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钢梁弹性挠度算法研究及工程应用.doc

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钢梁弹性挠度算法研究及工程应用 武云鹏 曾强 韩博 苗启松 北京市建筑设计研究院有限公司 摘 要: 钢梁的弹性挠度是钢结构设计中经常要考虑并验算的问题, 对此 《钢结构设计规 范》 (GB 50017—2003) 第3.5节和附录A 明确提出了受弯构件的挠度容许值。 为了计算钢梁的挠度值, 通常的方法是采用结构力学图乘法进行推导, 但这种 推导需要针对具体的荷载形式和边界条件。 由于实际结构中钢梁支座既可能是刚 接也可能是铰接, 甚至可能是滑动支座, 另一方面楼板传递来的荷载形式也较 为多样, 一般包括均布荷载、 三角型荷载以及梯形荷载, 针对所有情况全部采用 结构力学方法进行推导是一项非常繁杂的工作, 不进行简化处理则难以满足各 种实际情况的需要。 本文研究了一种基于局部二次有限元分析的钢梁挠度计算方 法, 可直接接力整体有限元分析, 对梁上的荷载形式及支座条件均可一致处理, 有效避免复杂的推导与计算, 计算结果在有限元舍入误差范围内是精确的, 不 存在人为引入的简化假定。 另外该方法计算效率较高, 可给出钢梁任意点的挠度 值, 是一种值得推广的挠度算法。 目前, 该方法已集成到北京市建筑设计研究院 有限公司自主研发的结构设计软件 Paco中, 取得了良好的应用效果。 关键词: 弹性挠度; 有限元法; 边界条件; 作者简介:武云鹏, 博士, 高级工程师, Email:wuyunpeng@biad.com.cn。 Research and engineering application on elastic deflection algorithm of steel beam Wu Yunpeng Zeng Qiang Han Bo Miao Qisong Beijing Institute of Architectural Design; Abstract: The elastic deflection of steel beam is often considered and checked in the Code for steel structure design ( GB50017—2003) , section 3. 5 and Appendix A, clearly stipulate the deflection allowable value of the bending member. In order to calculate the deflection value of the steel beam, the usual method is to use the structural mechanics diagrammatic multiplication method to derive, but this derivation needs to be specific to the load form and the boundary condition. As the steel beam bearing of the actual structure may be either rigid or hinged, and even sliding bearing, on the other hand the load form from the floor is diverse, generally including uniform load, triangular load and trapezoidal load, for all cases, using structural mechanics method to derive is a very complicated work, the treatment with no simplify is difficult to meet the needs of a variety of practical situations. A method for calculating the deflection of steel beam based on local quadratic finite element analysis was studied, which can be carried out directly by the finite element analysis of the beam.Meanwhile, the load form and bearing condition on the beam can be treated uniformly, which can effectively avoid the complicated derivation and calculation. The result of the calculation is accurate in the range of finite element rounding error, and there is no simplified assumption of artificial introduction. In addition, the method has high computational efficiency and can give the deflection value of arbitrary angle of steel beam, which is a deflection algorithm deserve to spread. At present, the algorithm has complete implementation in Beijing Institute of Architectural Design Co., Ltd. selfdeveloped design software Paco and achieved good effect. Keyword: elastic deflection; finite element method; boundary conditions; 0 概述 《钢结构设计规范》 (GB 50017—2003) [1] (简称钢结构规范) 第 3.5.1条规 定:为了不影响结构或构件的正常使用和观感, 设计时应对结构或构件的变形 (挠度和侧移) 规定相应的限值。跟据该条规定的要求, 钢梁的挠度及挠跨比应 符合钢结构设计规范附录 A的相关规定[2-3]。 为了计算钢梁挠度, 传统方法可采用结构力学图乘法[4]进行计算, 该算法对于 静定结构具有良好的计算效果, 并且在剪切变形可忽略的情况下, 图乘法可给 出相当简洁且准确的结果。 为描述这一算法, 以简支梁在均布荷载作用下求其跨 中挠度为例进行说明, 结构模型如图1所示。 为求解跨中挠度, 首先绘制简支梁在均布荷载作用下的弯矩图, 结果如图2所 示 (该弯矩图为二次抛物线分布) ;另外, 在简支梁跨中施加方向向下的单位集 中力, 并绘制在该单位力作用下的弯矩图, 如图3所示。 图1 简支梁受均布荷载的结构模型 下载原图 图2 简支梁受均布荷载的弯矩图 下载原图 图3 简支梁受跨中单位集中荷载的弯矩图 下载原图 根据结构力学图乘法, 在剪切变形可忽略的前提下, 简支梁跨中挠度可由图 2 及图3 的弯矩图进行图乘得到: 式中:l 为简支梁的长度;EI为梁的抗弯刚度;M和珚M分别为梁在均布荷载和单 位力荷载作用下的弯矩;A为0到l/2段的弯矩图与梁轴线所围成的面积;y0为与 0到l/2 段的M图形心对应处的珡 M图标距, 即纵坐标。 均布荷载作用下梁的弯矩图为二次抛物线, 故0到l/2段弯矩图M的面积为: 式中:q 为均布荷载的作用值。0到l/2段的 M图形心对应的珚M图标距为: 在忽略剪切变形的前提下, 将式 (2) 和 (3) 代入式 (1) , 得到简支梁在均布 荷载作用下的跨中挠度为: 同理, 图 4为简支梁在跨中受集中荷载作用时的弯矩图, 按同样的图乘方法可 以推导出其跨中挠度为: 图4 简支梁受跨中集中荷载的弯矩图 下载原图 式中P 为简支梁跨中所受集中荷载值。 从上面的计算过程可以看出, 利用图乘法计算简支梁挠度获得了相当简洁的结 果, 一般情况下, 该挠度也具有良好的计算精度, 可满足工程验算的需要。 但图 乘法应用于实际工程时存在一些限制, 主要体现在如下几个方面:1) 为简化计 算, 往往需要忽略剪切变形;2) 对于边界条件较为敏感, 如果梁端不是铰接 (非静定结构) , 则首先需要采用力法计算其弯矩图再进行图乘, 过程较为繁 琐;3) 对荷载形式较为敏感, 不同的荷载具有不同的弯矩分布, 每一种荷载都 需要进行推导计算;4) 为了计算跨中任意点的挠度, 需要额外计算单位力作用 在该点的弯矩图, 这也增加了算法的复杂度。 针对上述图乘法的应用限制, 本文提出了一种基于局部二次有限元分析的方法 来计算钢梁挠度。 该方法接力整体有限元分析, 读取整体分析的梁端位移作为边 界条件, 并对梁单元进行二次细分处理, 可适应任意的荷载条件并给出高精度 钢梁挠度。 1 计算方法 本文方法为一种基于局部二次有限元分析[5]的挠度计算方法。首先对整体结构 进行一次有限元分析计算, 得到任意结点的位移。 再提取出待求解的钢梁, 将此 钢梁作为一个子结构再次运用有限元方法求解。 如图5 所示, 为提取出的钢梁子结构, 已知作用在其上的荷载 (可包括集中荷 载、均布荷载、三角形荷载和梯形荷载) , 钢梁两结点的位移由之前的整体结构 有限元分析求得。 图5 钢梁子结构模型 下载原图 对钢梁进行有限元网格细分 (例如均分为8段) , 并分别由各子段刚度矩阵和单 元等效结点荷载集成为钢梁结构整体刚度矩阵[K]和结点荷载列阵{P}, 则钢梁 结构的总应变能可表示为: 式中{a}为钢梁二次细分有限元网格后形成的结点位移向量。 根据变分原理, 泛函应变能Ⅱp取驻值的条件是它的一次变分为零, δⅡp=0, 即: 这样就得到了对钢梁进行二次有限元分析的方程: 对此有限元方程进行求解, 需要引入位移边界条件, 用以消除结构刚度矩阵的 奇异性。对图 5所示的钢梁, 边界位移值u1、v1、θ1、u2、v2和θ2由第一次整 体结构有限元分析得到。 强制引入位移边界条件主要有直接代入法和对角元素乘 大数法。 直接代入法将方程 (8) 中已知的结点位移的自由度消去, 得到一组修正的方程, 求解其他待定的结点位移。 这种方法需要重新组合方程, 导致结点位移的顺序被 破坏, 给编制程序带来了一些麻烦, 本文采用对角元素乘大数法[6]来引入边界 条件。 对于任意的有限元方程组, 假定第j个自由度为给定位移值aj=aj', 则乘大数法 第j个方程可作如下修改:对角元素Kjj乘以大数α (一般可取10左右的量级) , 并将Pj用αKjjaj'代替, 修正后的有限元方程为: 其中修正后的第j个方程为: 由于方程左端的αKjjaj远大于其他项, 因此近似得到: 式 (11) 即为aj=aj'。对于多个给定位移, 则按顺序给每个位移都做上述修正, 得到修正后的刚度[K]和荷载向量{P}, 然后求解方程即可得到全部结点位移值。 对角元素乘大数法引入边界条件时方程阶数不变, 结点位移顺序不变, 编程十 分方便, 因此本文的钢梁二次有限元求解采用此法引入位移边界条件。 只要钢梁的有限元网格划分足够细密, 单元足够多, 则理论上钢梁上的任意一 点的挠度都可以通过这种二次有限元方法求得。 2 工程应用 选取一实际工程的算例来验证此种算法的可靠性和通用性。 本工程为福建招商局 芯云谷项目T1楼, 结构体系为 21层的框架-核心筒结构, 图6为整体结构简图 和第5 层简图。 图6所标记的梁即为需要验算的工字型钢梁, 钢梁截面尺寸H×B×tw×tp为 10×650×270×16, 截面惯性矩I=1.0651×10m。选用材料为Q345 钢, 弹性模 量E=2.06×10N/m, 剪切模量G=7.9×10N/m。 为了排除自重的影响, 选择计算活 荷载作用下的钢梁挠度。 为求解图6中钢梁的弹性挠度, 本文采用3种方法进行计算比较, 分别为传统结 构力学图乘法、 本文局部二次有限元分析法以及整体有限元分析加密法, 其中整 体有限元分析加密法直接在整体结构中对钢梁进行细分, 使得全部待求挠度点 在整体结构中即成为独立结点, 由于细分会产生大量独立结点, 因此该方法计 算量巨大, 效率较低, 一般不在实际工程中采用, 在此仅用于对前两种方法进 行数值校对。 图6 框架-核心筒结构简图和第 5层简图 下载原图 所求钢梁的计算长度 l=5.45m, 其由楼面倒算而来的荷载为三角形荷载, 且其 结点位移由整体结构有限元分析求得, 如图 7所示。 图7 钢梁所受荷载及结点位移 下载原图 2.1 方法 1:传统结构力学图乘法 传统方法求解此钢梁分别在三角形荷载和结点位移作用下的跨中挠度, 最后进 行叠加。当仅有三角形荷载作用时, 由力法可得钢梁 AC段所承受弯矩为: BC段的弯矩和剪力与 AC段保持对称。再在跨中作用单位力, 求解此时梁的弯矩 和剪力, 由结构力学图乘法求解得到三角形荷载作用下跨中挠度: 再计算仅在结点位移作用下的跨中挠度, 由整体结构的有限元分析, 求得钢梁 两结点的平动位移和转动位移, 如图7所示。 对钢梁采用两结点的 Hermite 插值 单元[7], 钢梁挠度函数 w (ξ) 的插值表示为: 其中: 对于跨中的点, ξ=0.5, 直接将ξ和梁端结点的位移代入式 (14) 和 (15) , 得到此时的跨中挠度: 故将三角形荷载和结点位移产生的挠度进行叠加, 最后的钢梁跨中总挠度为: 从上面的计算过程可以看出, 传统的结构力学图乘法方法的计算过程十分繁杂, 必须考虑不同的荷载形式和结点位移, 既要考虑荷载作用下的挠度, 也要考虑 结点位移作用产生的挠度, 另外对于超静定结构还需运用力法求解弯矩图。 2.2 方法 2:局部二次有限元分析法 此法即为本文所述的局部二次有限元分析方法, 首先对整体结构进行一次有限 元分析, 再接力整体分析, 读取梁端位移作为边界条件, 细分钢梁网格进行局 部二次有限元分析, 便可计算求得跨中挠度。 目前, 本方法已经集成到了北京市建筑设计研究院有限公司自主研发的结构设 计软件Paco[8]中, 该方法给出的钢梁跨中挠度为: 2.3 方法 3:整体有限元分析加密法 此方法即是在整体有限元分析时对钢梁进行有限元网格加密, 保证所求钢梁的 跨中点为结构的一个独立结点。 此时便可通过结构整体一次有限元分析直接求解 得到跨中挠度为: 通过三种方法的计算对比可以看到, 传统的结构力学图乘法由于引入了忽略剪 切变形的人为假定, 导致计算结果的精度有一定程度的缺失, 而本文方法无需 引入这样的假定, 故精度更高。 同时, 与传统方法相比较, 本文所述的局部二次 有限元分析法可有效避开繁杂的公式推导, 其计算结果在有限元舍入误差范围 内是准确的, 便于软件具体实施。需要注意的是, 本文方法 (方法2) 在整体分 析时并不产生梁的跨中结点, 只是在把钢梁视为子结构进行二次有限元分析时 再进行加密处理, 这种方法计算量非常小, 与整体分析时先细分梁单元 (方法 3) 有本质的区别。 3 结论 (1) 通用性:本文方法并不依赖于钢梁的支座形式和荷载形式, 无论钢梁是刚接 还是铰接, 荷载形式是三角形荷载、均布荷载或者梯形荷载, 本文的算法均通 用。 (2) 本文方法规避了繁杂的推导过程, 无需对每种情况都进行图乘法公式计算, 使得计算过程变得更加简洁。 (3) 不需引入人为假定, 在传统的结构力学图乘法中, 为了计算方便, 往往需 要引入钢梁忽略剪切变形的人为假定, 这样就导致了计算结果精度的部分缺失, 而本文方法则不需要引入这样的假定, 从而保证了计算结果更加精确; (4) 计算量小, 本文方法实质上是一种子结构二次有限元求解法, 计算量相比 传统方法和加密单元的方法都会小很多。 目前, 本文方法已在北京市建筑设计研究院有限公司自主研发的设计软件 Paco[8]中完整实现, 取得了良好的应用效果。 参考文献 [1]钢结构设计规范:GB 50017—2003[S].北京:中国计划出版社, 2003. [2]李鹏飞, 姚谦峰.蜂窝梁应力和挠度计算方法[J].建筑结构, 2011, 41 (2) :52-55. [3]郭耀杰, 胡宝琳.钢结构设计新旧规范吊车梁容许挠度的比较分析[J].建筑 结构, 2005, 35 (6) :47-48. [4]龙驭球, 包世华.结构力学.I[M].北京:高等教育出版社, 2006. [5]王勖成.有限单元法[M].北京:清华大学出版社, 2003. [6]BATHE, KLAUS-JüRGEN.Finite element procedures[M].Prentice Hall, 2006. [7]夏拥军, 缪谦.一种新型空间梁单元及其在梁杆结构稳定分析中的应用[J]. 工程力学, 2009, 26 (4) :86-91. [8]BIAD自主设计软件Paco-RC 通过住建部科技成果评估 [EB/OL].http://www.biad-paco.com/index.php?m=content&c=index&a=show&c atid=13&id=55, 2016-03-29.
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