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2018年湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题.doc

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页 1 第2018 届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)第Ⅰ卷(共 60 分)选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,.故选 A.2. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于( )A. 58 B. 54 C. 56 D. 52【答案】D.故选 D.3. 已知平面向量 的夹角为 , , ,则 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D【解析】 , ,故选 D.4. 将函数 的图象向左平移 个单位,所得的图象所对应的函数解析式是( )A. B. C. D. 【答案】C页 2 第【解析】将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,所求函数的解析式为 ,故选 B.5. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为( )A. 10 B. 20 C. D. 40【答案】B【解析】双曲线 的渐近线为 ,双曲线 的渐近线为 ,∵两个双曲线有相同的渐近线,∴ ,即 ,得 m=1,则双曲线 C1: ,则对应的焦点坐标为 E(0, ),F(0,﹣ ),双曲线 C2: 的焦点坐标为 G(2 ,0),H(﹣2 ,0),则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为 S=2S△GHE=2× ,故选:B.6. 已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动,则 的最大值是( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】画出不等式组 ,表示的平面区域, 如图,页 3 第平移直线 ,当直线过点 时,直线截距最大,即当 时, 取得最大值 ,故选 A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ;(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 从某社区随即选取 5 名女士,其身高和体重的数据如下表所示:身高 155 160 165 170 175体重 50 52 55 58 62根据上表可得回归直线方程 ,据此得出的值为( )A. 43.6 B. -43.6 C. 33.6 D. -33.6【答案】B【解析】由表中数据可得 ,因为回归直线必过 ,将 代入回归方程 ,可得得 ,故选 B.8. 设函数 的导函数为 ,若 为偶函数,且在 上存在极大值,则 的图像可能为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 为偶函数,所以 为奇函数,舍去 B,D;因为 在(0,1)上存在极大值,所以导函数符号在(0,1)上先正后负,舍去 A,选 C.9. 已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为( )页 4 第A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体,故其体积 .故选 A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.10. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长 1 日,长为 3 尺;莞生长 1 日,长为 1 尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加 1 倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( ) (结果保留一位小数.参考数据: , ) ( )A. 1.3 日 B. 1.5 日 C. 2.6 日 D. 2.8 日【答案】C【解析】设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n},其 a1=3,公比为 ,其前 n 项和为 An.莞(植物名)的长度组成等比数列{b n},其 b1=1,公比为 2,其前 n 项和为 Bn.则 A ,Bn= ,由题意可得: ,化为:2 n+ =7,页 5 第解得 2n=6,2n=1(舍去) .∴n= =1+ =≈2.6.∴估计 2.6 日蒲、莞长度相等,故答案为:2.6.点睛:设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n},其 a1=3,公比为 ,其前 n 项和为 An.莞(植物名)的长度组成等比数列{b n},其 b1=1,公比为 2,其前 n 项和为 Bn.利用等比数列的前 n 项和公式及其对数的运算性质即可得出.11. 在三棱锥 中,底面 是边长为 2 的正三角形,顶点 在底面 上的射影为 的中心,若 为 的中点,且直线 与底面 所成角的正切值为 ,则三棱锥 外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】∵定点 A 在底面 BCD 上的射影为三角形 BCD 的中心,而且底面 BCD 是正三角形,∴三棱锥 A﹣BCD 是正三棱锥,∴AB=AC=AD,令底面三角形 BCD 的重心(即中心)为 P,∵底面 BCD 为边长为 2 的正三角形, DE 是 BC 边上的高,∴DE= ,∴PE= ,DP=∵直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 ,即∴AP= ,∵AD2=AP2+DP2(勾股定理) ,∴AD=2,于是 AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,∴三棱锥为正四面体,构造正方体,由面上的对角线构成正四面体,故正方体的棱长为 ,∴正方体的对角线长为 ,∴外接球的半径为 .∴外接球的表面积=4πr 2=6π.故选 D.点睛:设几何体底面外接圆半径为 ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为 则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点 .找页 6 第几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 ,则其外接球半径公式为: .12. 定义在 上的偶函数 ,当 时, ,且 在 上恒成立,则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是( )A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】由题意知: 在 上单调递增, 在 上恒成立,必有 恒成立, ,则函数 在 递增,在 递减,且函数 在时有最小值 ,所以 的根有 个, 故选 A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题,属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示.则这 100 名学生中,该月饮料消费支出超过 150 元的人数是__________.【答案】30【解析】试题分析:由直方图可知支出超过 150 元的频率为 ,所以人数为考点:频率分布直方图14. 若直线 始终平分圆 的周长,则 的最小值为__________.页 7 第【答案】【解析】试题分析:由题意可知,圆心 在直线 上,所以 ,又.考点:1.直线与圆的位置关系,2.基本不等式.15. 已知点 是抛物线 上一点, 为其焦点,以 为圆心、 为半径的圆交准线于 两点,为正三角形,且 的面积是 ,则抛物线的方程是________.【答案】【解析】由题意可得 且|DF|=p ,可得|BF|= ,从而 |AF|= ,由抛物线的定义可得 A 到准线的距离也为 ,又△ABC 的面积为 ,可得 ,解得 p=8,则抛物线的方程为 y2=16x.16. 设 是 的三边垂直平分线的交点, 是 的三边中线的交点, 分别为角 的对应的边,已知 ,则 的取值范围是__________ .【答案】页 8 第三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知 分别为锐角 内角 的对边,且 .(1)求角 ;(2)若 ,且 的面积为 ,求 的值.【答案】(1) (2)5【解析】试题分析:(1)先根据正弦定理边化角转化为 即可得 ,故( 2)∵ ,∴ 再由余弦定理可得边 c试题解析:解:(1)由正弦定理得 ,∵ 是锐角,∴ ,故 .(2)∵ ,∴由余弦定理得∴点睛:在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用,正弦定理主要用在角化边和边化角上,而余弦定理通常用来求解边长18. 在等差数列 中, , .(1)求数列 的通项公式;(2)设数列 是首项为 1,公比为 ( 是常数, )的等比数列,求 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)设等差数列 的公差是 ,由已知求出首项与公差,即可求出数列 的通项公式;(2)由数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,结合(1)的结果,求出 的通项公式,再利用等差数页 9 第列与等比数列的前 项和公式求解即可 .试题解析:⑴设等差数列 的公差是 .由已知∴∴ ,得 ,∴数列 的通项公式为⑵由数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,∴ ∴∴∴当 时, ,当 时, .考点:等差等比数列.19. 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB ∥ CD,AB=2AD=2CD=2.E 是 PB 的中点.(Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC;(Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 (1)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,∴AC⊥PC.∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,∴ AC2+BC 2=AB 2, ∴AC⊥BC. 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC. ∵AC⊂平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面PBC.(2) 设 .如图,以点 C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,页 10 第则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,-1,0) ,P(0,0,a) ,E ,则 =(1,1,0) , =(0,0,a) ,= .取 =(1,-1,0) ,则 · = · =0,即 为面 PAC 的一个法向量.设 =(x,y,z )为面 EAC 的法向量,则 · = · =0,即取 x=a ,则 y=-a,z=-2,则 =(a,-a,-2) ,依题意得,|cos〈 , 〉|= = = ,则 a=2.于是 =(2,-2,-2) ,=(1,1,-2) .设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,则sin θ=|cos 〈 , 〉| = = ,即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 .考点:空间二面角和线面角的向量求法.20. 某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物 (下简称 作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 作物种植点,其生长状况如表:其中生长指数的含义是:2 代表“生长良好” ,1 代表“生长基本良好” ,0 代表“不良好,但仍有收成” ,﹣1 代表“不良好,绝收” .(1)估计该市空气质量差的 作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;(2)能否有 99%的把握认为“该市 作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?(3)根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法页 11 第来估计该市 作物的种植点中,绝收种植点的比例?请说明理由.【答案】(1) (2) 有 99%的把握认为“该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关 ,(3) 采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好.【解析】试题分析:(1)根据表格数据计算;(2)采用独立检验方法列联表计算 K2,与 6.635 比较大小得出结论;(3)根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理.试题分析:(1)调查的 500 处种植点中共有 120 处空气质量差,其中不绝收的共有 110 处,∴空气质量差的 A 作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例 .(2)列联表如下:收 绝收 合计南区 160 40 200北区 270 30 300合计 430 70 500∴K 2= ≈9.967.∵9.967>6.635,∴有 99%的把握认为“该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关.(3)由(2)的结论可知该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关,因此在调查时,先确定该市南北种植比例,再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好.21. 已知椭圆 的两个顶点分别为 ,点 为椭圆上异于 的点,设直线的斜率为 ,直线 的斜率为 , .页 12 第(1)求椭圆 的离心率;(2)若 ,设直线与 轴交于点 ,与椭圆交于 两点,求 的面积的最大值.【答案】 (1) (2)【解析】试题分析:(1) 可得 , ,所以 ,从而可得结果;(2)设直线的方程为: 代入椭圆的方程有: ,根据韦达定理,弦长公式即三角形面积公式可得 ,利用基本不等式可得结果.试题解析:(1) ,整理得: ,又 , ,所以 ,. (2)由(Ⅰ)知 ,又 ,所以椭圆 C 的方程为 .设直线的方程为: 代入椭圆的方程有: ,设 ,,令 ,则有 ,代入上式有 ,当且仅当 即 时等号成立,页 13 第所以 的面积的最大值为 .22. 已知函数 与 .(1)若曲线 与直线 恰好相切于点 ,求实数的值;(2)当 时, 恒成立,求实数的取值范围;(3)求证: .【答案】 (1) (2) (3)详见解析【解析】试题分析:(1)先求出导函数 由 ,解方程可得 ;(2)由 在 恒成立的必要条件为 得 ,再利用导数研究函数的单调性及最值,从而证明 时,对任意 ,总有 ;(3)由(2)知: 时 ,令 ,化简可得,再令 ,多个不等式求和,利用对数的运算法则即可的结论.试题解析:(1)先求出导函数 由 ,解方程可得 . (2)令 ,则 , 在 恒成立的必要条件为.即 , 又当 时, ,,令 ,则 ,即 ,在 递减 ,即 , 在 恒成立的充分条件为 .综上,可得:(3)设 为 的前 n 项和,则 ,要证原不等式,只需证: ,由(2)知: 时 即: (当且仅当 时取等号).令 ,则,即: ,即 , 令 ,多个不等式求和,从而原不等式得证【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明,属于难题.不等页 14 第式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.
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