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空间向量的数乘运算(公开课).ppt

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3.1.2 空间向量的数乘运算,,O,,结论:空间任意两个向量都可平移到同一个平面内,成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们.,,,一、空间向量的数乘:,2、空间向量的数乘的性质,1、定义:,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量,称为空间向量的数乘,,,,,,,,3、空间向量的数乘的运算律,(3)数乘结合律:,(1)数乘分配律1:,(2)数乘分配律2:,,,1、定义:,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合, 则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,(或平行向量),(3)非零共线向量的传递性:,(1)零向量与任一向量共线,,,,,,,,,,(4)空间共线向量定理:,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 , 使,思考1:为什么要强调,思考2:这个定理有什么作用?,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,若P为A,B中点, 则,向量参数表示式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,A、B、P三点共线,,,,结论1:,三、共面向量:,1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量,,既可能共面,也可能不共面,,,,,,,由平面向量基本定理知,如果 , 是平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 , 使,如果空间向量 与两不共线向量 , 共面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则有,那么什么情况下三个向量共面呢?,,,,,,,,,,,,,,反过来,对空间任意两个不共线的向量 , ,如果 ,那么向量 与向量 , 有什么位置关系?,,,,,,,,C,2.共面向量定理:如果两个向量 , 不共线,,则向量 与向量 , 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,,,,,,,,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使,C,,,,,,,,,,对空间任一点O,有,填空:,1-x-y,x,y,C,③,式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,③,由此可判断空间任意四点共面,共面向量定理的剖析,如果两个向量 a,b 不共线,,(性质),(判定),P、A、B、C 四点共面,,,,结论2:,解析:由共面向量定理知,要证明P、A、B、C四点共面,只要证明存在有序实数对(x,y)使得,例1.已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、B、C一定共面?,练习3.下列说法正确的是: (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面,例2(课本例)如图,已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , ,, , 求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.,例2 (课本例)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量,,,,,,求证:①四点E、F、G、H共面;,②平面AC//平面EG.,,,,,,,,,,,,,,,证明:,,(﹡)代入,所以 E、F、G、H共面。,,,,,,,证明:,由面面平行判定定理的推论得:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4,,,,,,解:,连AN,,,,,小结,共面,
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