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2.4镜像法求解静电场.ppt

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第 四 节,镜 象 法 求 解 静 电 场,(Method of Images),课的类型:讲授课,教学目的:学习一种求解静电场的特殊方法—镜像法(简洁明了),教学方法:讲解法,重点:用镜像法求解静电场。,难点:确定像电荷的数目、每个像电荷的电量的大小与位置。,一、相关内容回顾,四、总结与讨论,三、镜像法应用举例,二、镜像法求解静电场的基本思想,唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件。,、相关内容回顾,唯一性定理:在可均匀分区的区域V内给定自由电荷分布,区域V内的电场由V的边界S上的电势或者电势法向导数唯一地确定。,如果V内含有导体区域 ,将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数,而是给定每个导体上的总电荷,唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。,(1)分离变量法() (2)镜象法(?) (3)格林函数法(?) (4)多极矩展开法(?),静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种:,分离变量法:适用于所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况,求解拉普拉斯方程。,镜像法适用范围? a)所求区域内有少许几个点电荷; b)导体边界面形状比较规则,具有 一定对称性; c)给定边界条件。,1. 镜像法概念,二、镜象法求解静电场的基本思想,用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布,然后用空间点电荷和等效点电荷叠加给出空间电势分布。这种等效电荷称为镜像电荷,这种求解方法称为镜像法。,2. 镜象法的理论依据,唯一性定理是镜像法的理论依据。,3. 镜象法的基本思想,在求解区域之外引入像电荷取代感应电荷,但不改变求解区域的边值关系和边界条件。,三、镜象法应用举例,例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,求空间中的电势。,解:,电荷:一个点电荷 界面:接地无穷大导体 区域:上半空间(下半空间电势为零),已知界面电势为零,满足唯一性定理的要求,可以确定电势。,上半空间电势特征: 导体表面是等势面 电场线垂直于导体表面,点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q 。整个电场是由Q和Q共同产生的。,从物理问题的对称性和边界条件考虑,假想电荷应在左半空间 z 轴上。,Q’和a如何确定?,Q,接地导体外有一点电荷的电势分布图,,例2 真空中有一半径为R0的接地导体球,距球心为a(aR0)处有一点电荷Q,求空间各点的电势(如图)。,解:,电荷:一个点电荷 界面:导体球面 区域:球面外区域,已知界面电势为零,满足唯一性定理的要求,可以确定电势。,点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q’。,整个电势是由Q和Q’共同产生的。,(1)根据对称性分析,假想电荷应在圆心和点电荷的连线上,即极轴上。,和 如何确定?,任意,可得,①,②,解取,?,,① ?,讨论:,导体球接地后,感应电荷总量不为零?,② 球面感应电荷分布,(4)若导体不接地,电势不为零, 该怎么分析?,(5)若导体不接地,导体上带上自由电荷,又如何分析?,(6)点电荷和导体球之间的相互作用力,如何求解?,根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题; 在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷,保持求解区域电荷分布不变; 引入镜象电荷,不改变求解区域边值关系和边界条件。,1、镜象法的基本要领,四、总结与讨论,两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解; 可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。,2、与分离变量法比较,共同点:,不同点:,求解区域没有(或 者经过变换没有) 自由电荷分布,求解区域有一个 或者几个自由点 电荷,分离变量求解拉普拉斯方程,求解区域之外引入象电荷取代感应电荷,分离变量法,镜象法,电荷分布,具体方法,
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