,3,1.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4,4,5,6,解析(数形结合法) a0,a211.,y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.,而y|x22x|的图象如图,,B,2.不等式|x3||x1|a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为() A.(,14,) B.(,25,) C.1,2 D.(,12,),押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,画出函数f(x)的图象。

13、,如图,,可以看出函数f(x)的最大值为4, 故只要a23a4即可, 解得a1或a4.正确选项为A.,答案A,,3.经过P(0,1)作直线l,若直线l与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________,________.,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,解析如图所示,结合图形:为使l与 线段AB总有公共点,,则kPAkkPB,而kPB0,kPA<0,,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,故k0时,为锐角.,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,解。

14、析由题意知原点O到直线xy20的距离为|OM|的最小值.,,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,,6.设函数f(x)ax33ax,g(x)bx2ln x(a,bR),已知它们在x1处的切线互相平行. (1)求b的值;,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0,), f(x)3ax23af(1)0,,g(x)2bx g(1)2b1,,依题意得2b10,所以b .,,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,即g(x)在(1,)上单调递增,,当a0时,方程F(x)a2不可能有。

15、四个解; 当a<0,x(,1)时,f(x)<0, 即f(x)在(,1)上单调递减,,x(1,0)时,f(x)0, 即f(x)在(1,0)上单调递增, 所以当x1时,f(x)取得极小值f(1)2a,,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,又f(0)0,所以F(x)的图象如图(1)所示,,从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解. 当a0,x(,1)时,f(x)0, 即f(x)在(,1)上单调递增,,x(1,0)时,f(x)<0, 即f(x)在(1,0)上单调递减, 所以当x1时,f(x)取得极大值f(1)2a.,押题精练,,,1,2,,3,4,5,6,又f(0)0,所以F(x)的图象如图(2)所示,,。

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