第3讲矢性函数的微分与积分.ppt

1、 矢量分析与场论 第3讲矢性函数的微分与积分张元中中国石油大学 北京 地球物理与信息工程学院 主要内容 1 矢性函数导数公式的应用2 导矢的几何应用3 导矢的物理应用4 矢性函数的不定积分5 矢性函数的定积分教材 第1章 第2节 第3节 1 矢性函数导数公式的应用 解 1 矢性函数导数公式的应用 解 在处 1 矢性函数导数公式的应用 解 1 矢性函数导数公式的应用 证 例7 矢性函数的模不变的充要条件是 设 则 对上式两边求导 得到 1 矢性函数导数公式的应用 证 反之 设 则有 即 例7 矢性函数的模不变的充要条件是 1 矢性函数导数公式的应用 定长矢量与其导矢相互垂直 对于单位矢量 有 对

2、于圆函数 有 例7 矢性函数的模不变的充要条件是 1 矢性函数导数公式的应用 证明圆柱螺旋线的切线与轴成定角 习题1第8题 证 2 导矢的几何应用 曲线的切线和法平面 表示曲线的切线方向 在点处 引入切线的动点 对应的矢量为 2 导矢的几何应用 须满足 式中为常数 可以写出切线方程 或写为 2 导矢的几何应用 曲线的法平面是指与切线相垂直的平面 而 设是法平面上的任一个动点 可以得到 法平面方程 2 导矢的几何应用 曲面的法线和切平面 设曲面的方程为 两边取导数 得到 是经过的任意一条曲线 有 1 2 导矢的几何应用 曲面的法线和切平面 方程 1 可以表示为 的方向为法线方向 2 导矢的几何应

3、用 曲面的法线和切平面 切平面方程 对于和 法线方程是 3 导矢的物理应用 牛顿力学主要讨论矢量函数 为运动轨迹 为路程 为的函数 为一切向单位矢量 指向增大的一方 为速率 则 3 导矢的物理应用 运动速度为切线方向 切向单位矢 速度矢量 加速度矢量 法向单位矢 3 导矢的物理应用 证 其中为角速度的模 为常数 从而加速度 由于 所以 4 矢性函数的不定积分 若已知是的一个原函数 则有 是任意常矢量 定义 若在的某个区间上 有 则称为在此区间的一个原函数 在此区间上 的原函数的全体 叫做在上的不定积分 记作 4 矢性函数的不定积分 性质 为非零常数 为非零常矢 4 矢性函数的不定积分 证 同理

4、有分量 相加得 4 矢性函数的不定积分 若 则有 一个矢性函数的不定积分 归结为三个数性函数的不定积分 换元法和分部积分法也适用于矢性函数 由于 4 矢性函数的不定积分 例1 计算 解 利用换元积分法 令 则 4 矢性函数的不定积分 例2 计算 解 利用分部积分法 有 4 矢性函数的不定积分 解 4 矢性函数的不定积分 解 5 矢性函数的定积分 定义 设矢性函数在区间上连续 则在上定积分是指下面形式的极限 其中 为区间上的一点 5 矢性函数的定积分 不定积分的性质同样适用于定积分 若是连续矢性函数在区间上的一个原函数 则有 5 矢性函数的定积分 解 5 矢性函数的定积分 例 求的圆柱螺旋线长度 解 已知圆柱螺旋线的矢径方程为 弧长的微分 5 矢性函数的定积分 解 例 设 求 Homework2 作业P19习题1 6 7 9 10