虹口区2016年高三数学文理科一模试卷(含答案).doc

1、虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 1 页（ 第 10题 图 ）RO（ 第 7题 图 ）yAxFBO虹口区 2015 学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 试卷 2016.1考生注意：1.本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1函数 的反函数1()2xf1()_.fx2设全集 则 _., ,URA若 集 合 UA3若

2、复数 满足 （ i为虚数单位） ，则复数 _.z20156iz4在二项式 的展开式中，常数项的值为_.（结果用数字表示）83()x5行列式 的最大值为_.12costan5c()x6. 在等差数列 中， n1352469,15,a则数列 的前 10 项的和等于_.a7如图，已知双曲线 C 的右焦点为 F，过它的右顶点 A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点 B ；若双曲线 C 的焦距为 4， 为等边三角形（ 为坐标原点，即双曲线OFBOC 的中心） ，则双曲线 C 的方程为_.8.已知数据 的方差为 16，则数据128,x 12,x的标准差为 .29.已知抛物线 的弦 的中点的纵坐标为 4

3、，则2xyAB的最大值为_.AB10如图所示，半径 的球 O 中有一内接圆柱，当R圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于_.虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 2 页11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各 5 个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取 4个水饺，则每种水饺都至少取到 1 个的概率为_.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列 的前 n 项和为 ,若 且anS12364,a213521()(,nnSaaN则 _.na13在由正整数构成的无穷数列 中，对任意的 且对任意的 数n 1,nN都 有 ,k列 中恰有 ，则nk个 2016_.a14. 若函数 恰有两

4、个零点，则实数 的取值范围是_ .,3xf a二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分.15. 设 为两个不同平面，若直线 则 （ ） 、 l在 平 面 内 ， l“”是 “”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16 . 已知直线 是函数 图像的两条相邻的对54x和 ()sin)(0,)fx称轴，则 的值为 （ ） （A） （B ） （C ） （D）323417.已知 均为单位向量，且 若 则 的取值范围是( ) ab、 0.ab435

5、,cabca（A） （B） （C ） （D）3,10,510,518设函数 若关于 的方程 有四个不同的解2,()0,xflogx()fa1234,x且 则 的取值范围是 ( ) 1234,x31234()（A） （B） （C ） （D）,3,3,虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 3 页（ 第 19题 图 ）ABCPQA1 B1C1三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题，每小题 6 分.如图，在正三棱柱 中，已知它的底面边长为 10，高为 20 .1ABC(1)求正三棱柱 的表面积与体

6、积；(2)若分别是 的中点，求异面直线 所1、 PQAC与成角的大小（结果用反三角函数表示）.20(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，每小题 7 分.已知 的面积为 S，且ABC.ABCS（1） 求 sinco,ta的 值 ；（2） 若 求 的面积 S .,6,4虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 4 页21(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，第 1 小题 6 分， 第 2 小题 8 分.对于函数 定义 已知偶函数 的定义域1,fx1(),()()nnfxfxfN()gx为 (,0)(,)0g； 2015(.gfx当 且 时 ，（1）求 并求出函数 的解析式；234(,fxfx

7、()yx(2) 若存在实数 使得函数 上的值域为 ，求实数 的取值范,)ab,gab在 ,mba围.22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 4 分，第 2 小题 6 分.已知数列 的前 n 项和为 ， 且 anS20,().nnSaN（1） 计算 并求数列 的通项公式；1234,a(2） 若数列 满足 求证：数列 是等比数列； nb1235(1)23,nbb nb（3）由数列 的项组成一个新数列 ：anc4567, ,caca. 设 为数列 的前 n 项和，试求 的值.1112221,nnnnca nTlimnT虹口区高三数学 本卷共 4 页 第

8、 5 页HJ（ 第 23题 图 ）F MxyABNo23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题 8 分.已知椭圆 的左焦点为 短轴的两个端点分别为 且2:1(0)xyCab,F,AB、为等边三角形 . ,ABF(1) 求椭圆 的方程；(2) 如图，点 M 在椭圆 C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点 O 的对称点为 N； 过点M 作 轴的垂线，垂足为 H，直线 NH 与椭圆xC 交于另一点 J，若 ，试求以线段 NJ 为直径的圆的方程；12（3）已知 是过点 的两条互相垂直的直线，直线 与圆 相交于 两12l、 A1l2:4O

9、xyPQ、点，直线 与椭圆 交于另一点 ；求 面积取最大值时，直线 的方程. 2CRPQ1l虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 6 页C1B1A1 QPCBA（ 第 19题 图 ）虹口区 2015 学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2016 年 1 月 一、填空题（本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分）1 2 3. 2 428 2log(0)x5 13 6. 80 7. 8 8 13yx9. 12 10 11 12. 85091n1363 14 1,2,3二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）15. B 16. A 17. B 1

10、8. D 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）19(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题，每小题 6 分.解：（1） (3 分)1 12 23=3=0+6053()4ABCABCBASS cm正 三 棱 柱 侧 矩 形(6 分)1 205(4Vcm正 三 棱 柱（2）连结 则 又1,/,PQ1/,故 等于异面直线 所成角. (8 分)1BCAAC与易得 ，故1105,0而2215cos .B于是异面直线 所成角的大小为 (12 分)PQAC与 cos.10ar20(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，每小题 7 分.解：（1）由 得 BSssin2bAb(4 分)tan,0

11、,.于 是虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 7 页（ 第 21题 解 图 ）y1 x1-1O进而求得 (7 分)2554sin,cos,tan2.3AA（2）(9 分)66.CBc由 得 即(12 分)sin25,sin()5bcBA由 正 弦 定 理 ， 有(14 分)125i61.2ScA于 是21(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，第 1 小题 6 分， 第 2 小题 8 分.解：（1）因为 1(,fxfx故21)0,x3243()()(,1)()10, (3)fxfxff 分故对任意的 ,()(2,34)niinNff有于是 2015367121()()0,;fxfxx201

12、501()().xgfx故 当 时 ，,0().gg又 故 当 时 ，由 为偶函数， ()x,().xgxx当 时 ，. (6 分)1,0,1().gx，因 此(2) 由于 的定义域为 ，()y(,)(,)又 ,abmab可 知 与 同 号 ， 0m且 ;进 而且 (8 分) ()gx在 递 减 0.函数 的图像，如图所示. 由题意，有()yx虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 8 页(10 分)1(),gamb故 是方程 的两个不相等的负实数根，即方程 在 上有,1x 210mx,两个不相等的实根，于是(12 分)4010.4mab综合上述，得：实数 的取值范围为 (14 分)m1,.4注：

13、若采用数形结合，得出直线 与曲线 有两个不同交点，并进行求ymx1(0)yx解也可.22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 4 分，第 2 小题 6 分.解：（1）当 时，由 得 由 得1n12,Sa;10,Sa1;a当 时，由 得3333当 时，由 得 44440,5.猜想： (3 分)2().naN下面用数学归纳法证明： 当 时， 结论显然成立；21, 假设当 时， 由条件知 故nk3.ka2,nSa1 1 12()()()(,kkk kkkaS a 于是 ()21,2()3.从 而虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 9 页故数列 的通项公式

14、为： (6 分)na23().naN另解（1）：当 时，由 得 由 得11,S1;2120,Sa21;a当 时，由 得33332.当 时，由 得 (2 分)4n4440,a5当 时，由条件知 故,nS1 1 12()()(),nn nnnaS a 于是 (4 分)()() ,2na故1132)()()1211( ()234nnnnn从 而于是数列 的通项公式为： (6 分)23).nana23.naN证：（2）当 时， 当 时，由条件得112,b 23112311 1(1)5()()5()3()8n nn nn nnb bbba 分从而 故数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. (10

15、 分)1.nnb解：（3）由题意，得 11122211(3)()()(27)(25)5134nnnn nnncaa 分223122(4)()34()1) (14)nnnnTcc 故 分从而 (16 分)limli3.4n虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 10 页注：在解答第（3）小题时，可直接求出 .nT23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题 8 分. 解：（1）由题意，得 (2 分)22,bca故椭圆 C 的方程为 (4 分),13.abc解 得 21.4xy（2）设 则由条件，知0(,)Mxy0000,(,),().N

16、xyHx且从而 0(,).HNxy于是由 200012,),.y及 得再由点 M 在椭圆 C 上，得201.4yx求 得所以 (6 分)(2,)(,),(2);NH进而求得直线 NH 的方程: 0.xy由 (8 分)240,1xy71(2,).5J求 得进而 22731()4, (2).5 5NJ NJ线 段 的 中 点 坐 标 为 ，因此以线段 NJ 为直径的圆的方程为： (10 分)2213()().50xy（3）当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆 C 相切于点 A，不合题意；当直线 的斜率为 01l 2l 1l时，可以求得 (12 分)23.PQRS当直线 的斜率存在且不为 0 时，设其方程为 则点 O 到直线 的距离为1l 1(0),ykx1l从而由几何意义，得2,dk2243,Pd由于 故直线 的方程为 可求得它与椭圆 C 的交点 R 的坐标为1,l2l1,yxk虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 11 页于是2284,;k 22 28481.44kkAR(15 分)213,PQRSk故 243,uk令 则 2163PQRuS当且仅当 时，上式取等号.01(),k即因为 故当 时， ； 此时直线 的方程为：63212max163PQRS1l（也可写成 ） (18 分)0.yx02.y