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抛物线切线问题教案.doc

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1抛物线的切线问题天台平桥中学 杨启一、教学目标、重点、难点1.知识目标:掌握抛物线的切线方程的求法,巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.2.能力目标:培养学生的运算能力和思维能力,让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.3.情感目标:通过问题的探究,培养学生勇于探索的精神,使学生经历一个发现问题,研究问题,解决问题的思维过程,从中领悟其过程所蕴涵的数学思想,体验数学发现和创造的历程,培养学生的创新精神.4.教学重点和难点:在抛物线的切线问题的情景下,用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程(一)引入在近 5 年高考中,有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题,如 2005 江西,2006 全国卷 II,2007 江苏,2008 山东,2009 浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现,所以我们有必要研究这些题目,希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识,提高我们的解题能力.(二)典型例题例 1 (2007 江苏,19)如图,在平面直角坐标系 中,过 轴正方向上一点xOy任作一直线,与抛物线 相交于 两点,一条垂直于 轴的直线,分(0,)Cc2yx,ABx别与线段 和直线 交于 两点.AB:lc,PQ(1)若 ,求 的值;2O(2)若 为线段 的中点,求证: 为此抛物线的切线;P(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.分析:(1)设出 AB 的直线方程,及 A, B 两点坐标联立抛物线方程,利用韦达定理即可.(2)AQ 的斜率用 A 点导数表示,也可用两点斜率公式表示,两者相等就得证.(3)先写出逆命题,再利用斜率相等.解:(1)设直线 AB 的方程为 ,ckxy将该方程代入 得 .2yx0令 A ,B ,则 .),(21x),(21,21 cOB,c故舍 去 )或(2)由题意知 ,),(2xQyxPCABOQ2直线 AQ 的斜率为 12121xxxckAQ又 的导函数为 ,2yxy所以点 A 处切线的斜率为 .因些, 为此抛物线的切线 .1A(3) (2)的逆命题成立,证明如下:设 ,若 AQ 为该抛物线的切线,则 .),(0cQ 12xkQ又直线 AQ 的斜率为 ,012012xckAQ1012xx2)(10所以点 的横坐标为 ,即逆命题成立.P2x评析:本题只要抓住斜率相等关键条件,结合韦达定理,准确地运算,即可得到解答.例 2(2010 浙江金华十校)已知抛物线C1: ,椭圆 : .2xy2C142yx(1)设 是 C1 的任意两条互相垂直的切线,并1,l设 ,证明:点 的纵坐标为定值;Ml2(2)在 C1 上是否存在点 ,使得 C1 在点 处切线PP与 相交于两点 ,且 的中垂线恰为 C1 的BA、切线?若存在,求出点 坐标,若不存在,说明理由.分析:(1)设出切点坐标 , ,利用导)(21x)2数可写出两个切线方程 ,1y,又 可得到斜率之积)(22xxy2l通过运算得到结论.1(2)设出坐标写出切线方程联立椭圆方程,利用韦达定理及(1)找出相关的关系式进而解出点 从标.P解:(1)设切点分别为 , ,)(21x)2由 可得xy即 ①1211l 的 方 程 21xy②的 方 程22联立①②并解之,得xPAMBy321xy即为点 的坐标M),(211x,所以21l21x412yM即点 M 的纵坐标为定值 .4(2)设 ,则 C1 在点 处的切线方程为 ,),(20xPP20xy代入 方程 ,得C4y,043020设 ,则),(),(43xBA,204320431xx 0)4(1620x由(1)知 ,从而 ,即 ,My43y41(2043进而得 ,解得1204x20x经检验 满足 ,所以这样的点 存在,其坐标为320P)31,(评析:本题通过导数得到切线斜率,使求切线方程过程得到简化,为求点 M 的坐标奠定基础,点 M 又使两小量连接起来.关于存在性问题,务必要检验结论成立的条件.本题变量多,运算量大,只有在清晰的思路的引导下,规范书写,才能避免出错.(三)练习(2006 全国 II,21)已知抛物线 的焦点为 F,A 、B 是抛物线上的两动点,24xy且 过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M.(0).AF(I)证明 为定值; (II)设 的面积为 S,写出 的表达式,并求 S 的最小值。M()f解:(I)由题意,设直线 AB 的方程为 代入 得1kxy24y042kx设 则),(),(21yx,4221又 所以切线方程分别为 , 从而y 12x),2(1x所以 ,故 即21xkFM 142211 xxkFM ABFM4所以 为定值.0ABFM(II) 由 得 ,又有 所以 ,由(I)可21x421x14,221x知点 M 在抛物线的准线上,所以 yAB)2(||1xF所以 由基本不等式可求得面积最小值为 4.23)1(|||FABSABM四)课堂小结1.通过本节课学习,我们发现这些题中都有一个相似的地方:过抛物线外一点作抛物线的两条切线,同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标,定值等,在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。2. “坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法,而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。(五)作业1. (2008 山东,理 22)如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.(Ⅰ)求证:A,M ,B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程.410B2. (2005 江西,理 22)如图,设抛物线 的2:xyC焦点为 F,动点 P 在直线 上运动,过02:yxlP 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C分别相切于 A、B 两点.(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程.(2)证明∠PFA=∠PFB.三、板书设计屏幕 第一版例 1第二版例 2
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