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类型1992年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

  • 上传人:eco
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  • 上传时间:2018-07-11
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    1、一、选择题(每小题 5分,共 30分)1对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与 x轴交于 An, Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则| A1B1|+|A2B2|+| A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D) 19911992 19921993 19911993 19931992(A)是等腰三角形 , 但不是直角三角形 ( B)是直角三角形 , 但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 ( D)不是等腰三角形 , 也不是直角三角形5设复数 z1, z2在复平面上对应的点分别为 A, B,且| z1|=4, 4z122z1z2+z22=

    2、0, O为坐标原点,则 OAB的面积为( )(A)8 (B)4 (C)6 (D)12 来源:学科网3 3 3 36设 f(x)是定义在实数集 R上的函数,且满足下列关系 f(10+x)=f(10x), f(20x)=f(20+x),则 f(x)是(A)偶函数,又是周期函数 ( B)偶函数,但不是周期函数(C)奇函数,又是周期函数 ( D)奇函数,但不是周期函数二、填空题(每小题 5分共 30分)1设 x, y, z是实数,3 x, 4y, 5z成等比数列,且 , 成等差数列,则 + 的值是1x1y 1z xzzx_来源:学科网2在区间0 , 中,三角方程 cos7x=cos5x的解的个数是_3

    3、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k条,使得其中任 意两条线段所在的 直线都是异面直线,则 k的最大值是_4设 z1, z2都是复数,且| z1|=3, |z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( )3的值是_z2z15设数列 a1, a2, , an, 满足 a1=a2=1, a3=2,且对任何自然数 n, 都有anan+1an+21,又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+ a100的值是_6函数 f(x)= 的最大值是_x4 3x2 6x+13 x4 x2+1三、(20 分)求证:161)2.用数学归纳法证明:fn(x)=yn C1n

    4、1yn 2+( 1)iCin i yn 2i+( 1)n2 , (i=1, 2, , f(n,2), n为 偶 数 )yn C1n 1yn 2+( 1)iCin i+( 1)n 12 Cn 12 n+12 y, (i=1, 2, , f(n 1,2), n为 奇 数 )KPQR lmlDEFABC2若 m为奇数,则 m+1为偶数,由归纳假设知,对于 n=m及 n=m1,有fm(x)=ym1 C ym2 +( 1)iC ym2 i+(1) C y 1m 2 im i m 12 m 12 m 12 fm1 (x)=ym1 C ym3 +(1) i1 C ym+12 i+(1) C 1m 2 i 1

    5、m i m 12 m 12 m 12用 y乘减去,同上合并,并注意最后一项常数项为(1) C =(1) C =(1) m 12m 12m 12m 12m+12m+12m+12于是得到 yfm(x) fm1 (x)=ym+1 Cm1ym1 +(1) ,即仍有对于 n=m+1,命题m+12成立综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立第二试一、(35 分) 设 A1A2A3A4为 O的内接四边形, H1、 H2、 H3、 H4依次为 A2A3A4、 A3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的垂心求证: H1、 H2、 H3、 H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置 显然, A2A3A4、 A

    6、3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的外心都是点 O,而它们的重心依次是( (cos +cos +cos ), (sin +sin +sin )、( (cos +cos +cos ),13 13 13(sin +sin +sin )、13( (cos +cos +cos ), (sin +sin +sin )、( (cos +cos +cos ),13 13 13(sin +sin +sin )13从而, A2A3A4、 A3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的垂心依次是H1(cos +cos +cos , sin +sin +sin )、 H2 (cos +cos +cos ,s

    7、in +sin +sin )、H3 (cos +cos +cos ,sin +sin +sin )、 H4 (cos +cos +cos ,sin +sin +sin )来源:Zxxk.Com而 H1、 H2、 H3、 H4点与点 O1(cos +cos +cos +cos ,sin +sin +sin +sin )的距离都等于 1,即 H1、 H2、 H3、 H4四点在以 O1为圆心,1 为半径的圆上证毕二、(35 分)设集合 Sn=1,2, ,n若 X是 Sn的子集,把 X中所有数的和称为 X的“容量”(规定空集的容量为 0),若 X的容量为奇(偶)数,则称 X为的奇(偶)子集1求证 Sn的奇子集与偶子集个数相等2求证:当 n3 时, Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和三、(35 分) 在平面直角坐标系中,任取 6个格点 Pi(xi, yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足: |xi|2,| yi|2( i=1,2,3,4,5,6); 任何三点不在一条直线上试证明:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于 2

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