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八年级数学下册浙教版同步练习:《期末复习二 一元二次方程》.doc

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八年级数学下册浙教版同步练习:《期末复习二 一元二次方程》.doc
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期末复习二 一元二次方程复习目标要求 知识与方法了解 一元二次方程的概念,一元二次方程根与系数的关系理解 方程解的定义会选合适的方法解一元二次方程运用 用一元二次方程解决实际问题配方法求最值必备知识与防范点一、必备知识:1.关于 x 的一元二次方程(m-4)x2+x+m2 -16=0 有一根为 0,则 m= .2. (雅安中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx-8=0 的一个实数根为 2,则另一实数根及 m 的值分别为( )A. 4,-2 B. -4,-2C. 4,2 D. -4,23. 定义:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)满足 a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A. a=c B. a=bC. b=c D. a=b=c4. 某校去年投资 2 万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为 8 万元,若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为 x,则可列方程 .5. 某超市销售一种商品,每件商品的成本是 20 元. 当这种商品的单价定为 40 元时,每天售出200 件. 在此基础上,假设这种商品的单价每降低 2 元,每天就会多售出 15 件.(1 )设商品的单价为 x 元时销售该商品的利润为 4500 元,可列方程: ;(2 )设商品降价 2y 元时销售该商品的利润为 4500 元,可列方程: .二、防范点:1. 一元二次方程二次项系数不为 0;2. 运用韦达定理时注意 Δ≥ 0,a≠0;3. 求二次三项式最值可运用配方法,也可用 Δ.例题精析考点一 一元二次方程的解例 1 (1 )设 a 是关于 x 的方程:x2-9x+1=0 的一个实数根,求 a2-7a+ 182a的值;(2 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2=0 与 x2+2x+m=0 有一个公共根,求这个公共根及 m的值.反思:能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解,一般先代入方程,再进行适当的变形.考点二 求一元二次方程的解例 2 用适当的方法解下列方程(1 ) (2x-1)2-9=0;(2 ) x2-2 3x=1;(3 ) x( x-6) =-2(x-6) ;(4 ) (2y-1)2+2(2y-1)-3=0.反思:第(1)小题直接开方法,第( 2)小题配方法,第( 3)小题因式分解法,第(4)小题把2y-1 看成整体,用十字相乘因式分解法.考点三 一元二次方程判别式例 3 (1)如果关于 x 的一元二次方程 kx2- 12kx+1=0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是 .(2 )已知关于 x 的方程(m-2)x2+2mx+m+3=0 有实根,则 m 的取值范围是( )A. m≠2 B. m≤6 且 m≠2C. m<6 D. m≤6(3 )如果 x2-2(m+1 )x+16 是一个完全平方式,则 m= .[来源:学优高考网 gkstk](4 )求代数式 2x2-3x+4 的最小值 .反思:第(1)小题须满足 3 个条件:k ≠0 ,Δ>0,2k+1≥0;第(2 )小题注意是方程,可允许m-2=0;第(3)小题二次三项式是完全平方式,则 Δ=0;第(4 )小题可用配方法,也可用 Δ 法:设 2x2-3x+4=y,移项得 2x2-3x+4-y=0 ,将 y 看做常数,方程必有实根,∴Δ=9-8 (4-y)≥0 ,解得 y≥ 82,即 2x2-3x+4 的最小值为 23.考点四 一元二次方程的应用(增长率,市场经济,直角勾股等)例 4 如图 1,有一块塑料长方形模板 ABCD,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合) ,在 AD 上适当移动三角板顶点 P.(1 )能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由;(2 )如图 2,再次移动三角板位置,使三角板顶点 P 在 AD 上移动,直角边 PH 始终通过点 B,另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q,与 BC 交于点 E,能否使 CE=2cm?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请你说明理由.反思:当遇到直角常想到勾股定理,方程应用中的存在问题可用 Δ 解决.考点五 可化为一元二次方程的解法探究例 5 请阅读下列解方程 x4-2x2-3=0 的过程.解:设 x2=y,则原方程可变形为 y2-2y-3=0由(y-1)2=4 ,得 y1=3,y2=-1当 y=3,x2=3,∴x1= 3,x2=- ,当 y=-1, x2=-1,无解.所以,原方程的解为 x1= ,x2=-这种解方程的方法叫做换元法.用上述方法解下面两个方程:(1 ) x4-x2-6=0;(2 ) (x2+2x)2-2(x2+2x )-3=0.[ 来源:gkstk.Com]反思:换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时,不能半途而废,须求出原方程的解.校内练习[来源:gkstk.Com]1. (扬州中考)已知 M= 92a-1,N=a 2- 7a(a 为任意实数) ,则 M、N 的大小关系为( )A. M<N B. M=NC. M>N D. 不能确定2. 若关于 y 的方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根,则 k 的取值范围是( )A. k- 47 B. k≥- 47且 k≠0C. k≥- D. k 且 k≠03. 如果 m,n 是菱形的对角线,且是方程 x2-2013x+2014=0 的两个根,则菱形的面积为 .4. (遂宁中考)阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.计算:(1- 21- 3- 4)×( 21+ 3+ 4+ 5)-(1- 21- 3- 4- 5)×( 21+ 3+ 4).令 + + =t,则原式=(1-t) (t+ )- (1-t- )t=t+ -t2- t- t+t2= 5.(1 )计算:(1- - -…- 01)×( + + +…+ 016)-(1- - -…- 01- 26)×( 2+ 3+ 4+…+ 25) ;(2 )解方程(x2+5x +1 ) (x2+5x +7)=7.5. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品,据市场分析,若每千克 50 元销售,一个月能售出 500kg,销售单价每涨 2 元,月销售量就减少 20kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题:(1 )当销售单价定为每千克 55 元时,计算销售量和月销售利润.(2 )商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下,使得月销售利润达到 8000 元,销售单价应为多少?参考答案期末复习二 一元二次方程【必备知识与防范点】1. -42—3. DA4. 2(1+x)+2(1+x )2=85. (1) (x-20) (200+ 240x×15)=4500(2) (20-2y) (200+15y)=4500【例题精析】例 1 (1)∵a 是关于 x 的方程:x2-9x+1=0 的一个实数根,∴a2-9a+1=0,∴a2 =9a -1,a2+1 =9a,a+ =9,原式=(9a -1)-7a+ 82a=2a -1+ a2=2(a+ )-1=17.(2)设公共根为 a,有 a2+ma+2=0①,a2+2a+m=0②,由①-②得:(m-2)a+2-m=0,即(m-2) (a-1)=0,当 m=2 时,两方程相同,且方程无解,不符要求,∴a=1,代入①得:m=-3. ∴公共根为 1,m 的值为-3.例 2 (1)x1=2,x2=-1;(2)x1= 3+2,x2= -2;(3)x1=-2,x2=6;(4)y1=1,y2=-1.例 3 (1)- ≤k< 且 k≠0;(2)D ;(3)3 或-5;(4)最小值 823.例 4 (1)能;设 AP=x,据 BP2+PC2=BC2 有 16+x2+(10-x )2+16=100 ,解得:x1=2,x2=8,∴当 AP=2cm 或 8cm 时,三角板两直角边分别通过点 B 与点 C.(2)能;设 AP=x,据 BP2+PE2=BE2 有 16+x2+(8-x)2+16=64,解得:x1=x2=4 ,∴当AP=4cm 时,CE=2cm.[来源:学优高考网]例 5 (1)x=± 3;(2)x1=-3,x2=1,x3=x4=-1.【校内练习】1—2. AC[来源:gkstk.Com]3. 10074. (1) 206;(2)x1=0,x2=-5.【点拨】此题考查整体的思想、字母代数的思想,用换元法解.(1)设 2+ 3+ 41+…+ 205=t ,则原式=(1-t)×(t+ 6)-(1-t- 2016)×t=t+ 2016-t2- t-t+t2+ 2016t= .(2)设 x2+5x+1=t,原方程可化为: t(t+6)=7,t2+6t-7=0, (t+7) (t-1)=0,得 t1=-7,t2 =1,当 t=-7 时,x 2+5x+1=-7,方程无解;当 t=1 时,x 2+5x+1=1,解得 x1=0,x2=-5.所以原方程的解为:x1=0,x2=-5.5. (1)当销售单价定为每千克 55 元时,月销售量为: 500-(55-50)×10=450(千克) ,所以月销售利润为:(55-40)×450=6750 元;(2)由于水产品不超过 10000÷40=250kg,定价为 x 元,则(x-40)[500-10 (x-50)]=8000,解得:x1=80,x2=60. 当 x1=80 时,进货 500-10(80-50)=200kg<250kg,符合题意,当 x2=60 时,进货500-10(60-50)=400kg>250kg,舍去. 答:商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下,使得月销售利润达到 8000 元,销售单价应为80 元.
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